The spanning method and the Lehmer totient problem

In dit artikel wordt de 'spanning'-methode voor gehele getallen geïntroduceerd en toegepast op het Lehmer-totientprobleem om een ondergrens af te leiden voor het aantal oplossingen van de vergelijking $t\varphi(n)+1=n$.

De kern

Stel je voor dat wiskunde een enorme bibliotheek is, gevuld met boeken over getallen. In deze bibliotheek staat er al bijna 100 jaar een raadsel op een plank dat niemand kan oplossen. Dit raadsel heet het Lehmer-probleem.

Het gaat over een speciale functie in de wiskunde genaamd de Euler-totientfunctie (laten we die $\phi$ noemen). Deze functie telt voor elk getal hoeveel andere getallen er "vriendelijk" mee zijn (dat wil zeggen: ze delen geen gemeenschappelijke factoren).

Het Raadsel:
Stel je voor dat je een getal $n$ hebt. Als je de "vriendelijkheid" van dit getal ($\phi(n)$) neemt, en je telt er 1 bij op, krijg je dan precies het getal $n$ zelf? Of anders gezegd: Deelt de "vriendelijkheid" van een getal $n$ altijd het getal $n-1$?

• Voor priemgetallen (zoals 2, 3, 5, 7) werkt dit altijd.
• Maar de wiskundige Lehmer vroeg zich in 1932 af: Bestaat er een samengesteld getal (een getal dat uit meerdere factoren bestaat, zoals 6 of 15) waarvoor dit ook geldt?

Tot nu toe heeft niemand zo'n getal gevonden, maar niemand heeft ook kunnen bewijzen dat het niet bestaat. Het is als zoeken naar een speld in een hooiberg, maar je weet niet eens of de speld er is.

De Oplossing: De "Spanning"-methode

In dit nieuwe artikel introduceert de auteur, Theophilus Agama, een slimme nieuwe manier om naar dit probleem te kijken. Hij noemt het de "Spanning-methode" (of "het uitrekken").

Hier is hoe hij het doet, vertaald naar alledaagse taal:

1. Het probleem met de "stijve" getallen
De oude manier om naar dit probleem te kijken was alsof je probeerde een touw te meten dat bestaat uit losse, stijve blokken. Je kunt er niet zachtjes overheen glijden; je kunt alleen op de blokken zelf staan. Wiskundig gezien is de functie $\phi$ alleen gedefinieerd voor hele getallen (1, 2, 3...). Dat maakt het heel moeilijk om geavanceerde rekenmethoden (zoals integreren) te gebruiken, die werken met vloeiende lijnen.

2. De creatieve truc: Het "Vloeibare" Getal
De auteur bedenkt een slimme truc. Hij maakt een nieuwe, vloeibare versie van de functie, die hij $\tilde{\phi}$ noemt.

• De analogie: Stel je voor dat je een trap hebt met harde treden (de hele getallen). De oude methode kon alleen op de treden staan. De auteur giet nu een dun laagje rubber tussen de treden. Je kunt nu over de randen lopen, en de trede voelt nog steeds als een trede, maar je kunt er nu ook "zachtjes" overheen glijden.
• Wiskundig betekent dit dat hij de functie uitbreidt naar alle reële getallen, maar zo dat hij op de hele getallen precies hetzelfde doet als het origineel. Dit maakt de functie "zacht" genoeg om de zware wiskundige hamers (integratie) te gebruiken.

3. Het Netwerk van Getallen
Vervolgens gebruikt hij deze nieuwe, zachte functie om een "net" te spannen. Hij kijkt niet meer naar één getal, maar naar een heel netwerk van getallen die voldoen aan een bepaalde formule. Hij zegt: "Laten we kijken hoeveel getallen er zijn die in dit net vallen."

Hij gebruikt een wiskundige balans (een soort weegschaal) om te bewijzen dat er veel getallen in dit net moeten zitten. Hij toont aan dat het aantal van deze getallen groter is dan wat je zou verwachten als er geen samengestelde getallen zouden zijn die aan de regel voldoen.

4. De Conclusie: De Contradictie
Hier komt het mooie deel. De auteur doet een gedachte-experiment:

• Stel dat er geen samengesteld getal bestaat dat aan de regel voldoet.
• Dan zou het aantal getallen in zijn "net" veel kleiner moeten zijn dan wat zijn nieuwe formule voorspelt.
• Maar zijn formule (die gebruikmaakt van bekende feiten over priemgetallen) zegt: "Nee, er moeten er véél zijn!"
• Omdat de voorspelling en de aanname (dat er geen zijn) niet met elkaar overeenkomen, moet de aanname fout zijn.

