A robust and adaptive MPC formulation for Gaussian process models

Dit artikel presenteert een robuust en adaptief modelpredictieve regelingskader voor onzekere niet-lineaire systemen dat gebruikmaakt van Gaussische processen en contractiemetrieken om, met hoge waarschijnlijkheid, recursieve haalbaarheid, robuuste constraint-naleving en convergentie te garanderen.

De kern

Stel je voor dat je een drone bestuurt die een pakketje moet bezorgen. Maar er is een probleem: de drone vliegt in een omgeving met onbekende obstakels en windstoten die je niet precies kunt voorspellen. Bovendien is de drone zelf niet perfect; de luchtstroom onder de vleugels (de "grond-effecten") verandert continu en is moeilijk te modelleren.

Als je een standaard besturingscomputer gebruikt, zou die zeggen: "Ik ga een strakke route vliegen." Maar als er dan een onverwachte windstoot komt of de grond-effecten anders zijn dan gedacht, kan de drone uit de lucht vallen of tegen een muur vliegen.

Deze paper introduceert een slimme, nieuwe manier om zo'n drone (of elke andere complexe machine) veilig te besturen, zelfs als je niet alles precies weet. Ze noemen dit Robust Adaptive Model Predictive Control (MPC) met Gaussian Processes.

Laten we dit uitleggen met een paar alledaagse vergelijkingen:

1. De "Onzekere" Kracht: Gaussian Processes (GP)

Stel je voor dat je een nieuwe stad binnenrijdt en je kent de wegen niet. Je hebt een oude kaart (je bestaande model), maar die is verouderd.

• Hoe werkt het? In plaats van te raden, laat je de drone tijdens het vliegen metingen doen. Een wiskundig trucje genaamd een Gaussian Process (GP) fungeert als een super-slimme navigator die niet alleen zegt: "Hier is de weg," maar ook zegt: "Hier ben ik 99% zeker van, maar daar ben ik maar 60% zeker van."
• De analogie: Het is alsof je een kaart tekent waarbij de gebieden die je nog niet hebt verkend, worden ingekleurd met een grijze tint. Hoe meer je rijdt en meet, hoe meer die grijze tint verdwijnt en hoe scherper je kaart wordt.

2. De "Veiligheidsbuis": Contraction Metrics

Dit is het meest creatieve deel van de paper.

• Het probleem: Als je niet zeker bent van de weg, moet je niet strak langs de randen rijden. Je moet een veiligheidsmarge houden.
• De oplossing: De auteurs gebruiken een wiskundig hulpmiddel genaamd een Contraction Metric. Stel je voor dat je de drone niet in een strakke lijn laat vliegen, maar in een onzichtbare, flexibele rubberen buis.
  • De drone vliegt in het midden van deze buis (de "nominale" route).
  • De wanden van de buis zijn verankerd in de grond (de wiskundige garanties).
  • Als de wind de drone naar links duwt, wordt de buis aan de linkerkant smaller en aan de rechterkant breder, maar de drone blijft altijd binnen de buis.
• Waarom is dit slim? Oudere methoden maakten deze buis steeds breder naarmate de drone verder vloog (zoals een trechter die uit elkaar valt), waardoor de drone uiteindelijk overal niet meer mocht vliegen. Deze nieuwe methode zorgt ervoor dat de buis samenklapt (contracteert) als de drone stabiel vliegt. De buis blijft dus compact en beheersbaar, zelfs als er onzekerheid is.

3. De "Adaptieve" Leraar: Online Learning

Dit is waar de "Adaptive" in de titel om de hoek komt kijken.

• Hoe werkt het? De drone start met een basis-kaart (offline data). Maar zodra hij vliegt, verzamelt hij nieuwe data.
• De analogie: Stel je voor dat je een leraar bent. Je begint met een lesboek (het offline model). Maar elke dag die je lesgeeft, leer je iets nieuws van je leerlingen.
  • De oude methoden zouden zeggen: "Ik gebruik mijn lesboek van vandaag, morgen gebruik ik het boek van morgen." Dit kan leiden tot verwarring als de boeken niet overeenkomen.
  • De nieuwe methode (RAMPC) zegt: "Ik heb een map met alle versies van mijn lesboek. Ik kijk naar de delen waar ik het meest zeker van ben, en ik mix ze samen tot een nieuwe, betere les."
• Het resultaat: Naarmate de drone meer vliegt, wordt zijn "onzekerheidskaart" scherper. De rubberen buis wordt smaller, waardoor de drone dichter bij de ideale route kan vliegen en sneller en efficiënter is.

