Data-Driven Bed Capacity Planning Using $M_t/G_t/\infty$ Queueing Models with an Application to Neonatal Intensive Care Units

Dit artikel presenteert een datagedreven raamwerk op basis van een $M_t/G_t/\infty$-wachtrijmodel met tijdsvariërende parameters om de capaciteitsplanning voor neonatale intensivecareunits te optimaliseren, waarbij wordt aangetoond dat statische vuistregels ontoereikend zijn voor fluctuerende vraag en variabele verblijfsduur.

De kern

🏥 Het Probleem: De "85%-regel" is als een statische wekker in een storm

Stel je voor dat je een restaurant runt. Je hebt een vaste aantal tafels (bedden) en je wilt weten hoeveel tafels je nodig hebt om nooit een gast af te wijzen.

Traditioneel gebruiken ziekenhuizen een simpele regel: "Houd je bezetting onder de 85%."
Dit klinkt logisch: als je 100 bedden hebt, probeer dan nooit meer dan 85 te vullen. Dan heb je altijd 15 bedden over voor noodgevallen.

Maar hier zit de adder onder het gras:
Deze regel gaat ervan uit dat de vraag naar bedden altijd hetzelfde is, net als een klok die altijd op hetzelfde tijdstip tikt. In werkelijkheid is een ziekenhuis meer als een stormachtige dag op een drukke brug.

• Soms is het rustig (morgen).
• Soms is er een plotselinge storm (een griepepidemie of een winterse periode met veel vroeggeborenen).
• Soms blijven patiënten langer dan verwacht (verkeersopstoppingen).

Als je alleen naar het gemiddelde kijkt, denk je dat je het redt. Maar in de praktijk blijkt dat op drukke dagen de brug (het ziekenhuis) volloopt, zelfs als het gemiddelde over een heel jaar laag lijkt. De "85%-regel" is dus een statische wekker in een dynamische storm: hij slaat niet af als het echt nodig is.

🚀 De Oplossing: Een "Live Voorspellingssysteem"

De auteurs van dit paper (onderzoekers van de Universiteit van McMaster en Calgary) hebben een nieuwe manier bedacht om bedden te plannen. In plaats van naar het verleden te kijken en een gemiddelde te nemen, kijken ze naar de dynamiek.

Ze gebruiken een wiskundig model (een Mt/Gt/∞-wachtrijmodel) dat je je kunt voorstellen als een slimme, levende simulatie.

Hoe werkt dit? Drie sleutelcomponenten:

1. De Aankomst (De Regenbui)
In plaats van te zeggen "er komen gemiddeld 10 baby's per dag", kijken ze naar de tijdstippen.

• Analogie: Het regent niet gelijkmatig. Soms is het een motregen, soms een stortbui.
• Ze gebruiken een techniek (STL-decompositie) om de "regendruppels" te scheiden van de "seizoensgebonden stormen". Ze weten precies wanneer de pieken komen (bijvoorbeeld in de winter of rond bepaalde feestdagen).

2. De Verblijfsduur (De Verkeersopstopping)
Hoe lang blijft een patiënt in het ziekenhuis? Dit is niet voor iedereen gelijk.

• Analogie: Sommige auto's rijden snel door de tunnel (korte verblijf), andere blijven steken in een file (lange verblijf).
• Ze kijken niet alleen naar de gemiddelde tijd, maar ook naar de variatie. Als de variatie groot is, is het onvoorspelbaarder. Als iedereen precies 5 dagen blijft, is het makkelijk te plannen. Als sommigen 1 dag blijven en anderen 50, is het chaos. Hun model rekent hier rekening mee.

3. De Oneindige Server (De "Geen Wachtlijst" aanname)
In hun model gaan ze ervan uit dat er altijd een bed beschikbaar is voor een baby die er is (een "oneindig aantal servers").

• Waarom? In een Neonatologische Intensive Care (NICU) mag je een zieke baby nooit laten wachten. Als er geen bed is, moet er een bed bij.
• Het model berekent dus niet "hoeveel mensen wachten", maar "hoeveel bedden er op dat specifieke moment nodig zijn om niemand af te wijzen".

📊 De Resultaten: Waarom meer bedden nodig zijn dan gedacht

Toen ze dit model toepasten op de data van vijf ziekenhuizen in Calgary, kwamen ze tot verrassende conclusies:

1. De oude regel faalt: Zelfs als het gemiddelde bezettingspercentage laag is (bijv. 85%), kan het op een specifieke dag 100% of meer zijn. De "85%-regel" geeft een vals gevoel van veiligheid.
2. De "Veiligheidsmarge" is cruciaal: Om te voorkomen dat je op een drukke dag geen bed meer hebt, moet je veel meer bedden hebben dan het gemiddelde suggereert.
   • Vergelijking: Als je alleen kijkt naar het gemiddelde, bouw je een parkeergarage voor 100 auto's. Maar omdat de vraag fluctueert, heb je op piekmomenten eigenlijk 120 plekken nodig om niemand af te wijzen.
3. De prijs van veiligheid: Als je wilt dat je nooit (of zelden) een bed tekort komt, moet je gemiddeld minder bezet zijn.
   • De afweging: Je kunt kiezen voor een efficiënt ziekenhuis (altijd vol, maar risico op chaos) of een veilig ziekenhuis (vaak wat leeg, maar altijd ruimte voor noodgevallen). Het paper laat zien dat je voor veiligheid vaak bereid moet zijn om gemiddeld minder bezet te zijn (bijv. 60% in plaats van 85%).

