High-order splitting of non-unitary operators on quantum computers

Probleemstelling

Kwantumcomputers zijn van nature ontworpen om unitaire dynamica (omkeerbare tijdsevolutie) te simuleren, wat inherent is aan de lokale Hamiltoniaanse gate-modellen. De meeste praktische problemen in de computationele wetenschap, zoals diffusie, viscositeit, wrijving en demping, zijn echter dissipatief en leiden tot niet-unitaire dynamica. Het simuleren van deze processen op kwantumprocessors is uitdagend.

Hoewel operator-splitsing (operator splitting) een veelgebruikte methode is voor het simuleren van unitaire dynamica, stuiten hoge-orde methoden (hoger dan orde 2) op fundamentele problemen bij dissipatieve systemen:

1. Negatieve tijdstappen: Hoge-orde productformules vereisen noodzakelijkerwijs negatieve coëfficiënten. Voor unitaire dynamica is dit geen probleem (omgekeerde evolutie is nog steeds unitair), maar voor dissipatieve dynamica is de omgekeerde evolutie numeriek instabiel en kan deze niet zonder meer worden geblok-gecodeerd in unitaire operatoren.
2. Beperkte nauwkeurigheid: Bestaande toepassingen voor dissipatieve dynamica zijn beperkt tot orde 2, wat vaak diepe circuits vereist om een redelijke tolerantie te bereiken, wat onhaalbaar is voor huidige "near-term" kwantumhardware.

Methodologie

De auteurs introduceren een stabiel kwantumalgoritme dat hoge-orde operator-splitsing toepast op niet-unitaire dynamica door gebruik te maken van productformules met complexe coëfficiënten.

Kernprincipes:

• Decompositie: De generator $M$ van de dynamica wordt ontbonden in een Hermitisch deel ($H_1$, dissipatief) en een anti-Hermitisch deel ($iH_2$, unitair).
• Complexe Coëfficiënten: In plaats van negatieve reële tijdstappen, gebruiken de auteurs complexe coëfficiënten $a_j$ voor de dissipatieve sub-stappen en reële coëfficiënten $b_j$ voor de unitaire sub-stappen.
  • De reële delen van de complexe coëfficiënten ($\Re(a_j) > 0$) zorgen voor contractieve evolutie (dissipatie) in de imaginaire tijd.
  • De imaginaire delen van de coëfficiënten corresponderen met extra unitaire evoluties.
• Implementatie: Het systeem wordt opgesplitst in een reeks eenvoudige Hamiltoniaanse evoluties in zowel reële als imaginaire tijd.
  • Unitair deel: $e^{i b_j H_2 \Delta t}$ (reële coëfficiënten).
  • Dissipatief deel: $e^{a_j H_1 \Delta t}$ met $\Re(a_j) > 0$. Dit wordt geïmplementeerd als een unitaire fase-gate gecombineerd met een niet-unitaire verzwakking (via post-selectie of amplitude-versterking).

De auteurs gebruiken specifieke productformules van orde 4 (Castella et al.) en orde 6 (Bernier et al.) die voldoen aan de beperkingen ($\Re(a_j) > 0$ en $b_j > 0$).

Toepassing en Circuitontwerp

Het concept wordt getoetst aan het klassieke probleem van gedempte mechanische golfvoortplanting (de gedempte golfvergelijking).

• Circuit: De auteurs ontwikkelen pseudo-spectrale kwantumcircuits. De golfvergelijking wordt getransformeerd naar Fourier-ruimte, waar elke modus evolueert als een gedempte oscillator.
• Gaten: De unitaire golfvoortplanting wordt geïmplementeerd met gecontroleerde rotaties ($R_Y$), terwijl de demping wordt gerealiseerd via een ancilla-qubit en post-selectie (meten van de ancilla in de $|0\rangle$-toestand).
• Hardware: De circuits zijn uitgevoerd op de IonQ Forte 1 (36 qubits, trapped-ion) processor.

Resultaten

De studie omvat zowel statevector-simulaties (ruisvrij) als hardware-experimenten:

1. Statevector Simulaties:

   • Alle productformules (orde 1, 2, 4 en 6) tonen de theoretische schaling van de fout ($O(\Delta t^p)$) na het passeren van initiële transiënten.
   • Hoge-orde formules (orde 4 en 6) bereiken hoge precisie met aanzienlijk minder CNOT-gates dan lage-orde formules bij kleine fouttoleranties.
   • Orde 6 bereikt de machine-precisie van de emulator met ongeveer $10^4$ CNOT-gates.

2. Hardware Experimenten (IonQ Forte 1):

   • Er werden stappen uitgevoerd voor orde 1, 2, 4 en 6.
   • Orde 1: Visueel onnauwkeurig.
   • Orde 2 en 4: Beide tonen hoge nauwkeurigheid en vinden een goed compromis tussen circuitdiepte en precisie. Orde 4 levert de beste resultaten op, met een fout die 2,10% afwijkt van de ideale kans (tegenover 4,02% voor orde 2).
   • Orde 6: Door de toegenomen circuitdiepte domineren ruis-effecten, wat leidt tot een lagere nauwkeurigheid dan zelfs bij orde 1.
   • Conclusie: Orde 4 presteert beter dan lage-orde methoden, ondanks de diepere circuits, wat aantoont dat hoge-orde splitsing praktisch nuttig is op huidige hardware.

Bijdragen en Belang

• Technische Doorbraak: Dit is de eerste demonstratie van stabiele, hoge-orde operator-splitsing voor dissipatieve dynamica op een kwantumprocessor. Het lost het probleem van negatieve tijdstappen op door complexe coëfficiënten te gebruiken.
• Efficiëntie: De methode toont aan dat hoge-orde methoden (tot orde 6) niet alleen voor ultra-hoge precisie nodig zijn, maar ook efficiënter kunnen zijn dan lage-orde methoden in bredere fouttolerantie-regimes. De schaling van de CNOT-gate complexiteit verbetert van $O(t^{3/2})$ bij orde 2 naar $O(t^{7/6})$ bij orde 6.
• Praktische Toepasbaarheid: De resultaten suggereren dat deze aanpak direct toepasbaar is op "near-term" kwantumcomputers voor het simuleren van dissipatieve systemen uit de natuurkunde en techniek (zoals vloeistofdynamica en warmteoverdracht).
• Toekomstperspectief: De auteurs wijzen op de noodzaak om coëfficiënten voor orde 8 en hoger te identificeren en de beperkingen voor de coëfficiënten ($b_j > 0$) mogelijk te versoepelen om verdere optimalisatie mogelijk te maken.

Kortom, het artikel bewijst dat het gebruik van complexe coëfficiënten in productformules een robuuste en nauwkeurige route biedt om dissipatieve processen te simuleren op kwantumhardware, waarbij hoge-orde methoden zelfs op ruisgevoelige apparaten voordelen bieden.