Local coordinates and motion of a test particle in the McVittie spacetime

Deze studie toont aan dat de baan van een testdeeltje rond een massief object in de McVittie-ruimtetijd niet uitdijt door de kosmische expansie, maar wel een precessie ondergaat waarvan de richting afhangt van de Hubble- en deceleratieparameters.

De kern

De Dans van een Ster in een Uitdijend Universum: Een Simpele Uitleg

Stel je voor dat het heelal een gigantisch, uitdijend deeg is. Terwijl het deeg rijst (het heelal breidt zich uit), zitten er kleine broodjes in (sterrenstelsels) en nog kleinere kruimels (sterren) die om elkaar heen draaien.

De vraag die deze wetenschappers stellen, is heel simpel: Als het deeg rijst, worden de kruimels dan ook uit elkaar getrokken, of blijven ze gewoon in hun eigen dansje?

Hier is wat ze hebben ontdekt, vertaald naar alledaags taal:

1. Het Probleem: De Verkeerde Bril

Vroeger keken wetenschappers naar dit probleem door een "wereldbril" (globale coördinaten). Het was alsof je probeerde te begrijpen hoe een danspaar beweegt door te kijken naar de hele dansvloer die uitrekt. Dat gaf een verwarrend beeld: het leek alsof de dansers langzaam uit elkaar werden getrokken door de uitdijing van de vloer.

De auteurs van dit artikel zeggen: "Nee, dat is een illusie!"
Ze zeggen dat je moet kijken door een "lokaal verrekijker" (lokale coördinaten). Als je recht op de dansers kijkt, zonder naar de uitdijende vloer te kijken, zie je dat ze eigenlijk niet uit elkaar worden getrokken. De uitdijing van het heelal heeft geen invloed op de grootte van hun baan of de vorm van hun ellips. Ze blijven precies even groot en rond als voorheen.

De analogie: Stel je voor dat je op een rubberen mat zit die uitrekt. Als je een elastiekje op de mat legt en het rek uit, lijkt het elastiekje langer te worden. Maar als je het elastiekje zelf vasthoudt (de zwaartekracht van de ster), blijft het elastiekje op zijn lengte. De "ruimte" eromheen verandert, maar het elastiekje zelf niet.

2. Het Verwachte Effect: De Draaiende Dansvloer

Hoewel de dansers niet uit elkaar worden getrokken, gebeurt er wel iets vreemds. De uitdijing van het heelum zorgt ervoor dat hun danspasjes iets verschuiven.

Stel je voor dat twee dansers in een cirkel draaien. Door de uitdijing van het heelal (en de snelheid waarmee die uitdijing verandert), draait hun hele danscirkel heel langzaam om zijn eigen as. Dit noemen we precessie.

• Als het heelal versnelt (zoals nu, door 'donkere energie'), draait de danscirkel in de ene richting.
• Als het heelal vertraagt, draait hij in de andere richting.

Het is alsof je een tol draait op een vloer die langzaam uitrekt; de tol blijft staan, maar zijn as kantelt heel zachtjes.

3. De Snelheid van de Dans

Naast het kantelen, verandert de uitdijing ook heel lichtjes de snelheid waarmee de sterren om elkaar draaien. Het is een heel klein verschil, maar het is er wel. Het is alsof de muziek een fractie sneller of langzamer gaat spelen, afhankelijk van hoe snel het heelal uitdijt.

4. De Rekenmachine en de Sterren

De auteurs hebben deze theorie getest met echte sterren:

• S2 en S62: Sterren die heel dicht om het enorme zwarte gat in het centrum van onze Melkweg draaien.
• Sirius: Een beroemd dubbelsterrenstelsel.

Ze hebben uitgerekend hoe groot dit effect is. Het antwoord? Het is ontzettend klein.

• De "normale" draaiing door de zwaartekracht (de post-Newtonse precessie) is als een olifant.
• Het effect van de uitdijing van het heelal is als een mier op die olifant.

Voor de ster S2 is het effect van de kosmische uitdijing ongeveer 10 miljard keer kleiner dan het effect van de zwaartekracht van het zwarte gat. Je hebt dus supergeavanceerde telescopen nodig om dit ooit te meten.

5. Waarom is dit belangrijk?

Je zou denken: "Waarom doen we dit als het zo klein is?"
Het is belangrijk om de regels van het universum te begrijpen.

1. Bevestiging van Einstein: Het bewijst dat Einstein's theorie van de zwaartekracht (het equivalentieprincipe) klopt. Lokale systemen (zoals ons zonnestelsel) worden niet "opgeblazen" door het heelal. Ze zijn te sterk gebonden door hun eigen zwaartekracht.
2. De toekomst: Het helpt ons te begrijpen hoe zwarte gaten en sterren zich gedragen in een heelal dat eeuwig blijft uitdijen.
3. De "Vloer" van het heelal: Het laat zien dat de kromming van de ruimte (of het heelal plat is of bol) ook een heel klein beetje invloed heeft op hoe sterren dansen.

