Cross-Currency Heath-Jarrow-Morton Framework in the Multiple-Curve Setting

Dit artikel presenteert een algemeen Heath-Jarrow-Morton-raamwerk voor cross-currency markten met onderpand en basisrisico, dat zowel vooruitkijkende IBOR-tarieven als achteruitkijkende overnight-tarieven integreert om complexe meervoudige valuta-portefeuilles, zoals cross-currency swaps, consistent te modelleren.

De kern

Stel je voor dat de wereldwijde financiële markt een gigantisch, drukke vliegveld is. Vroeger draaide alles om één grote, betrouwbare luchtvaartmaatschappij: de LIBOR. Alle vliegtuigen (leningen, leningen, derivaten) gebruikten dezelfde brandstofprijs en dezelfde landingsbaan.

Maar toen kwam de crisis van 2008, en later de "benchmark-reform". De LIBOR stopte. Plotseling hadden we te maken met een chaos van verschillende luchtvaartmaatschappijen, elk met hun eigen brandstof, hun eigen landingsbanen en hun eigen regels.

• In de VS vliegen ze nu op SOFR (veilig, maar achteraf berekend).
• In Europa vliegen ze nog op EURIBOR (onbeveiligd, vooraf berekend).
• En dan heb je nog de collateral (de zekerheid die je moet neerleggen), die soms in Dollars wordt betaald en soms in Euro's.

Deze twee auteurs, Alessandro Gnoatto en Silvia Lavagnini, hebben een nieuwe, super-flexibele navigatiesysteem ontwikkeld. Ze noemen het het Cross-Currency HJM Framework. Hier is hoe het werkt, vertaald naar alledaags taal:

1. Het Probleem: De "Gaten" in de Luchthaven

Vroeger kon je makkelijk een vliegtuig van New York naar Londen laten vliegen. Je wist precies hoeveel brandstof je nodig had. Maar nu?

• De ene maatschappij (bijv. de VS) gebruikt een veilige, verzekerde brandstof (SOFR).
• De andere (bijv. Europa) gebruikt een onzekere, "losse" brandstof (EURIBOR).
• En als je zekerheid (collateral) in Dollars moet neerleggen, maar je vliegtuig in Euro's, dan ontstaat er een lek in je brandstoftank. Dit lek noemen ze de basis spread.

De markt zegt: "Hé, als ik in Euro's leen en in Dollars zekerheid stel, moet ik extra betalen voor dat lek." Dat extra bedrag is onvoorspelbaar en verandert elke seconde. Bestaande modellen konden dit niet goed voorspellen, vooral niet als je een portfolio hebt met vliegtuigen die overal ter wereld vliegen.

2. De Oplossing: De "Meester-Map" (Het Abstracte Index Concept)

De auteurs zeggen: "Laten we stoppen met proberen elke specifieke brandstofnaam (LIBOR, SOFR, EURIBOR) apart te modelleren. Laten we in plaats daarvan een abstracte index maken."

De Analogie van de Supermarkt:
Stel je voor dat je een supermarkt hebt waar je niet alleen appels en peren verkoopt, maar ook "fruit".

• Soms is het fruit een appel (LIBOR).
• Soms is het fruit een banaan (SOFR).
• Soms is het fruit een sinaasappel (EURIBOR).

In plaats van voor elke vrucht een apart rek te bouwen, maken ze één groot, flexibel rek: "Het Fruit-Index".

• Je kunt er een appel op leggen.
• Je kunt er een banaan op leggen.
• Je kunt er zelfs een "fruitmix" op leggen (een mix van vooraf en achteraf berekende tarieven).

Dit systeem is zo slim dat het niet uitmaakt of je nu een oud contract hebt (van voor de LIBOR-reform) of een heel nieuw contract (met SOFR). Het systeem past zich automatisch aan. Het is als een vormbaar kleimodel: je kunt er elke vorm van rente in steken.

3. De "Gaten" Dichtmaken (De Basis Spread)

Hoe gaan ze om met die lekkende brandstoftank (de basis spread)?
Ze modelleren het lek niet als een vast getal, maar als een dynamische stroom. Ze zeggen: "Het lek is net als een rivier die stroomt. Soms stroomt hij hard, soms langzaam, en soms zelfs de andere kant op."

Ze gebruiken wiskundige formules (HJM) om die rivier te beschrijven. Ze kijken naar:

• Hoe snel de rivier stroomt (de volatiliteit).
• In welke richting hij stroomt (de trend).
• Hoe hij reageert op andere rivieren (de correlatie tussen valuta's).

Dit zorgt ervoor dat ze precies kunnen berekenen wat het lek kost, of je nu in Dollars, Euro's of Yen zit.

4. Waarom is dit belangrijk voor jou?

Misschien denk je: "Ik ben geen bankier, wat heb ik hieraan?"
Nou, dit systeem is cruciaal voor het bepalen van de prijs van alles wat met geld te maken heeft:

• Hypotheken: Of je nu in Nederland of in de VS woont.
• Pensioenfondsen: Die moeten hun beleggingen over de hele wereld waarderen.
• Verzekeringen: Die risico's moeten berekenen als de rente schokt.