Wat is het grote voordeel?

In de proefopdracht (een drone die over een heuvelachtig terrein vliegt) zagen ze twee dingen:

1. Veiligheid: De drone viel nooit uit de lucht en raakte nooit de grond, zelfs niet met sterke windstoten. De "rubberen buis" hield hem veilig.
2. Snelheid: Omdat de drone tijdens het vliegen leerde, werd hij steeds beter. De "Adaptive" versie kwam 9% sneller aan op zijn bestemming dan de versie die niet online leerde.

Samenvattend

Deze paper presenteert een besturingsmethode die:

1. Loopt met een "rubberen buis" om onzekerheid veilig op te vangen.
2. Leert van elke meting die de machine maakt, waardoor de buis steeds smaller en efficiënter wordt.
3. Garandeert dat de machine nooit de veilige zone verlaat, zelfs als de wiskunde complex is.

Het is alsof je een drone bestuurt die niet alleen een pilot is, maar ook een slimme onderzoeker die onderweg zijn eigen kaart tekent en direct aanpast, terwijl hij tegelijkertijd in een onzichtbaar veiligheidsnet vliegt dat nooit scheurt.

Technische samenvatting

Titel: Een robuuste en adaptieve MPC-formulering voor Gaussische Processen

Auteurs: Mathieu Dubied, Amon Lahr, Melanie N. Zeilinger, Johannes Köhler (ETH Zürich)
Publicatie: Preprint ingediend bij Automatica (2026)

---

1. Probleemstelling

Model Predictive Control (MPC) is een krachtige techniek voor de besturing van niet-lineaire systemen met constraints. Echter, de theoretische garanties voor veilige werking (zoals het voldoen aan constraints) zijn vaak afhankelijk van een nauwkeurig systeemmodel. In de praktijk zijn systemen vaak onzeker door:

• Onbekende niet-lineariteiten.
• Gebonden verstoringen (bijv. wind, meetruis).
• Dynamische effecten die moeilijk te modelleren zijn (zoals bodemeffecten bij drones).

Bestaande methoden voor Robust Adaptive MPC (RAMPC) zijn vaak beperkt tot lineair geparametriseerde onzekerheden. Gaussische Processen (GP) bieden een moderne machine learning-techniek om algemene onbekende functies te leren en geven rigoureuze onzekerheidsschattingen. Het probleem is echter dat het combineren van GP's met RAMPC moeilijk is:

1. Bestaande GP-MPC-methoden leveren vaak geen theoretische garanties voor constraint-satisfactie.
2. Methoden die wel garanties bieden (via robuuste propagatie) zijn vaak te conservatief (exponentieel groeiende bereikbare sets) of compatibel met online modelupdates.
3. Het garanderen van recursieve haalbaarheid (dat het optimalisatieprobleem op elk tijdstip een oplossing heeft) is complex wanneer het model continu wordt bijgewerkt met nieuwe data, omdat de onzekerheidsbanden niet noodzakelijk genest zijn.

2. Methodologie

De auteurs stellen een Robust and Adaptive MPC (RAMPC) raamwerk voor dat Gaussische Processen combineert met contraction metrics (contractiemeetmaten) om robuuste voorspellingen te doen.

A. Modelleerstrategie (Gaussische Processen)

• Het systeem wordt gemodelleerd als een bekende dynamiek plus een onbekende functie $g(x)$, die wordt geleerd via GP's.
• Er wordt gebruikgemaakt van hoog-probabiliteit grenzen voor de GP-fout (gebaseerd op Lemma 1). Dit betekent dat de werkelijke dynamiek met een vooraf gekozen waarschijnlijkheid ($1-p$) binnen een bepaalde band om het GP-gemiddelde ligt.
• Online Learning: Tijdens de werking worden nieuwe metingen verzameld en gebruikt om de GP-posteriors te updaten, waardoor de onzekerheid afneemt.

B. Robuuste Voorspelling via Contractiemeetmaten

In plaats van complexe bereikbare sets te berekenen die exponentieel groeien, gebruiken de auteurs een homothetische buis (tube) rondom een nominale trajectorie.

