Refined thresholds for inconsistency: The effect of the graph associated with incomplete pairwise comparisons

Dit artikel verfijnt de inconsistentiedrempels voor onvolledige paarsgewijze vergelijkingen door aan te tonen dat deze niet alleen afhangen van de matrixgrootte en het aantal ontbrekende waarden, maar ook van de structuur van het bijbehorende ongerichte graaf.

De kern

🧩 De puzzel van de onvolledige vergelijkingen

Stel je voor dat je een groep vrienden moet uitnodigen voor een feestje en je moet beslissen wie er het belangrijkst is. Je vraagt ze om elkaar te vergelijken: "Is Jan twee keer zo leuk als Piet?" of "Is Marie drie keer zo grappig als Kees?"

In de wereld van beslissingen noemen we dit paarsgewijze vergelijkingen. Als je dit voor iedereen doet, krijg je een groot rooster (een matrix) met alle antwoorden.

Het probleem:
Mensen zijn niet perfect. Soms zeggen ze: "Jan is leuker dan Piet" en "Piet is leuker dan Kees", maar als je ze vraagt over Jan en Kees, zeggen ze: "Kees is leuker dan Jan!" Dat is logisch onmogelijk. Dit noemen we inconsequentie (of inconsistentie).

Om te weten of de antwoorden goed genoeg zijn, gebruiken wetenschappers een "10%-regel". Als de fouten kleiner zijn dan 10%, is het goed. Als ze groter zijn, moet je opnieuw vragen.

🕳️ Het gat in de puzzel

Maar wat als je niet iedereen hebt kunnen vragen? Misschien hebben Jan en Kees het niet met elkaar gehad, of was Kees ziek. Dan heb je een onvolledige puzzel: er ontbreken stukjes.

Tot nu toe dachten wetenschappers dat het alleen uitmaakte hoeveel stukjes er ontbraken. Ze dachten: "Als er 2 stukjes ontbreken in een puzzel van 100, is de foutmarge altijd hetzelfde."

Maar dit nieuwe onderzoek zegt: "Nee, dat is niet waar!"

🌉 De brug tussen de eilanden (De Grafiek)

De auteurs van dit paper, Kolos Agoston en László Csato, ontdekten iets fascinerends. Het maakt niet alleen uit hoeveel stukjes ontbreken, maar ook waar ze ontbreken.

Stel je voor dat je eilanden hebt (de mensen) en bruggen (de vergelijkingen die je wel hebt).

• Situatie A: De ontbrekende bruggen zitten tussen twee eilanden die al heel goed verbonden zijn met andere eilanden.
• Situatie B: De ontbrekende bruggen zitten tussen eilanden die al geïsoleerd zijn en weinig andere bruggen hebben.

In Situatie B is het veel moeilijker om de puzzel op te lossen dan in Situatie A. De "structuur" van je bruggen (in de wiskunde een grafiek genoemd) bepaalt hoe groot je foutmarge mag zijn.

🔊 De "Golf" van de structuur (De Spectrale Straal)

Hoe meten ze deze structuur? Ze gebruiken een wiskundig getal dat ze de spectrale straal noemen.

• De Metafoor: Denk aan een gitaarsnaar. Als je de snaar plukt, trilt hij met een bepaalde frequentie. Hoe strakker de snaar en hoe meer hij verbonden is met de rest van de gitaar, hoe hoger de toon.
• In hun onderzoek is de "spectrale straal" een maat voor hoe sterk en strak de verbindingen tussen je eilanden zijn.
• De ontdekking: Hoe hoger deze "toon" (spectrale straal), hoe hoger de toegestane foutmarge (de onvolkomenheid) mag zijn. Als de structuur van je bruggen heel sterk is, mag er meer "ruis" in de antwoorden zitten voordat je zegt: "Dit is onbruikbaar."

🛠️ Waarom is dit belangrijk voor jou?

Stel je voor dat je een software hebt die experts vraagt om deze vergelijkingen te maken.