🔮 De Toekomst: Een Kristallen Bol

Het model kan ook de toekomst voorspellen. Ze koppelen het aan geboortecijfers.

• Analogie: Als je weet dat er in de toekomst meer baby's worden geboren, weet je dat je meer bedden nodig hebt. Maar ze kijken ook naar hoe de verblijfsduur verandert.
• Ze kunnen scenario's spelen: "Wat als we in 2030 10% meer baby's hebben, maar de artsen sneller ontslagen?" of "Wat als de variatie in verblijfsduur groter wordt?"

💡 De Kernboodschap in één zin

Je kunt een ziekenhuis niet plannen met een statische gemiddelde; je moet plannen met een dynamische voorspelling die rekening houdt met piekmomenten en onvoorspelbare files, zodat je nooit een zieke baby zonder bed laat staan.

Dit onderzoek helpt ziekenhuismanagers om niet alleen te kijken naar "hoeveel bedden we gemiddeld gebruiken", maar naar "hoeveel bedden we nodig hebben om veilig te blijven, ook als de storm toeslaat".

Technische samenvatting

Hier is een gedetailleerde technische samenvatting van het artikel "Data-Driven Bed Capacity Planning Using Mt/Gt/∞Queueing Models with an Application to Neonatal Intensive Care Units" in het Nederlands.

Probleemstelling

Ziekenhuizen staan voor de uitdaging om op lange termijn de capaciteit van intensive care units (ICU's) te plannen onder onzekere vraag. Traditionele methoden vertrouwen vaak op stationaire wachtrijmodellen (steady-state) of heuristische regels, zoals de "85%-regel" (gemiddelde bezetting mag niet hoger zijn dan 85%). Deze benaderingen hebben echter fundamentele tekortkomingen:

1. Statische aannames: Ze gaan uit van constante aankomstraten en verblijfsduur (Length of Stay, LOS), terwijl de werkelijkheid fluctueert door seizoensinvloeden, patiëntenselectie en veranderende klinische praktijken.
2. Onderschatting van pieken: Zelfs als de langetermijndoelstellingen voor bezetting worden gehaald, kan de dagelijkse bezetting door tijdsvariabiliteit regelmatig de 100% capaciteit overschrijden.
3. Verwaarlozing van variabiliteit: Veel modellen focussen alleen op het gemiddelde van de LOS, terwijl de variabiliteit (dispersie) van de verblijfsduur cruciaal is voor de overlap van patiënten en daarmee voor piekbelasting.

Het doel van deze studie is het ontwikkelen van een data-gedreven raamwerk dat rekening houdt met tijdsvariabele vraag en service-tijden om robuuste capaciteitsplanning voor neonatale intensive care units (NICU's) mogelijk te maken.

Methodologie

De auteurs stellen een raamwerk voor gebaseerd op het $M_t/G_t/\infty$-wachtrijmodel (een niet-stationaire wachtrij met oneindig veel bedden). Dit model is geschikt voor ICUs omdat het de prioriteit van directe opname weerspiegelt (geen wachtrij, maar overbelasting van middelen).

De methodologie bestaat uit de volgende kerncomponenten:

1. Data-voorprocessing en Aanpassing:

   • Gebruik van een meerjarenp dataset van vijf NICU-sites in Calgary (2016–2023).
   • Cruciaal: Patiënttransfers tussen sites, die vaak capaciteitsgedreven zijn, worden "teruggeboekt" naar de oorspronkelijke site. Dit simuleert de scenario waarin elke site zijn eigen vraag moet opvangen zonder afhankelijkheid van regionale herschikking.

2. Schatting van Aankomstraten ($\lambda_t$):

   • Toepassing van STL-decompositie (Seasonal-Trend decomposition using Loess) op dagelijkse opnamedata.
   • Dit scheidt het signaal in trend, seizoenscomponenten en ruis. Een grid search selecteert de optimale vensters om een gladde, tijdsvariabele aankomstrate te genereren.

3. Modellering van Verblijfsduur (LOS):

   • Analyse van de gemiddelde LOS en variantie via STL-decompositie en rollende vensters.
   • Parametrische fitting: Er worden verschillende verdelingen (Weibull, Lognormaal, Gamma, Fisk, Exponentieel) gefit op de empirische data. De vormparameter ($\kappa$) wordt als stabiel verondersteld en vastgezet, terwijl de schaalparameters dynamisch worden aangepast aan de geschatte dagelijkse gemiddelden en varianties.
   • Dit resulteert in een tijdsvariabele overlevingsfunctie $P(S > u | \tau = t-u)$.