Zonder dit systeem zouden banken en verzekeraars in de war raken. Ze zouden denken dat een lening in Euro's hetzelfde risico heeft als een lening in Dollars, terwijl dat door de "lekken" (basis spreads) en de verschillende brandstoffen (SOFR vs. EURIBOR) totaal anders is.

Samenvattend: De "Universal Translator" voor Geld

Deze paper is in feite een vertaalboek voor de moderne financiële wereld.

• Vroeger: Alles was één taal (LIBOR).
• Nu: We spreken honderd verschillende dialecten (SOFR, EURIBOR, AMERIBOR, verschillende zekerheden).
• Dit papier: Biedt de "Google Translate" die al die dialecten in één keer begrijpt en vertaalt naar een waarheid die voor iedereen klopt.

Het stelt ons in staat om een portefeuille van leningen en verzekeringen te bouwen die over de hele wereld verspreid is, zonder dat we bang hoeven te zijn dat we de verkeerde brandstof hebben gekozen of dat we de lekkage in de tank niet zien. Het is de basis voor een veilige, transparante financiële toekomst in een wereld van verschillende valuta's en regels.

Technische samenvatting

Hier is een gedetailleerde technische samenvatting van het paper "Cross-Currency Heath-Jarrow-Morton Framework in the Multiple-Curve Setting" van Alessandro Gnoatto en Silvia Lavagnini, geschreven in het Nederlands.

Titel: Cross-Currency Heath-Jarrow-Morton Framework in de Multiple-Curve Setting

Auteurs: Alessandro Gnoatto en Silvia Lavagnini
Datum: 6 maart 2026 (gepubliceerd op arXiv:2312.13057v3)

---

1. Probleemstelling en Context

De paper adresseert de complexe uitdagingen die zijn ontstaan door de hervorming van rentebenchmarks (zoals de overgang van LIBOR naar SOFR, EURIBOR, enz.) en de persistentie van cross-currency basis spreads in een post-financiële crisisomgeving. De kernproblemen zijn:

• Verschillende Benchmark-conventies: Verschillende valuta-gebieden hanteren verschillende rentestijlen. De VS-markt is overgestapt op achterwaartse, onderliggende rates gebaseerd op overnight rates (zoals SOFR), terwijl de Eurozone nog steeds werkt met vooruitkijkende, ongedekte interbancaire rates (zoals EURIBOR).
• Cross-Currency Basis Spreads: De "Covered Interest Rate Parity" (CIRP) geldt niet langer. Er bestaat een systematisch verschil tussen de waarde van cross-currency swaps en wat zou worden voorspeld op basis van ongedekte rentes. Dit verschil wordt gemodelleerd via cross-currency basis spreads.
• Collateralisatie en Completeness: Moderne derivatenpricings vereisen een nauwkeurige modellering van collateralisatie (vaak in een andere valuta dan de transactievaluta) en de bijbehorende fundingkosten. Bestaande modellen zijn vaak beperkt tot één valuta of kunnen niet gelijktijdig vooruitkijkende en achterwaartse rates modelleren.
• Portfolio-risicomanagement: Voor het berekenen van xVA (waaronder CVA) op portfolio-niveau over meerdere valuta's en conventies heen, is een coherent, arbitrage-vrij model nodig dat alle risicofactoren (rentes, wisselkoersen, basis spreads) simultaan beschrijft.

2. Methodologie

De auteurs ontwikkelen een algemeen Heath-Jarrow-Morton (HJM) raamwerk dat is uitgebreid naar een multi-curve en multi-currency setting. De methodologische pijlers zijn:

• Abstracte Indices: In plaats van zich te beperken tot specifieke rentes (zoals LIBOR of SOFR), definiëren de auteurs "abstracte indices" ($I$). Deze indices kunnen vooruitkijkende rates, achterwaartse rates (compounded overnight), inflatie of grondstoffenprijzen omvatten. Ze worden gekenmerkt door een vaststellingstijd ($T_f$) en een betalingstijd ($T_p$), wat flexibiliteit biedt voor verschillende marktconventies.
• Collateralisatie in Meerdere Valuta's: Het model onderscheidt strikt tussen:
  • De valuta van de kasstroom ($k_2$).
  • De valuta van de collateralisatie ($k_3$).
  • De valuta van de agent/valuta van de portfolio ($k_0$).
    Dit leidt tot een familie van zero-coupon bonds (ZCB's) $B^{k_0, k_3}(t, T)$, waarbij de prijs afhangt van de collateralisatievaluta.
• Stochastische Dynamica: Het model gebruikt een Itô-semimartingaal $X$ als drijvende factor. Dit maakt het mogelijk om zowel diffusie- als jumps (stochastische discontinuïteiten) te modelleren, wat essentieel is voor realistische marktmodellen.
• Martingaal-maatstaven: De auteurs definiëren een reeks maatstaven (measures), waaronder:
  • De lokale risiconeutrale maatstaf $Q^{k_0}$.
  • Voorwaartse maatstaven (forward measures) $Q^{T, k_0, k_3}$ gekoppeld aan specifieke ZCB's en collateralisatiestrategieën.
• Driftvoorwaarden: Een cruciaal onderdeel is het afleiden van nieuwe driftvoorwaarden (drift conditions) die nodig zijn om de martingaal-eigenschap van de geprijsde activa onder de juiste maatstaf te garanderen. Dit omvat de interactie tussen de collateral forward rates en de cross-currency basis spreads.

