Using Symbolic Regression to Emulate the Radial Fourier Transform of the Sérsic profile for Fast, Accurate and Differentiable Galaxy Profile Fitting

Titel

Het gebruik van symbolische regressie om de radiale Fourier-transformatie van het S´ersic-profiel te emuleren voor snelle, accurate en differentieerbare fitting van galaxieprofielen.

1. Het Probleem

Het aanpassen van galaxieprofielen (profile fitting) is een fundamentele techniek in de extragalactische astronomie voor het meten van structurele parameters (zoals grootte, vorm en totale flux) en fotometrie. De meest gebruikte parameterisatie is het S´ersic-profiel, dat de oppervlaktehelderheid beschrijft als een functie van de straal.

Er zijn echter twee grote numerieke uitdagingen bij het werken met S´ersic-profielen in moderne fitting-pipelines:

1. Afwezigheid van een gesloten vorm: Het S´ersic-profiel heeft geen analytische gesloten vorm voor zijn Fourier-transformatie (of Hankel-transformatie in radiale coördinaten). Dit maakt directe convolutie met het punt-spreidingsfunctie (PSF) in de Fourier-ruimte onmogelijk zonder benaderingen.
2. Rekenkosten van bestaande methoden:
   • Oversampling: Om de steile hellingen in het centrum van galaxieën (vooral bij hoge S´ersic-index $n$) nauwkeurig weer te geven, moeten pixels worden "oversampled". Dit is rekenkundig zeer duur.
   • Gaussian Mixture Models (GMM): Een veelgebruikte workaround is het benaderen van het S´ersic-profiel met een mengsel van Gaussische functies. Omdat de Fourier-transformatie van een Gaussische ook Gaussisch is, werkt dit goed. Echter, voor een nauwkeurige weergave zijn vaak >10 Gaussians nodig, wat de rekenkosten weer aanzienlijk verhoogt.

Het doel van dit paper is een emulator te ontwikkelen die de radiale Fourier-transformatie van het S´ersic-profiel nabootst, zodat fitting sneller, accuraat en differentieerbaar (nodig voor gradient-based optimalisatie) kan verlopen.

2. Methodologie

De auteurs hanteren een drie-staps aanpak:

A. Numerieke Berekening van de Transformatie
Omdat er geen analytische oplossing is, berekenen de auteurs de radiale Fourier-transformatie ($F_r(k)$) numeriek voor een breed scala aan S´ersic-indexen ($n$) en ruimtelijke frequenties ($k$). Ze gebruiken hiervoor de Python-pakket hankel, dat gebaseerd is op een nauwkeurige numerieke integratiemethode voor Bessel-functies. Ze genereren een trainingsset van 10.000 willekeurige combinaties van $n$ (tussen 0,4 en 6,5) en $k$.

B. Symbolische Regressie
In plaats van een traditioneel neurale netwerk te gebruiken, maken ze gebruik van symbolische regressie (via het pakket pysr).

• Doel: Zoeken in de ruimte van analytische uitdrukkingen om een vergelijking te vinden die de numerieke data het beste benadert.
• Beperkingen: Om de fysieke grenzen van de transformatie te respecteren (de waarde moet tussen 0 en 1 liggen en asymptotisch naar 0 gaan bij hoge $k$), wordt de structuur van de oplossing beperkt tot een Sigmoid-functie:
  $$\tilde{F}_r(k, n) = \frac{1}{1 + e^{G(k,n)}}$$
  Waarbij $G(k,n)$ de functie is die door de symbolische regressie wordt gevonden.
• Optimalisatie: Het algoritme evolueert populaties van vergelijkingen door operatoren (+, -, *, exp, log, sqrt, etc.) te combineren. Ze zoeken een balans tussen complexiteit (aantal operatoren) en nauwkeurigheid (L2-verlies).

C. Implementatie
De gevonden vergelijking wordt geïmplementeerd in de pysersic fitting-pakket. Omdat de uitkomst een analytische formule is, is deze volledig differentieerbaar, wat essentieel is voor moderne inferentiemethoden zoals MCMC en Variational Inference.