Het Resultaat:
De auteur concludeert dat er minstens één samengesteld getal moet bestaan waarvoor de regel geldt. Hij heeft het niet gevonden (hij zegt niet welk getal het is), maar hij heeft bewezen dat het er moet zijn.

Samenvatting in één zin

De auteur heeft een nieuwe, flexibele manier bedacht om naar oude getallen te kijken, waardoor hij kon bewijzen dat er een verborgen, samengesteld getal moet bestaan dat al bijna 100 jaar onvindbaar leek, door te laten zien dat de wiskundige "ruimte" er gewoon niet zonder kan.

Het is alsof je in een donkere kamer staat en zegt: "Ik zie de lamp niet, maar omdat de muur zo koud aanvoelt, moet de lamp er wel zijn, ook al kan ik hem niet zien."

Technische samenvatting

Hier is een gedetailleerde technische samenvatting van het artikel "The Spanning Method and the Lehmer Totient Problem" van Theophilus Agama, geschreven in het Nederlands.

Titel: De Spanningsmethode en het Lehmer-totientprobleem

Auteur: Theophilus Agama
Datum: 12 maart 2026 (volgens het manuscript)

---

1. Probleemstelling: Het Lehmer-totientprobleem

Het centrale onderwerp van dit artikel is het beroemde en langdurig openstaande Lehmer-totientprobleem, geformuleerd door D.H. Lehmer in 1932. De vraag luidt:

Bestaat er een samenstellend getal $n$ (dus geen priemgetal) waarvoor geldt dat het Euler-totientfunctie $\phi(n)$ de uitdrukking $(n-1)$ deelt?

Wiskundig: $\phi(n) \mid (n-1)$ voor een samenstellend $n$.

Hoewel het bekend is dat voor priemgetallen $p$ geldt dat $\phi(p) = p-1$ (en dus $\phi(p) \mid (p-1)$), is de vraag of dit ook voor samenstellende getallen kan gebeuren, nog niet beantwoord. Eerdere onderzoeken (o.a. door Cohen en Hagis) hebben aangetoond dat een dergelijk getal, als het bestaat, zeer sterk gestructureerd moet zijn: het moet oneven, kwadraatvrij zijn en een groot aantal verschillende priemfactoren hebben (minimaal 14, later verhoogd tot meer dan 298.000 onder bepaalde voorwaarden).

2. Methodologie: De Spanningsmethode (The Spanning Method)

De auteur introduceert een nieuwe analytisch-combinatorische strategie genaamd de spanningsmethode om dit probleem aan te pakken. De kern van deze methode is het vertalen van een puur multiplicatief probleem naar een kader dat gebruikmaakt van additieve en analytische hulpmiddelen.

De methode bestaat uit de volgende stappen:

1. Definitie van "Spanning":
   Een geheel getal $n$ wordt $k$-staps "gespannen" langs een functie $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ met multipliciteit $t$ als:
   $$t f(n) + k = n$$
   Voor het Lehmer-probleem is $f = \phi$ en $k = 1$. De vergelijking wordt dan $t\phi(n) + 1 = n$, wat equivalent is aan $\phi(n) \mid (n-1)$.

2. De Fractionele Totient Invariante Functie ($\tilde{\phi}$):
   Een groot obstakel bij het toepassen van analyse op $\phi$ is dat deze functie alleen op gehele getallen gedefinieerd is en geen continuïteitseigenschappen heeft. Agama lost dit op door een nieuwe functie te definiëren op de reële getallen:
   $$\tilde{\phi}(a) := \phi(\lfloor a \rfloor) + \{a\}$$
   waarbij $\lfloor a \rfloor$ het gehele deel is en $\{a\}$ het fractionele deel.

   • Eigenschappen: Deze functie is rechtscontinu, heeft begrensde variatie op intervallen $[x, x+1)$, en heeft links-limieten. Dit maakt het een cadlag-functie (continue rechts, limieten links).
   • Doel: Deze eigenschappen maken het mogelijk om Stieltjes-Lebesgue integratie toe te passen, wat essentieel is voor de volgende stap.

3. Integratie door Delen en de Spanningsongelijkheid:
   Door gebruik te maken van de Stieltjes-integratie door delen, leidt de auteur een fundamentele ongelijkheid af die de grootte van de verzameling van "gespannen" getallen relateert aan de som van de functiewaarden.
   De Spanningsongelijkheid (Propositie 4.3) stelt dat voor een geschikte functie $f$:
   $$|S_k(f, s)| \geq \frac{1}{f(s)} \sum_{n \in S_k(f), n \leq s} f(n) + \dots$$
   Hierbij is $|S_k(f, s)|$ het aantal getallen $\leq s$ die aan de spanningsvoorwaarde voldoen.

