The Pell Tower and Ostronometry

Dit artikel breidt de door Conway en Ryba ontdekte patronen in bi-oneindige Fibonacci-rijen uit naar recursies van het type $X_{n+1}=dX_n+X_{n-1}$, waarbij de auteurs bij het zoeken naar nieuwe patronen een 'Rode Muur' en exotische numeratiesystemen tegenkomen.

De kern

Hier is een uitleg van het artikel "The Pell tower and Ostronometry" in gewoon, begrijpelijk Nederlands, vol met creatieve vergelijkingen.

De Gouden Staircase en de Nieuwe Wolkenkrabber

Stel je voor dat je een heel speciale ladder hebt. Op deze ladder staan getallen die elkaar op een heel specifieke manier opvolgen. De beroemdste versie hiervan is de Fibonacci-rij: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... Elke nieuwe stap is de som van de twee vorige stappen.

Wiskundigen John Conway en Alex Ryba hebben een paar jaar geleden een heel grappig spelletje bedacht met deze rij. Ze hebben een enorme tabel gemaakt waarin elk natuurlijk getal (1, 2, 3, 4...) precies één keer voorkomt. Als je naar deze tabel kijkt, zie je een patroon dat eruitziet als een wolkenkrabber. Ze noemden het de "Empire State Building". De verdiepingen van dit gebouw zijn rijen met getallen, en in het midden staat een zuil (een spiegelbeeldige rij) die het gebouw steunt.

Wat doet deze auteur nu?

De schrijver van dit artikel, Robbert Fokkink, zegt: "Dat is leuk, maar wat als we de regel veranderen?"
In plaats van de getallen bij elkaar op te tellen ($X + Y$), kunnen we ze vermenigvuldigen met een getal $d$ en dan optellen: $X_{nieuw} = d \times X_{oud} + X_{nog_ouder}$.

• Als $d=1$, krijgen we de oude Fibonacci-rij (het Empire State Building).
• Als $d=2$, krijgen we de Pell-rij (0, 1, 2, 5, 12, 29...).
• Als $d=3$, krijgen we nog een andere rij, enzovoort.

Fokkink heeft voor elke waarde van $d$ een nieuw "gebouw" ontworpen. Omdat de rij voor $d=2$ de Pell-rij is, noemt hij dit nieuwe gebouw de Pell Toren.

Hoe ziet de Pell Toren eruit?

Stel je de Empire State Building voor als een strakke, rechthoekige wolkenkrabber. De Pell Toren is meer zoals een terrassenhuis of een gebogen kade.

1. De Muren: In het oude gebouw waren er twee muren (links en rechts) die perfect parallel liepen. In de Pell Toren is de linkermuur een beetje "wazig" en onregelmatig. Er is een rode muur en een witte muur.
2. De Terrassen: Tussen deze muren zitten getallen. Soms zitten de muren tegen elkaar aan (geen terras), en soms is er een klein stukje ruimte (een terras) tussen.
3. Positief en Negatief: In het oude gebouw zaten alleen positieve getallen. In de Pell Toren duiken ook negatieve getallen op (zoals -5, -12). Het is alsof het gebouw niet alleen naar boven groeit, maar ook naar beneden de grond in, met getallen die van teken wisselen.
4. Elk Getal Eén Keer: Het meest verbazingwekkende is dat elk heel getal (positief én negatief, behalve nul) precies één keer in deze toren voorkomt. Het is een perfecte, chaotische verzameling van alle mogelijke getallen.

De "Ostronometrie": Wiskunde met een Hoedje

De auteurs van het oude artikel noemden hun methode om patronen te vinden "Fibonometrie" (een mix van Fibonacci en Trigonometrie). Ze gebruikten een trucje met hoeken en cirkels om te bewijzen waarom de getallen zich zo gedroegen.

Fokkink doet hetzelfde voor de Pell Toren, maar hij noemt het Ostronometrie.

• De Truc: Hij gebruikt een wiskundige "bril" (een truc met complexe getallen en goniometrie) om te kijken hoe de getallen in de rijen zich gedragen.
• Het Resultaat: Met deze bril kan hij bewijzen dat de getallen in de Pell Toren net zo'n strakke structuur hebben als de Fibonacci-rij, alleen dan met een extra laag complexiteit door de negatieve getallen en de onregelmatige muren.

De "Rode Muur" en de "Linkermuur"

In de Pell Toren zie je twee belangrijke lijnen:

• De Rode Muur: Dit is de grens waar de getallen positief worden.
• De Linkermuur: Dit is de grens waar de getallen weer beginnen te wisselen tussen positief en negatief.