1. Vroeger: De software keek alleen naar het aantal ontbrekende antwoorden. Als er te veel ontbraken, gaf hij een waarschuwing, zelfs als de structuur van de vragen perfect was. Of hij gaf geen waarschuwing, terwijl de antwoorden eigenlijk slecht waren.
2. Nu: Met deze nieuwe regels kan de software kijken naar de vorm van de vragenlijst.
   • Als de vragenlijst een "sterke structuur" heeft (hoge spectrale straal), mag de expert iets meer fouten maken.
   • Als de structuur "zwak" is, moet de expert preciezer zijn.

Dit betekent dat je sneller en nauwkeuriger fouten kunt opsporen. Je kunt de expert direct zeggen: "Hé, dit antwoord klopt niet, want gezien de manier waarop we de vragen hebben gesteld, mag dit niet zo ver afwijken."

🎯 De conclusie in één zin

Het is niet genoeg om alleen te tellen hoeveel vragen je niet hebt beantwoord; je moet ook kijken naar hoe de vragen met elkaar verbonden zijn, want die verbinding bepaalt hoe streng je moet zijn met de fouten.

De auteurs zeggen: "De vorm van je net (de grafiek) is net zo belangrijk als het aantal gaten erin." Dit helpt beslissingen te nemen die niet alleen logisch, maar ook eerlijk en nauwkeurig zijn.

Technische samenvatting

1. Probleemstelling

In multi-criteria besluitvorming, zoals de Analytic Hierarchy Process (AHP), worden voorkeuren vaak vastgelegd in paarsgewijze vergelijkingenmatrijzen. Een dergelijke matrijs is consistent als de directe vergelijking tussen twee alternatieven overeenkomt met hun indirecte vergelijking via een derde alternatief. In de praktijk zijn deze matrijzen echter vaak inconsistent.

Om inconsistentie te beoordelen, gebruikt men de Consistency Ratio (CR), die de inconsistentie-index (CI) van de matrijs relateert aan een Random Index (RI). De standaardregel van Saaty stelt dat een CR < 0,1 (10%) acceptabel is.

Het probleem ontstaat bij onvolledige paarsgewijze vergelijkingenmatrijzen, waarbij sommige vergelijkingen ontbreken (aangeduid met een sterretje). Bestaande methoden (zoals die van Ágoston en Csató, 2022) berekenen de RI uitsluitend op basis van het aantal alternatieven ($n$) en het aantal ontbrekende vergelijkingen ($m$). Deze methode negeert echter de structuur van de ontbrekende gegevens. De auteurs betogen dat de positie van de ontbrekende waarden (en dus de onderliggende grafstructuur) een significante invloed heeft op de mate van inconsistentie die willekeurig gegenereerde matrijzen vertonen, waardoor de bestaande drempelwaarden onnauwkeurig kunnen zijn.

2. Methodologie

De auteurs passen de bestaande methodologie aan door de grafstructuur expliciet te modelleren:

• Grafische Representatie: Een onvolledige matrijs wordt voorgesteld als een ongerichte graaf $G=(V, E)$, waarbij knopen de alternatieven zijn en randen de bekende vergelijkingen.
• Optimalisatieprobleem: Om de inconsistentie van een onvolledige matrijs te minimaliseren, worden de ontbrekende waarden zo gekozen dat de dominante eigenwaarde ($\lambda_{max}$) van de aangevulde matrijs minimaal is. Dit is een convex optimalisatieprobleem dat alleen een unieke oplossing heeft als de graaf verbonden is.
• Berekening van de Random Index (RI):
  • In plaats van willekeurige posities voor ontbrekende waarden te kiezen, wordt een specifieke graafstructuur $G$ vastgehouden.
  • Er worden 1 miljoen (of bij kleine $n$ een volledige enumeratie) willekeurige onvolledige matrijzen gegenereerd met dezelfde graafstructuur, waarbij de bekende waarden uit de Saaty-schaal (1/9 tot 9) worden getrokken.
  • Voor elke gegenereerde matrijs wordt de optimale invulling berekend en de bijbehorende CI bepaald.
  • De RI is het gemiddelde van deze CI-waarden.
• Spectrale Radius: De auteurs onderzoeken de relatie tussen de berekende RI en de spectrale radius ($\rho$) van de graaf (de grootste eigenwaarde van de adjacentiematrix).