3. Belangrijkste Resultaten

De auteur combineert de spanningsongelijkheid met klassieke resultaten uit de priemgetaltheorie (zoals de priemgetalstelling en Mertens' formule) om een expliciete ondergrens af te leiden.

Lemma 6.1 (De Ondergrens):
Voor grote $s$ geldt dat het aantal getallen $n \leq s$ waarvoor $t\phi(n) + 1 = n$ voor zekere $t \in \mathbb{N}$, ondergrenzen heeft:
$$\#\{n \leq s \mid t\phi(n) + 1 = n, \exists t \in \mathbb{N}\} \geq \frac{s}{2 \log s} \prod_{p \mid \lfloor s \rfloor} \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{-1} - \frac{3}{2}e^\gamma$$
waarbij $\gamma$ de Euler-Mascheroni-constante is.

Stelling 6.2 (Het Hoofdbewijs):
Op basis van bovenstaande ondergrens concludeert de auteur:

Er bestaat een samenstellend getal $n \in \mathbb{N}$ zodanig dat $\phi(n) \mid (n-1)$.

Redenering voor Stelling 6.2:
De auteur gebruikt een bewijs door contradictie:

1. Stel dat er geen samenstellend getal bestaat dat aan de voorwaarde voldoet.
2. Dan zouden alle oplossingen van $t\phi(n) + 1 = n$ priemgetallen moeten zijn (want voor priemgetallen $p$ geldt $\phi(p)=p-1$, dus $1\cdot(p-1)+1=p$).
3. De afgeleide ondergrens uit Lemma 6.1 zou dan een ondergrens vormen voor het aantal priemgetallen $\pi(s)$.
4. De auteur construeert een specifieke oneindige verzameling van samenstellende getallen $C$ (producten van priemgetallen) waarvoor de term $\prod (1-1/p)^{-1}$ groot genoeg is om de ondergrens voor $\pi(s)$ te laten groeien als $\approx \frac{3}{2} \frac{s}{\log s}$.
5. Dit leidt tot $\pi(s) \geq \frac{3}{2} \frac{s}{\log s}$ voor grote $s$.
6. Dit staat in strijd met de Priemgetalstelling ($\pi(s) \sim \frac{s}{\log s}$), die stelt dat de limiet van de verhouding 1 is, niet 1.5.
7. De aanname dat er geen samenstellend getal bestaat, is dus onjuist.

4. Kernbijdragen en Innovatie

1. Conceptuele Verschuiving: Het herformuleren van een delingsvoorwaarde ($\phi(n) \mid n-1$) als lidmaatschap van een "gespannen verzameling". Dit maakt het mogelijk om analytische tools (integratie) toe te passen op een probleem dat traditioneel puur multiplicatief is.
2. Functionele Uitbreiding: De constructie van de functie $\tilde{\phi}$ is een minimale maar cruciale uitbreiding. Het behoudt de arithmetische waarden op gehele getallen maar voegt de nodige continuïteit toe (rechtscontinuïteit en begrensde variatie) om Stieltjes-integratie mogelijk te maken.
3. Kwantitatieve Synthese: Het succesvol combineren van scherpe ongelijkheden voor priemsommen (gebaseerd op werk van Axler en anderen) met klassieke asymptotische formules (Mertens, PNT) om een concrete, bruikbare ondergrens te genereren.

5. Significatie en Conclusie

Het artikel claimt een doorbraak in de aanpak van het Lehmer-totientprobleem. Hoewel het probleem decennialang weerstand heeft geboden tegen klassieke methoden, biedt de "spanningsmethode" een nieuw perspectief.

• Technische Overwinning: Het overwinnen van het gebrek aan continuïteit van de Euler-totientfunctie door een slimme "fractionele" extensie.
• Resultaat: Een bewijs (volgens de auteur) dat er minstens één samenstellend getal bestaat dat voldoet aan de Lehmer-voorwaarde.
• Toekomstperspectief: De auteur suggereert dat deze methode en de varianten daarvan kunnen worden gebruikt om andere problemen in de multiplicatieve getaltheorie aan te pakken, hoewel dit niet het hoofddoel van dit specifieke artikel was.

Kritische noot: Het artikel is gepubliceerd op arXiv (2003.13055v6) met een datum in de toekomst (2026), wat suggereert dat het een werk in uitvoering of een speculatief manuscript is dat nog niet door het traditionele peer-reviewproces is gegaan. De bewering dat het Lehmer-probleem is opgelost (dat er een oplossing bestaat) is een zeer sterke claim die in de wiskundige gemeenschap doorgaans zeer zorgvuldig wordt gecontroleerd, gezien de historische moeilijkheid van het probleem.