• Offline Design: Er wordt een contractiemeetmaat $M(x)$ ontworpen (via Lineaire Matrix Ongelijkheden - LMIs) die exponentiële incrementele stabiliteit garandeert voor het nominale systeem.
• Online Propagatie: De grootte van de buis wordt niet als een matrix, maar als een scalair variabele $\delta_t$ voorspeld. Een differentiaalvergelijking voor $\delta_t$ wordt afgeleid die rekening houdt met de GP-foutgrenzen (gemiddelde en variantie) en de contractie-eigenschappen.
• Dit zorgt ervoor dat de buis alle mogelijke echte trajecto's bevat, maar veel minder conservatief is dan eerdere methoden (zoals intervalrekenen of lineaire benaderingen).

C. Adaptieve Strategie (RAMPC)

Om recursieve haalbaarheid te garanderen tijdens online updates (waarbij de GP-posterior verandert), introduceren de auteurs een collectie van GP-modellen:

• In plaats van één model te updaten, wordt een verzameling van opeenvolgende GP-modellen bijgehouden.
• De nominale voorspelling wordt gevormd door een lineaire combinatie van de posterier-gemiddelden van deze modellen.
• De onzekerheidsband wordt berekend via een verzamelingssnede (set-intersection) van de betrouwbaarheidsintervallen van alle modellen in de collectie.
• Dit garandeert dat de onzekerheidsband monotoon afneemt (niet toeneemt) en dat de voorspelling consistent blijft, zelfs als het model verandert.

3. Belangrijkste Bijdragen

1. Theoretische Garanties: Het paper biedt bewijzen voor recursieve haalbaarheid, robuuste constraint-satisfactie en convergentie naar een referentietoestand met een vooraf bepaalde waarschijnlijkheid ($1-p$).
2. Efficiënte Robuuste Propagatie: Door gebruik te maken van contractiemeetmaten en een scalair $\delta$, wordt de berekening van de buis aanzienlijk efficiënter en minder conservatief dan bestaande GP-RMPC-methoden (die vaak lijnare benaderingen gebruiken die exponentieel divergeren).
3. Seamless Online Learning: Het raamwerk lost het probleem van niet-geneste onzekerheidsbanden op bij online updates door het gebruik van een collectie modellen en een geoptimaliseerde lineaire combinatie.
4. Toepasbaarheid: De methode werkt voor een brede klasse van niet-lineaire continue-tijdsystemen met sub-Gaussische ruis en ongemodelleerde niet-lineariteiten in een Reproducing Kernel Hilbert Space (RKHS).

4. Numerieke Resultaten

De methode werd getest op een planair quadcopter model dat blootstaat aan moeilijk te modelleren bodem-effecten (ground effects) en windverstoringen.

• Vergelijking met bestaande methoden:
  • De voorgestelde methode (op basis van contractiemeetmaten) hield de voorspelde buis grootte begrensd.
  • Een bestaande methode (gebaseerd op lineaire Taylor-uitbreiding, zoals in [18]) leidde tot een exponentiële groei van de buis en numerieke divergentie na ongeveer 1 seconde.
• Prestatieverbetering:
  • De GP-RAMPC (met online updates) bereikte het doelgebied (terminal set) 6% sneller dan de GP-RMPC (alleen offline data).
  • De gesloten-lus tracking-kost werd met 9% verlaagd.
• Berekeningstijd: De berekeningstijd per iteratie bleef stabiel en haalbaar (ongeveer 89 ms voor RAMPC), dankzij een slimme batch-strategie voor het evalueren van meerdere GP-modellen.

5. Betekenis en Conclusie

Dit paper vult een belangrijke lacune in de literatuur door een computationeel efficiënt en theoretisch onderbouwd raamwerk te bieden dat machine learning (GP's) en robuuste besturing (MPC) combineert.

• Innovatie: Het overbrugt de kloof tussen data-gedreven modellering en strikte veiligheidsgaranties.
• Praktische impact: Het stelt systemen in staat om tijdens de operatie te "leren" en zich aan te passen aan onbekende dynamische effecten (zoals bodemeffecten bij drones) zonder de veiligheid te riskeren.
• Toekomst: De auteurs wijzen op de noodzaak van verdere optimalisatie van de numerieke efficiëntie en geavanceerde data-beheerstrategieën voor grootschalige toepassingen.

Kortom, de auteurs hebben een methode ontwikkeld die niet alleen veiliger is dan bestaande GP-MPC-aanpakken, maar ook beter presteert door het actief gebruik van online data, terwijl de wiskundige garanties voor de werking behouden blijven.