Samenvatting in één zin

Hoewel het heelal als een uitdijend deeg lijkt, blijven sterren die om elkaar draaien (zoals rond een zwart gat) hun eigen dansje doen zonder uit elkaar getrokken te worden; ze draaien alleen heel, heel langzaam een beetje scheef, afhankelijk van hoe snel het deeg rijst.

De conclusie: De kosmische uitdijing is een enorme kracht op grote schaal, maar voor kleine, gebonden systemen (zoals onze Melkweg of een dubbelster) is het effect verwaarloosbaar klein, behalve voor het heel langzame kantelen van hun baan.

Technische samenvatting

Hier is een gedetailleerde technische samenvatting van het artikel "Local coordinates and motion of a test particle in the McVittie spacetime" door Jayswal en Kopeikin, geschreven in het Nederlands.

Titel: Lokale coördinaten en beweging van een testdeeltje in de McVittie-ruimtetijd

Auteurs: Vishal Jayswal en Sergei M. Kopeikin
Instituut: Department of Physics & Astronomy, University of Missouri-Columbia, USA
Datum: Februari 2025

---

1. Probleemstelling

Het artikel onderzoekt de orbitale beweging van een testdeeltje in het zwaartekrachtsveld van een massief lichaam (zoals een zwart gat) met massa $m$, dat is ingebed in een uitdijend kosmologisch universum beschreven door de McVittie-metriek.

De kern van het probleem ligt in de interpretatie van waarnemingen. De oorspronkelijke McVittie-metriek is opgesteld in globale isotrope coördinaten $(t, r, \theta, \phi)$ die samenhangen met de Hubble-stroming. Deze coördinaten zijn geschikt voor het beschrijven van de globale evolutie van het universum, maar bevatten niet-fysische, coördinatenafhankelijke effecten die het moeilijk maken om lokale fysische experimenten (zoals de beweging van sterren rond een zwart gat) correct te interpreteren. Er is een noodzaak om over te schakelen naar lokale coördinaten $(T, R, \theta, \phi)$ die voldoen aan het equivalentieprincipe van Einstein, zodat de metriek lokaal Minkowskiaans wordt.

Het doel is om de invloed van de kosmische expansie (Hubble-parameter $H$) en de ruimtelijke kromming ($k$) op de osculerende elementen van een elliptische baan te kwantificeren, specifiek tot op de tweede orde in de Hubble-parameter.

2. Methodologie

De auteurs hanteren een meervoudige analytische benadering:

1. Transformatie naar Lokale Coördinaten:

   • De auteurs gebruiken het tetrad-formalisme om een transformatie af te leiden van de globale McVittie-coördinaten naar lokale coördinaten van een waarnemer die verbonden is met het centrale massieve lichaam.
   • De transformatie gebeurt in twee stappen:
     1. Transformatie van de radiale coördinaat $r \to R$ om de metriek in de vorm van Lasenby te brengen.
     2. Transformatie van de tijd $t \to T$ om de niet-diagonale termen in de metriek te elimineren.
   • Voor de transformatie van de radiale coördinaat wordt gebruikgemaakt van de Lagrange-inversiestelling om een algebraïsche vergelijking van de zesde graad op te lossen, wat leidt tot een uitdrukking in termen van hypergeometrische functies.

2. Post-Friedmanniaanse Benadering:

   • De exacte uitdrukkingen voor de metriek in lokale coördinaten zijn te complex voor directe integratie. De auteurs ontwikkelen de metriek in een reeks van kleine parameters: $HR/c \ll 1$, $m/R \ll 1$, en $m/a(t) \ll 1$, tot op de tweede orde.
   • Dit resulteert in een Post-Friedmanniaanse metriek die termen bevat voor de Newtoniaanse zwaartekracht, post-Newtoniaanse correcties, Hubble-expansie ($H$ en $\dot{H}$) en ruimtelijke kromming ($k$).

3. Bewegingsvergelijkingen en Storingstheorie:

   • De vergelijkingen van beweging worden afgeleid uit de geodetenvergelijking, wat resulteert in een tweede-orde differentiaalvergelijking die lijkt op de tweede wet van Newton, maar met extra storende krachten:
     • $\vec{F}_{N}$: Newtoniaanse kracht.
     • $\vec{F}_{pN}$: Post-Newtoniaanse storing.
     • $\vec{F}_{H}$: Storende kracht door Hubble-expansie.
     • $\vec{F}_{K}$: Storende kracht door Gauss-kromming van de ruimte.
   • De invloed van deze krachten op de baan wordt geanalyseerd met de methode van osculerende elementen (Lagrange's planetaire vergelijkingen).

4. Tijdsvergemiddeling:

   • Omdat er twee tijdschalen zijn (de korte omloopperiode $P_b$ en de lange Hubble-tijd $T_H$), wordt de tijdsvergemiddelingsmethode toegepast. De snelle variabelen (ware anomalie $f$) worden geïntegreerd over één omloopperiode, terwijl de trage variabelen ($H, a, q$) als constant worden beschouwd.
   • Hierbij worden Hansen-coëfficiënten gebruikt om de gemiddelde waarden van trigonometrische functies van de anomalie te berekenen.