3. Belangrijkste Bijdragen

• Verfijning van Drempelwaarden: Het artikel toont aan dat de RI niet alleen afhangt van $n$ en $m$, maar ook sterk afhankelijk is van de specifieke grafstructuur van de bekende vergelijkingen.
• Relatie met Spectrale Radius: Er is een sterke associatie gevonden tussen de spectrale radius van de graaf en de waarde van de RI. Een hogere spectrale radius correleert met een hogere RI.
• Kritiek op de "Naieve" Aanpak: De huidige methode (die alleen kijkt naar $n$ en $m$) leidt tot verkeerde classificaties. Voor bepaalde grafstructuren is de bestaande 10%-drempel te streng, terwijl deze voor andere structuren te mild is.
• Praktische Implementatie: De resultaten kunnen worden geïntegreerd in software om inconsistentie continu te monitoren tijdens het verzamelen van data, waardoor fouten direct kunnen worden gecorrigeerd voordat alle vergelijkingen zijn ingevuld.

4. Resultaten

• Gevallenstudie ($n=4$): Voor 4 alternatieven en 2 ontbrekende waarden ($m=2$) zijn er twee mogelijke grafstructuren:
  1. De twee ontbrekende randen delen geen knoop (onafhankelijk).
  2. De twee ontbrekende randen delen een knoop.
     De berekende RI verschilt hier significant: 0,2646 voor het eerste geval versus 0,3165 voor het tweede. De bestaande methode gaf een uniforme RI van 0,3061. Dit verschil leidt tot een verkeerde classificatie van honderden matrijzen als "acceptabel" of "onacceptabel".
• Invloed van de Graaf: Voor grotere matrices ($n=5, 6$) blijft de spectrale radius een sterke voorspeller. Grafen met een lagere spectrale radius (vaak "bijna reguliere" grafen) hebben een lagere RI, wat betekent dat ze makkelijker een acceptabele inconsistentie kunnen bereiken.
• Triaden en Inconsistentie: De auteurs leggen een theoretisch verband uit tussen de spectrale radius en de verdeling van "triaden" (submatrijzen van 3x3). Grafen met meer triaden die weinig of geen ontbrekende waarden hebben, maken het moeilijker om de inconsistentie te minimaliseren, wat resulteert in een hogere RI.
• Benaderingsformule: Voor grotere matrices ($n \geq 7$), waar volledige berekening te kostbaar is, stellen de auteurs een lineaire regressieformule voor:
  $$RI_i \approx RI_{n,m} + \beta \cdot (\rho(G_i) - \rho_{n,m})$$
  Waarbij $\beta \approx 0,161$ is. Deze formule gebruikt de spectrale radius om de specifieke RI voor een gegeven graafstructuur te schatten.

5. Betekenis en Conclusie

De studie heeft belangrijke implicaties voor de praktijk van besluitvorming:

1. Nauwkeurigheid: Het gebruik van graf-afhankelijke drempelwaarden verhoogt de nauwkeurigheid van de inconsistentie-analyse, vooral wanneer beslissingsnemers een vast patroon van vergelijkingen volgen (zoals aanbevolen in recente literatuur voor optimale weging).
2. Validiteit van de 10%-regel: De studie suggereert dat de universele toepassing van Saaty's 10%-regel problematisch kan zijn voor onvolledige matrijzen, omdat de acceptabiliteitsdrempel per grafstructuur verschilt.
3. Software-implementatie: De gevonden relaties maken het mogelijk om real-time monitoringssystemen te bouwen die de inconsistentie controleren terwijl data wordt ingevoerd, gebaseerd op de specifieke structuur van de reeds ingevulde vergelijkingen.

Kortom, de auteurs bewijzen dat de "topologie" van de bekende vergelijkingen cruciaal is voor het bepalen van wat een acceptabel niveau van inconsistentie is, en bieden een wiskundig onderbouwde methode om dit te kwantificeren via de spectrale radius van de onderliggende graaf.