Quantum Utility in Simulating the Real-time Dynamics of the Fermi-Hubbard Model using Superconducting Quantum Computers

Probleemstelling

Het Fermi-Hubbard-model is een fundamenteel model in de gecondenseerde materie-fysica dat sterk gecorreleerde elektronen beschrijft. Het model verklaart complexe fenomenen zoals magnetisme, de Mott-isolator-overgang en het gedrag van hoge-temperatuur supergeleiders. Hoewel het model in één dimensie exact oplosbaar is, ontbreekt er een analytische oplossing voor de algemene dimensies.

De uitdaging ligt in het simuleren van de real-time dynamica van dit model voor grote systemen. Klassieke numerieke methoden, zoals exacte diagonalisatie, worden onuitvoerbaar naarmate het aantal deeltjes toeneemt vanwege de exponentiële groei van de Hilbertruimte. Andere klassieke benaderingen, zoals Matrix Product States (MPS), kampen met beperkingen bij het simuleren van toestanden met hoge verstrengeling (entanglement) over lange tijdschalen, waar de vereiste bond-dimension exponentieel groeit.

Het doel van dit onderzoek is om te demonstreren dat supergeleidende quantumcomputers (specifiek IBM-platforms) in staat zijn om de real-time dynamica van het één-dimensionale Fermi-Hubbard-model te simuleren voor systemen met meer dan 100 qubits, en dit te doen op een schaal die klassieke methoden niet kunnen bereiken.

Methodologie

1. Qubit-encoding en Hamiltoniaan:

• De auteurs gebruiken een specifieke qubit-mapping waarbij elk roosterpunt $j$ van het Fermi-Hubbard-model wordt gekoppeld aan twee aangrenzende qubits ($2j$ en $2j+1$) in het register. Dit resulteert in $N = 2L$ qubits voor $L$ roosterpunten.
• Deze mapping, gecombineerd met de Jordan-Wigner-transformatie, zorgt ervoor dat de hopping-termen (tunneling) en interactie-termen alleen opereren op qubits die dicht bij elkaar liggen (naaste buren en buren van de tweede orde). Dit is cruciaal voor hardware met beperkte connectiviteit, zoals de "heavy-hexagonal" topologie van IBM's quantum processors.

2. Trotterisatie-schetsen:
Om de tijds-evolutie-operator $U(\tau) = e^{-iH\tau}$ te implementeren, gebruiken de auteurs de Trotter-Suzuki-decompositie:

• Eerste-orde Trotterisatie: Een standaard decompositie van de Hamiltoniaan in hopping-, interactie- en chemische potentiaal-termen.
• Geoptimaliseerde tweede-orde Trotterisatie: De auteurs ontwikkelen een geoptimaliseerde versie van de tweede-orde schets. Door de eigenschap $U(\theta_1)U(\theta_2) = U(\theta_1 + \theta_2)$ te benutten, worden opeenvolgende lagen in de circuit die dezelfde operaties uitvoeren samengevoegd. Dit vermindert de totale circuitdiepte aanzienlijk ten opzichte van een standaard tweede-orde implementatie.

3. Schaalbaarheid en Circuitdiepte:
Een kerninnovatie is dat de circuitdiepte per Trotter-stap constant blijft, ongeacht het aantal qubits ($N$). Dit betekent dat de schaalbaarheid niet wordt beperkt door de diepte van het circuit, maar alleen door de coherentietijd van de hardware. Dit in tegenstelling tot periodieke randvoorwaarden, die een $O(N)$ diepte zouden vereisen.

4. Quantum Error Mitigation (QEM):
Gezien de beperkte coherentietijd en ruis op huidige hardware, worden vier QEM-technieken toegepast om de nauwkeurigheid te verhogen:

• TREX (Twirled Readout Error Extinction): Vermindert meetfouten door willekeurige flips toe te passen voor de meting.
• DD (Dynamical Decoupling): Onderdrukt decoherentie tijdens wachttijden door periodieke pulsen.
• PT (Pauli Twirling): Converteert coherente fouten in stochastische ruis, wat makkelijker te corrigeren is.
• ZNE (Zero-Noise Extrapolation): Extrapolatie naar een ruisvrij resultaat door het circuit op verschillende niveaus van ruis (via gate folding) uit te voeren.