4. Berekening van Verwachte Bezetting ($\rho_t$):

   • De verwachte bezetting op dag $t$ wordt berekend als een convolutie van historische aankomsten en de overlevingskansen:
     $$\rho_t = \sum_{u=0}^{S_{max}} \lambda_{t-u} \cdot P(S > u | \tau = t-u)$$
   • Hierbij wordt aangenomen dat de aankomsten een niet-homogeen Poisson-proces volgen en de verblijfsduur onafhankelijk is.

5. Capaciteitsstrategieën:

   • Gemiddelde-benadering: $B_{average} = \bar{\rho} + \sqrt{\bar{\rho}}$ (gebaseerd op lange-termijngemiddelden).
   • Overloop-beperkte benadering: Minimalisatie van het aantal bedden ($B$) onder de voorwaarde dat de kans op overschrijding van een drempel $\gamma B$ (bijv. 85% of 100%) kleiner is dan een risico $\alpha$ (bijv. 1% of 5%). Dit maakt gebruik van de Poisson-tailverdeling.

6. Toekomstprojectie:

   • Een module die demografische voorspellingen (geboorten) koppelt aan historische patronen van aankomsten en LOS om toekomstige behoeften (tot 2030) te projecteren.

Belangrijkste Bijdragen

1. Integratie van tijdsvariabiliteit: Het raamwerk combineert statistische decompositie (STL) met parametrische LOS-modellering binnen een $M_t/G_t/\infty$-structuur, wat een transparante en interpreteerbare schatting van dagelijkse bezetting mogelijk maakt.
2. Risico-expliciete planning: In plaats van te vertrouwen op vaste bezettingspercentages, biedt het model capaciteitsniveaus die gebaseerd zijn op expliciete waarschijnlijkheidsdrempels voor overbelasting.
3. Inzicht in Variabiliteit: Het onderzoek toont aan dat de variabiliteit van de verblijfsduur (dispersie) een tegenintuïtief effect heeft op de benodigde capaciteit in een oneindig-server setting: hogere variantie kan de piekbelasting verlagen door ontslagen over de tijd te verspreiden, terwijl lagere variantie (deterministischer) de pieken kan versterken door gelijktijdige ontslagen.
4. Netwerk-perspectief: Door capaciteitsgedreven transfers te corrigeren, wordt de structurele onevenwichtigheid in vraag tussen verschillende ziekenhuislocaties blootgelegd.

Resultaten

De studie werd uitgevoerd op vijf NICU-sites in Calgary:

• Onderschatting door traditionele methoden: De traditionele "85%-regel" en gemiddelde-benaderingen bleken ontoereikend. Op sommige sites (bijv. Site 3) werd de capaciteit op meer dan 23% van de dagen overschreden (>100%), ondanks dat de gemiddelde bezetting binnen de richtlijnen leek te vallen.
• Capaciteitsvereisten: Om de overloopkans te beperken tot 1% ($B_{0.01}$), was aanzienlijk meer capaciteit nodig dan de gemiddelde schattingen suggereerden. Bijvoorbeeld, voor Site 2 steeg de benodigde capaciteit van 67 bedden (gemiddelde) naar 90 bedden (voor 1% risico).
• Efficiëntie-Resilience Trade-off: Striktere risico-drempels (lagere overloopkans) leiden tot lagere gemiddelde bezetting (bijv. dalend van 85% naar 56% bij $B_{0.01}$), wat de afweging tussen operationele efficiëntie en veerkracht tegen pieken illustreert.
• Invloed van Variance: Sensitiviteitsanalyses toonden aan dat het verminderen van de variantie in verblijfsduur (bijv. door standaardisatie) de benodigde capaciteit kan verhogen om dezelfde overloopkans te behouden, omdat dit de ontslagen concentreert in plaats van verspreidt.
• Projecties: De toekomstprojecties (tot 2030) gebaseerd op geboortecijfers tonen aan dat de benodigde capaciteit toeneemt, met name voor de risicogebaseerde strategieën, en dat de onzekerheid in de projecties groter is voor kleinere sites.

Betekenis en Conclusie

Dit artikel biedt een robuust, data-gedreven alternatief voor statische capaciteitsplanning in de gezondheidszorg. De belangrijkste implicaties zijn:

• Voorbij de 85%-regel: Vaste bezettingsdoelen zijn misleidend in niet-stationaire systemen; planning moet gebaseerd zijn op de volledige verdeling van vraag en verblijfsduur.
• Risicomanagement: Capaciteit moet worden gedefinieerd in termen van de kans op overbelasting, niet alleen in termen van gemiddelde bezetting.
• Regionale Planning: Het negeren van interne transfers kan structurele onevenwichtigheden verbergen; planning moet rekening houden met de intrinsieke vraag per locatie.
• Toekomstbestendigheid: Het raamwerk is schaalbaar naar andere ICU-omgevingen en kan worden gebruikt om scenario's te evalueren (bijv. veranderingen in klinische praktijken of demografische verschuivingen).

De auteurs concluderen dat een combinatie van statistische decompositie, parametrische modellering en wachtrijtheorie essentieel is voor het creëren van veerkrachtige zorgsystemen die klaar zijn voor fluctuerende vraag en beperkte capaciteit.