3. Belangrijkste Resultaten

De analyse levert de volgende cruciale bevindingen op:

• Stabiliteit van Baanparameters (Grootte en Vorm):

  • De gemiddelde grootte (halve grote as $a$) en de vorm (excentriciteit $e$) van de elliptische baan worden niet beïnvloed door de kosmische expansie tot op de tweede orde in de Hubble-parameter ($H^2$).
  • Dit betekent dat $\langle \dot{a} \rangle = 0$ en $\langle \dot{e} \rangle = 0$ in de lokale coördinaten. Dit is consistent met het equivalentieprincipe en bevestigt dat gebonden systemen (zoals sterrenstelsels of dubbelsterren) niet "mee-expanderen" met het universum op deze schaal.

• Precessie van het Pericentrum:

  • Hoewel de grootte en vorm stabiel blijven, veroorzaakt de kosmische expansie wel een precessie van het pericentrum ($\omega$).
  • De richting en grootte van deze precessie hangen af van de vertragingparameter $q$ van het universum:
    • Als $q < 0$ (versnellende expansie, zoals in ons huidige universum door donkere energie), is de precessie positief (in dezelfde richting als de post-Newtoniaanse precessie).
    • Als $q > 0$ (vertraging van de expansie), is de precessie negatief (tegen de post-Newtoniaanse richting in).
    • Als $q = 0$ (constante expansie), is de bijdrage van de $q$-term nul, maar blijft er een negatieve bijdrage over door de Hubble-expansie zelf.
  • De totale precessiesnelheid wordt gegeven door een formule die post-Newtoniaanse termen, Hubble-termen en krommingstermen combineert.

• Verandering in Baanfrequentie:

  • De kosmische expansie verandert de frequentie van de gemiddelde orbitale beweging ($n$). De verandering hangt af van $q$ en de ruimtelijke kromming $k$.
  • Voor $q < 0$ neemt de gemiddelde beweging af; voor $q > 0$ neemt deze toe.

• Ruimtelijke Kromming:

  • De kromming van het universum ($k = -1, 0, +1$) heeft een meetbaar effect op de precessie van het pericentrum en de gemiddelde beweging, hoewel dit effect in de praktijk zeer klein is vergeleken met de Hubble-effecten.

4. Numerieke Schattingen

De auteurs passen hun theorie toe op drie astrophysische systemen om de grootteorde van de effecten te illustreren:

1. S2-ster: Een ster die rond het supermassieve zwarte gat Sgr A* in het Melkwegcentrum draait.
2. S62-ster: Een andere ster in de buurt van Sgr A*.
3. Sirius: Een dubbelsterstelsel.

Resultaten:

• De post-Newtoniaanse precessie is enorm groot (in de orde van $10^7$tot$10^8$ microboogseconden per jaar voor de S-sterren).
• De precessie door kosmische expansie ($\langle \dot{\omega}_H \rangle$) is extreem klein (in de orde van $10^{-9}$tot$10^{-18}$ microboogseconden per jaar).
• Conclusie: Hoewel het effect theoretisch significant is voor de fundamentele fysica, is het momenteel onmeetbaar met huidige technologie vergeleken met de dominante post-Newtoniaanse effecten.

5. Betekenis en Conclusie

• Theoretische Validatie: Het artikel biedt een rigoureuze afleiding van de bewegingsvergelijkingen in lokale coördinaten voor een McVittie-ruimtetijd, wat essentieel is voor het scheiden van echte fysieke effecten van coördinaatartefacten.
• Verduidelijking van Expansie-effecten: Het weerlegt het idee dat gebonden systemen simpelweg "mee-expanderen". In plaats daarvan toont het aan dat de expansie voornamelijk manifesteert als een precessie-effect en een verandering in de orbitale frequentie, afhankelijk van de dynamiek van het universum ($q$).
• Vergelijking met eerdere werken: De resultaten generaliseren eerdere studies (zoals die van Kerr, Arakida en Rindler) door de invloed van de vertragingparameter $q$ en de centrale massa $m$ expliciet te includeren. Het toont aan dat eerdere formules voor de precessie onvolledig waren omdat ze vaak alleen de eerste orde in excentriciteit of specifieke limieten ($m/a \to 0$) beschouwden.
• Toekomstperspectief: Hoewel de effecten nu te klein zijn om te meten, biedt de theorie een fundamenteel raamwerk voor het begrijpen van de interactie tussen lokale zwaartekracht en kosmische expansie, wat relevant kan zijn voor toekomstige ultra-precisie metingen of voor het bestuderen van systemen in het vroege universum.

Samenvattend biedt dit werk een complete, tot op de tweede orde nauwkeurige beschrijving van hoe een uitdijend universum de dynamica van gebonden systemen beïnvloedt, met als belangrijkste conclusie dat de orbitale precessie een direct signaal is van de versnelling of vertraging van het universum.