3. Belangrijkste Bijdragen

1. Eerste analytische emulator: Voor het eerst wordt een gesloten, analytische formule gepresenteerd die de radiale Fourier-transformatie van het S´ersic-profiel nauwkeurig benadert, zonder recourse te nemen op Gaussische mengsels of oversampling.
2. Symbolische regressie toepassing: Het paper demonstreert het succesvol gebruik van symbolische regressie voor het vinden van complexe, maar interpreteerbare fysieke modellen die computatie-efficiënt zijn.
3. Integratie in bestaande software: De methode is direct geïmplementeerd in pysersic, een veelgebruikt open-source pakket, en is klaar voor gebruik in grootschalige surveys.

4. Resultaten

De auteurs testen de emulator op twee manieren:

A. Injectie-Recovery Tests (Synthetische Data)
Ze genereren "ware" galaxieprofielen met een zwaar oversampled renderer en passen deze vervolgens aan met de Fourier-emulator.

• Nauwkeurigheid: De herstelde parameters (straal $r_{eff}$, index $n$, flux, positie) komen zeer goed overeen met de invoer.
  • Gemiddelde afwijking: < 0,4% voor $r_{eff}$ en $n$.
  • Spreiding (scatter): < 1,7%.
• Systematische fouten: Er is een kleine systematische onder-overschatting van de index $n$ bij waarden rond $n \approx 1$ (tot 5% afwijking) en een lichte overschatting bij $n > 3$. Dit komt overeen met de nauwkeurigheid van de emulator in de Fourier-ruimte bij lage $n$.

B. Toepassing op Realistische Data (HSC-SSP)
Ze passen de methode toe op 100 echte galaxieën uit de GAMA/HSC-SSP survey en vergelijken dit met de standaard "hybrid" renderer (Gaussian mixture) in pysersic.

• Vergelijking: De herstelde parameters tussen beide methoden zijn bijna identiek. De fractionele verschillen zijn < 1% voor zowel $r_{eff}$ als $n$.
• Systeembias: De verschillen vallen binnen de statistische onzekerheden van de metingen.

C. Prestaties en Snelheid
Dit is het meest opvallende resultaat:

• De Fourier-emulator is 2,5 keer sneller dan de standaard hybrid renderer.
• MCMC Sampling: De mediane rekentijd per galaxie daalt van 64 seconden naar 23,5 seconden.
• Optimalisatie (MAP): Daalt van 3,33 seconden naar 1,45 seconden.
• Variational Inference (SVI): Daalt van 36,5 seconden naar 15,3 seconden.

5. Betekenis en Conclusie

Deze ontwikkeling is van cruciaal belang voor de toekomst van de extragalactische astronomie:

• Schaalbaarheid: Met de komst van surveys met miljarden galaxieën (zoals LSST/Rubin Observatory) is de huidige rekenlast van profielfitting een bottleneck. Een snelheidsverbetering van 2,5x maakt het mogelijk om deze pipelines schaalbaar te houden.
• Behoud van Nauwkeurigheid: De snelheidswinst wordt bereikt met een verwaarloosbaar verlies aan nauwkeurigheid. De systematische fouten van de emulator zijn kleiner dan de typische onzekerheden in bestaande fotometrische catalogi.
• Differentieerbaarheid: Omdat de emulator een analytische formule is, blijft deze volledig differentieerbaar. Dit is essentieel voor het gebruik van gradient-based optimalisatie en Bayesiaanse inferentie, wat vaak niet het geval is bij lookup-tabellen of complexe numerieke integraties.

Beperkingen:
De emulator is geldig voor S´ersic-indexen tussen 0,5 en 6,0 (wat de meeste echte galaxieën dekt). Buiten dit bereik (bij zeer hoge $n$) neemt de nauwkeurigheid af. Ook is er nog geen correctie toegepast voor aliasing-effecten bij bronnen dicht bij de rand van het beeld, hoewel dit voor de meeste toepassingen (waar galaxieën centraal staan) minder kritiek is.

Kortom, dit paper biedt een elegante, wiskundig onderbouwde oplossing voor een decennia lang bestaand numeriek probleem, waardoor de analyse van galaxieprofielen aanzienlijk efficiënter wordt zonder in te leveren op wetenschappelijke kwaliteit.