3. Belangrijkste Bijdragen

1. Unificatie van Vooruitkijkende en Achterwaartse Rates: Het raamwerk is de eerste die een enkele, coherente HJM-structuur biedt die zowel vooruitkijkende ongedekte rates (zoals EURIBOR) als achterwaartse onderliggende rates (zoals SOFR) en hun respectievelijke spreads simultaan kan modelleren.
2. Generalisatie van Cross-Currency Basis Spreads: De auteurs modelleren de cross-currency basis spreads ($q^{k_0, k_3}$) expliciet als een HJM-proces. Ze leiden een nieuwe driftvoorwaarde af (vergelijking 2.15) die de relatie tussen de basis spread, de collateral forward rate en de onderliggende semimartingaal beschrijft. Dit generaliseert eerdere werken (zoals Fujii et al. [2011]) naar een semimartingaal-setting.
3. Abstracte Forward Indices: Door het gebruik van abstracte indices met willekeurige vaststelling- en betalingsaanpassingen ($\delta_f, \delta_p$), kunnen complexe contracten zoals "in-arrears" forwards en nieuwe SOFR-gebaseerde producten direct worden ingepast zonder het model te hoeven aanpassen.
4. Coherent Pricing Framework voor Collateralisatie: Het paper biedt een strikte afleiding van de prijsformules voor volledig gecollateraliseerde claims in een multi-valuta omgeving, waarbij rekening wordt gehouden met funding spreads en wisselkoersrisico's.
5. Toepassing op Cross-Currency Swaps: De auteurs demonstreren de praktische toepasbaarheid door cross-currency swaps te validereren. Ze tonen aan hoe legacy-contracten (pre-LIBOR overgang) en nieuwe contracten (post-overgang met SOFR/AMERIBOR) binnen hetzelfde model kunnen worden gewaardeerd.

4. Resultaten en Kernformules

• Prijzen van Zero-Coupon Bonds (ZCB): De prijs van een ZCB in valuta $k_0$ met collateralisatie in $k_3$ wordt gegeven door:
  $$B^{k_0, k_3}(t, T) = \mathbb{E}^{Q^{k_0}} \left[ e^{-\int_t^T (r^{c, k_0}_s + q^{k_0, k_3}_s) ds} \mid \mathcal{G}_t \right]$$
  Hierbij is $r^{c, k_0}$ de collateral rate en $q^{k_0, k_3}$ de cross-currency basis spread.
• HJM Drift Voorwaarde voor Basis Spreads: De dynamiek van de cross-currency basis spread $q^{k_0, k_3}_t(T)$ moet voldoen aan een specifieke driftvoorwaarde onder de maatstaf $Q^{k_0}$ om arbitrage te voorkomen. Deze drift hangt af van de volatiliteit van de spread en de collateral forward rates.
• Forward Rates op Abstracte Indices: De prijs van een forward op een abstracte index wordt gedefinieerd als de verwachting onder een specifieke forward maatstaf, waarbij de spread tussen de index en de discount curve (OIS-achtige curve) als een multiplicatieve factor wordt gemodelleerd.
• Valutawissel (FX): De dynamiek van wisselkoersen $X^{k_0, k}$ wordt gekoppeld aan de collateral accounts en basis spreads, wat leidt tot "quanto"-aanpassingen in de drift van buitenlandse rentes wanneer deze onder de binnenlandse maatstaf worden gemodelleerd.

5. Betekenis en Conclusie

Deze paper biedt een fundamentele theoretische basis voor de hedendaagse interest rate modeling in een wereld van benchmark-hervormingen en multi-currency transacties.

• Voor de Praktijk: Het stelt risicomanagers en quanten in staat om grote portefeuilles van interest rate derivaten (over meerdere valuta's en conventies) te valideren en te hedgen zonder te hoeven switchen tussen verschillende, mogelijk inconsistent modellen. Dit is cruciaal voor de nauwkeurige berekening van xVA (Credit Valuation Adjustment, Funding Valuation Adjustment, etc.).
• Voor de Wetenschap: Het generaliseert de bestaande HJM-theorie door de beperkingen van "single-currency" en "single-curve" modellen te doorbreken. Het introduceert een robuuste manier om collateralisatie en basis spreads als endogene, dynamische variabelen te behandelen in plaats van als externe parameters.
• Toekomstperspectief: Het raamwerk is ontworpen om uitbreidingen toe te staan, zoals de modellering van opties (caps/floors) en de integratie van stochastische discontinuïteiten, wat de weg vrijmaakt voor nog realistischere marktmodellen.

Kortom, dit werk is een essentieel referentiepunt voor het modelleren van rentederivaten in de huidige, gefragmenteerde en complexe financiële markten.