Complexity in multi-qubit and many-body systems

Technische Samenvatting: Complexiteit in multi-qubit en veel-deeltjessystemen

Auteur: Imre Varga
Datum: 19 januari 2026

1. Probleemstelling

Het karakteriseren van de kwantumtoestand in systemen met veel qubits (multi-qubit) en veel-deeltjessystemen (many-body systems) is een fundamentele uitdaging binnen de kwantuminformatiewetenschap. Naarmate het aantal qubits ($n$) toeneemt, groeit de Hilbertruimte exponentieel ($2^n$), wat standaard methoden zoals kwantumtoestand-tomografie onbruikbaar maakt. Bovendien bemoeilijken fenomenen zoals decoherentie (ruis door de omgeving), verstrengeling (entanglement) en de overgang tussen geïntegreerde/gelokaliseerde fasen en chaotische/ergodische fasen het begrip van de effectieve bruikbaarheid van kwantumsystemen. Er is behoefte aan een diagnostisch instrument dat zowel computationeel hanteerbaar als fysiek inzichtelijk is om deze complexe regimes en overgangen te identificeren.

2. Methodologie

De auteur introduceert een maatstaf voor entropische complexiteit ($S_C$), gedefinieerd als het verschil tussen de von Neumann-entropie ($S$) en de tweede-orde Rényi-entropie ($R_2$):

$$S_C = S - R_2 = -\text{Tr}\{\rho \ln \rho\} + \ln \text{Tr}\{\rho^2\}$$

Belangrijke kenmerken van deze maatstaf:

• Fysieke grondslag: $S$ meet de globale onzekerheid/gemengdheid, terwijl $R_2$ direct gerelateerd is aan de zuiverheid (purity) en de inverse participation ratio (IPR).
• Eigenschappen: De maatstaf is niet-negatief en verdwijnt bij de twee uiterste (triviale) grenzen: een volledig zuivere kwantumtoestand en een volledig gemengde (klassieke) toestand.
• Toepassingsgebieden: De methode wordt toegepast op:
  1. Decoherentie-modellen: Depolarisatiekanalen en dephasering (faseverschuiving) in $n$-qubit Werner- en GHZ-toestanden.
  2. Random Matrix Theory (RMT): Deformed GOE (Gaussian Orthogonal Ensemble) en TBRE (Two-Body Random Interaction Ensemble) om de overgang naar chaos te bestuderen.
  3. Many-Body Localization (MBL): Een 1D Heisenberg-spin keten onder invloed van een willekeurig magnetisch veld.
  4. Dynamica: De overlevingstochtend (survival probability) van lokale excitaties in chaotische systemen.

3. Belangrijkste Resultaten

• Kwantum-Klassieke Crossover: In systemen die onderhevig zijn aan ruis (depolarisatie/dephasering), vertoont $S_C$ een piek bij een specifieke parameterwaarde $p^*$. Deze piek markeert het punt waar het systeem noch volledig geordend, noch volledig willekeurig is, maar de hoogste structurele complexiteit bezit. Voor dephasering geldt dat $p^* \sim 1/n$.
• Identificatie van MBL en Chaos: In veel-deeltjessystemen fungeert $S_C$ als een krachtige indicator voor de overgang van gelokaliseerde (MBL) naar ergodische (chaotische) fasen. Cruciaal is dat de maximale complexiteit optreedt in de niet-ergodische maar uitgebreide toestanden precies op de kritieke overgang, wat de kritieke regio nauwkeurig vastlegt.
• Schaalbaarheid: De resultaten tonen aan dat de complexiteitspiek schaalt met de systeemgrootte. In het TBRE-model volgt de piek van de complexiteit een machtswet die consistent is met theoretische voorspellingen over de spreiding van toestanden.
• Dynamische Complexiteit: Bij de tijdsevolutie van een excitatiespectrum piekt $S_C$ op een tijdschaal die inherent is aan het systeem. Dit geeft inzicht in de snelheid waarmee kwantuminformatie "smelt" of verloren gaat in een chaotisch systeem.

4. Betekenis en Conclusie

De belangrijkste bijdrage van dit werk is de demonstratie dat de entropische complexiteit ($S_C$) een universeel en veelzijdig instrument is voor het detecteren van niet-triviale kwantumregimes.

De kernconclusie is: De toestand met maximale complexiteit markeert de grens van de operationele bruikbaarheid van een kwantumsysteem. Voorbij dit punt "smelt" de kwantumcomputer en gedraagt het systeem zich meer als een thermische machine dan als een informatieverwerker. De maatstaf biedt een alternatief en complementair perspectief op traditionele indicatoren (zoals spectrale ratio's of IPR) voor het begrijpen van de structurele overgangen in de kwantumwereld.