Het is alsof je door een tunnel loopt. Eerst zie je alleen negatieve getallen. Dan kom je bij de rode muur, en plotseling worden ze positief. Maar als je verder loopt, zie je dat ze op een bepaalde plek weer beginnen te "trillen" (wisselen van teken). De afstand tussen deze muren hangt af van hoe lang de "woordcode" is die het getal beschrijft.

Waarom is dit belangrijk?

Het klinkt misschien als een heel abstract spelletje met getallen, maar het laat zien dat er diepe, verborgen orde is in de wiskunde.

• Het laat zien dat we getallen op nieuwe manieren kunnen ordenen (net als een nieuw soort telstelsel).
• Het verbindt verschillende gebieden van de wiskunde: getallenrijen, geometrie (de vorm van het gebouw) en zelfs de manier waarop we getallen schrijven (numeration systems).
• Het bewijst dat zelfs als je de regels een beetje verandert (van $d=1$ naar $d=2$), de natuur nog steeds prachtige, symmetrische patronen creëert, al lijken ze er soms wat rommeliger uit.

Samenvattend

Stel je voor dat je een architect bent. Conway en Ryba bouwden een prachtige, rechte wolkenkrabber (Empire State Building) met de Fibonacci-getallen. Robbert Fokkink zegt: "Laat ons nu een terrasgebouw bouwen met de Pell-getallen." Hij ontdekt dat dit gebouw net zo mooi is, maar dan met een onregelmatige linkermuur en een vloer die zowel boven als onder de grond ligt. Hij gebruikt een nieuwe soort "wiskundig verrekijker" (Ostronometrie) om te bewijzen dat dit gebouw perfect is ontworpen, waarbij elk heel getal op zijn juiste plek staat.

Het is een feestje van patronen, waar de wiskunde ons laat zien dat er zelfs in de meest chaotische lijsten van getallen een prachtige, verborgen architectuur schuilt.

Technische samenvatting

Hier is een gedetailleerde technische samenvatting van het artikel "The Pell tower and Ostronometry" van Robbert Fokkink, geschreven in het Nederlands.

Titel: The Pell tower and Ostronometry

Auteur: Robbert Fokkink (Technische Universiteit Delft)
Publicatie: Communications in Mathematics (2025)

---

1. Probleemstelling en Achtergrond

Het artikel bouwt voort op het werk van John Conway en Alex Ryba, die een opmerkelijke structuur ontdekten in een tabel van bi-oneindige Fibonacci-rijen. Zij noemden deze structuur het "Empire State Building". De basis van hun werk is de lineaire recurrentie $X_{n+1} = X_n + X_{n-1}$ (de Fibonacci-rij). Ze gebruikten een methode die ze "Fibonometry" noemden, waarbij trigonometrische relaties worden gebruikt om identiteiten tussen Fibonacci-getallen af te leiden.

Fokkink stelt de volgende vraag: wat gebeurt er als we deze analyse uitbreiden naar de algemenere recurrentie $X_{n+1} = dX_n + X_{n-1}$ voor natuurlijke getallen $d \geq 1$?

• Voor $d=1$ krijgen we de bekende Fibonacci-rij en het Empire State Building.
• Voor $d=2$ krijgen we de Pell-rijen.
• Het doel is om te onderzoeken of er vergelijkbare structuren ("gebouwen") ontstaan voor andere waarden van $d$, en om de onderliggende numerieke systemen en symmetrieën te analyseren.

2. Methodologie

De auteur hanteert een combinatie van combinatorische getaltheorie, de theorie van lineaire recurrenties en numerieke systemen:

• Ostrowski Arrays: De auteur definieert een tabel $A_{m,n}$ gebaseerd op de recurrentie $X_{n+1} = dX_n + X_{n-1}$. De rijen van deze tabel corresponderen met "trimmed Ostrowski words" in radixvolgorde. Dit generaliseert het Wythoff-array (voor $d=1$) naar een $d$-Ostrowski array.
• Dual Ostrowski Numeration: Om de structuur links van de "muur" (waar negatieve getallen voorkomen) te analyseren, introduceert de auteur het dual Ostrowski numeration system. Dit systeem maakt het mogelijk om elk geheel getal (positief of negatief) uniek te representeren met behulp van de negatieve denominatoren van de convergenten van de kettingbreuk van $\alpha = \frac{d + \sqrt{d^2+4}}{2}$.
• Ostronometry: Een nieuwe term die de auteur introduceert als de generalisatie van "Fibonometry". Het is een methode om trigonometrische identiteiten (zoals die van Vajda) toe te passen op de recurrenties $X_{n+1} = dX_n + X_{n-1}$ en hun companion-rijen, waardoor algebraïsche identiteiten (zoals Cassini's identiteit) worden afgeleid.
• Operatoren: Er worden operatoren gedefinieerd zoals out(n) (verschuift een stap naar rechts in de array) en nut(n) (verschuift een stap naar links in de negatieve array), die worden geanalyseerd via benaderingen met de algebraïsche getallen $\alpha$ en $\beta$.

3. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

A. De Pell Tower (voor $d=2$)

Voor $d=2$ (Pell-getallen) ontstaat een structuur die de auteur de "Pell Tower" noemt. In tegenstelling tot het Empire State Building ($d=1$), is de Pell Tower minder regelmatig:

• De "Red Wall": Er verschijnt een nieuwe grens, de "rode muur", die de positieve en negatieve delen scheidt.
• Onregelmatige Afstanden: De afstand tussen de linker- en rechtermuur varieert en hangt af van de lengte van het woord dat de rij labelt.
• Symmetrie en Tekens: Alle gehele getallen (behalve 0) verschijnen precies één keer links van de rode muur. De tekens van de getallen links van de linker muur wisselen af. Getallen tussen de rode en linker muur ("terrassen") hebben het tegenovergestelde teken van hun tegenhanger links van de linker muur.
• Palindromen: Palindromische rijen (die symmetrisch zijn rondom een centrale kolom) komen voor, maar ze zijn niet zo regelmatig verdeeld als in het Empire State Building. De auteur definieert blokken op basis van de lengte van de woorden en telt het aantal "Deedees" (veelvouden van de Pell-rij) en "Edees" (veelvouden van de companion-rij) per blok.

B. Ostronometry en Identiteiten

De auteur toont aan dat de trigonometrische "trucs" van Vajda en Conway/Ryba generaliseerbaar zijn:

• Door $z = \frac{\pi}{2} - i \log(\alpha)$ te kiezen, kunnen de recurrenties $D_n$ (denominatoren) en $E_n$ (companion-getallen) worden uitgedrukt als sin- en cos-functies.
• Dit leidt tot generalisaties van bekende identiteiten:
  • Cassini's Identiteit: $D_{n+1}D_{n-1} - D_n^2 = (-1)^n$.
  • Pell-vergelijking: $E_n^2 - (d^2+4)D_n^2 = 4(-1)^n$.
  • Jacobi-identiteit: Een generalisatie die divisibiliteitseigenschappen verklaart, zoals $\gcd(D_m, D_n) = D_{\gcd(m,n)}$.
• Deze methode ("Ostronometry") maakt het mogelijk om complexe algebraïsche relaties tussen rijen in de Ostrowski-tabel af te leiden.

C. Stolarsky Arrays en Beatty Sequences

• De auteur bewijst dat de $d$-Ostrowski array een $d$-Stolarsky array is: elke rij voldoet aan de recurrentie, elk natuurlijk getal komt precies één keer voor, en elke positieve recurrente rij is "tail equivalent" aan een rij in de tabel.
• De eerste kolom van de Ostrowski array wordt geïdentificeerd als een niet-homogene Beatty-sequentie.
• Voor de negatieve uitbreiding (links van de rode muur) wordt bewezen dat de negatieve Ostrowski array ook een Stolarsky array is voor gehele getallen.

4. Significatie en Toekomstperspectief

• Unificatie: Het artikel verenigt de theorie van Fibonacci-rijen, Pell-rijen en Ostrowski-nummeringssystemen onder één paraplu. Het toont aan dat de "Empire State Building"-structuur een speciaal geval is ($d=1$) van een breder fenomeen.
• Negatieve Getallen: Een belangrijke bijdrage is de systematische behandeling van negatieve getallen in lineaire recurrenties via het dual Ostrowski-systeem, wat de structuur van de "Pell Tower" verklaart.
• Open Vragen: De auteur suggereert dat het moeilijk is om vergelijkbare resultaten te vinden voor recursies met drie termen (zoals de Tribonacci-rij), wat suggereert dat de "Ostronometry" specifiek is voor tweetermige lineaire recurrenties.
• Historische Context: De auteur benadrukt de Nederlandse connectie in de geschiedenis van deze wiskundige problemen (Wythoff, Pell, Lekkerkerker, Zeckendorf), wat een culturele noot toevoegt aan de wiskundige inhoud.

Conclusie:
Fokkink introduceert met succes het concept van "Ostronometry" om de structuur van bi-oneindige rijen gegenereerd door $X_{n+1} = dX_n + X_{n-1}$ te analyseren. Het artikel levert een diep inzicht in de geometrische en numerieke patronen (de "Pell Tower") die ontstaan voor $d > 1$, en generaliseert de elegante trigonometrische methoden van Conway en Ryba naar een breder wiskundig kader.