5. Experimentele Setup:
De experimenten werden uitgevoerd op IBM's ibm kingston en ibm marrakesh processors (Heron r2-chips met 156 qubits).

• Systeem 1: $L=10$ sites ($N=20$ qubits).
• Systeem 2: $L=52$ sites ($N=104$ qubits).
• De simulatie startte vanuit de N´eel-toestand (een producttoestand met afwisselende spin-up en spin-down elektronen) en evolueerde tot een tijd $\tau = 5$.

Belangrijkste Bijdragen

1. Schaalbare Circuit-architectuur: De ontwikkeling van een Trotterisatie-schets die constant blijft in diepte ongeacht het systeemgrootte, specifiek ontworpen voor de beperkte connectiviteit van IBM's supergeleidende qubits.
2. Optimalisatie van tweede-orde schets: Een nieuwe methode om de diepte van tweede-orde Trotter-circuits te reduceren door het samenvoegen van identieke operationele lagen, wat essentieel is voor het uitvoeren van langere simulaties.
3. Demonstratie van Quantum Utility: Het succesvol meten van de verwachtingswaarde van de N´eel-observabele (staggered magnetization) voor een systeem van 104 qubits. Dit is een schaal die klassieke exacte methoden onmogelijk kunnen simuleren en waar klassieke benaderingen (MPS) falen door te hoge verstrengeling.
4. Validatie op twee schalen: Het vergelijken van resultaten met exacte klassieke berekeningen voor kleine systemen en met MPS-TDVP (Matrix Product State) voor grote systemen, waarbij de quantumresultaten consistent zijn binnen de geldigheidsperiode van de klassieke methoden.

Resultaten

• Nauwkeurigheid (L=10): Voor het systeem met 20 qubits toonden de resultaten van zowel de eerste-orde als de geoptimaliseerde tweede-orde Trotterisatie (met QEM) uitstekende overeenkomst met de exacte klassieke berekeningen. De tweede-orde methode was nauwkeuriger.
• Grootschalige simulatie (L=52): Voor het systeem met 104 qubits werden de resultaten vergeleken met de MPS-TDVP methode.
  • Er was goede overeenkomst tussen de quantumcomputers en de klassieke MPS-methode voor tijden $\tau \leq 4$.
  • Bij $\tau > 4$ begonnen de quantumresultaten af te wijken door de accumulatie van ruis (voornamelijk door twee-qubit CZ-gates).
  • Tegelijkertijd faalde de klassieke MPS-methode ook bij $\tau > 4$ omdat de vereiste bond-dimension exponentieel groeide en de beschikbare GPU-geheugen (40GB) overschreed.
• Circuitdiepte: De totale circuitdiepte voor 10 Trotter-stappen bleef bijna identiek voor 20 qubits en 104 qubits (bijv. ~518 voor eerste-orde, ~840 voor geoptimaliseerde tweede-orde), wat de schaalbaarheid bevestigt.
• Efficiëntie: De quantumcomputers konden grotere tijdschalen verkennen dan standaard MPS-implementaties op enkele GPU's, vooral in regimes met hoge verstrengeling.

Betekenis en Conclusie

Dit werk demonstreert een duidelijk voorbeeld van "Quantum Utility": het vermogen van huidige, foutgevoelige quantumcomputers om problemen op te lossen die voor klassieke computers onbereikbaar zijn of waar klassieke benaderingen falen door fundamentele beperkingen (zoals de entanglement-barrière in MPS).

De studie toont aan dat supergeleidende quantumcomputers, wanneer ze worden gekoppeld aan geoptimaliseerde algoritmen en error-mitigatie, effectief kunnen worden gebruikt om de real-time dynamica van complexe veel-deeltjessystemen te bestuderen. Dit opent de weg voor het onderzoeken van fenomenen zoals spin-lading scheiding, de verspreiding van quantum-correlaties en het scramblen van quantum-informatie in systemen die groter zijn dan wat klassiek haalbaar is. De auteurs concluderen dat toekomstige quantumcomputers, in combinatie met deze schaalbare circuits, de entanglement-barrière volledig kunnen doorbreken.