Rényi-like entanglement probe of the chiral central charge

Probleemstelling

De chirale centrale lading ($c_-$) is een rationaal getal dat fungeert als een topologische invariante voor tweedimensionale (2D) gapped quantum veeldeeltjessystemen. Traditioneel wordt $c_-$ gedefinieerd via de thermische Hall-geleidbaarheid bij lage temperaturen. Hoewel er wordt aangenomen dat $c_-$ uitsluitend afhangt van de grondtoestand van het systeem in de bulk, is het direct berekenen van deze grootheid uit een grondtoestandsgolf functie op een oneindig vlak een uitdaging.

Een eerdere doorbraak was de "modulaire commutator" ($J$), voorgesteld door Kim et al. Deze grootheid wordt gedefinieerd als $J = i\langle [\ln \rho_{AB}, \ln \rho_{BC}] \rangle$, waarbij $\rho_{AB}$ en $\rho_{BC}$ gereduceerde dichtheidsoperatoren zijn voor niet-overlappende gebieden $A, B, C$. Het werd geconjectureerd dat $J$ in de limiet van grote gebieden evenredig is met $c_-$ ($J = \frac{\pi}{3}c_-$). Echter, het berekenen van logaritmen van dichtheidsoperatoren is numeriek en experimenteel lastig.

De auteurs stellen de vraag of er een generalisatie bestaat die makkelijker te benaderen is (bijvoorbeeld via replica-systemen) en die dezelfde universele informatie over $c_-$ bevat.

Methodologie

De auteurs introduceren een nieuwe grootheid, de Rényi-modulaire commutator ($\omega_{\alpha,\beta}$), die een generalisatie is van de modulaire commutator. Deze wordt gedefinieerd als de fase van het verwachtingswaardeproduct van machten van gereduceerde dichtheidsoperatoren:

$$\omega_{\alpha,\beta} = \frac{\langle \rho_{AB}^\alpha \rho_{BC}^\beta \rangle}{|\langle \rho_{AB}^\alpha \rho_{BC}^\beta \rangle|}$$

waarbij $\alpha$ en $\beta$ positieve reële getallen zijn.

Belangrijke methodologische aspecten:

1. Replica-voorstelling: Voor gehele getallen $\alpha=m$ en $\beta=n$ kan $\omega_{m,n}$ worden uitgedrukt als de verwachtingswaarde van een permutatie-operator die werkt op een replica-systeem bestaande uit $m+n+1$ kopieën van de oorspronkelijke toestand. Dit biedt een directe route voor numerieke simulaties (zoals Quantum Monte Carlo) en experimentele metingen.
2. Analytische berekeningen: De auteurs berekenen $\omega_{\alpha,\beta}$ analytisch voor twee klassen van systemen:
   • Niet-interagerende fermionen (zowel complexe als Majorana-fermionen).
   • String-net modellen (exactly solvable spin-modellen die topologische fasen realiseren).
3. Quasidiagonale operatoren: Voor de berekening bij niet-interagerende fermionen maken de auteurs gebruik van de eigenschap dat de spectrale projector $P$ van de Hamiltoniaan "quasidiagonaal" is (matrixelementen vervallen exponentieel met afstand). Dit stelt hen in staat om de berekening te reduceren tot bijdragen van de "driepuntsgebieden" (triple points) in de ruimtelijke partitie.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

1. Universele Formule voor $\omega_{\alpha,\beta}$
De kern van het artikel is de afleiding van een universele formule voor $\omega_{\alpha,\beta}$ in de limiet van grote gebieden $A, B, C$:

$$\omega_{\alpha,\beta} = \exp\left( -\frac{\pi i}{12} q(\alpha, \beta) c_- \right)$$

waarbij de functie $q(\alpha, \beta)$ gegeven wordt door:
$$q(\alpha, \beta) = \frac{\alpha}{\alpha + 1} + \frac{\beta}{\beta + 1} - \frac{\alpha + \beta}{\alpha + \beta + 1}$$

2. Toepassing op Niet-interagerende Fermionen
Voor gapped grondtoestanden van niet-interagerende fermionen wordt aangetoond dat $\omega_{\alpha,\beta}$ direct gerelateerd is aan het Chern-getal $\nu(P)$ van de spectrale projector in de Majorana-basis. Aangezien $c_- = \nu(P)/2$ voor complexe fermionen, bevestigt dit de bovenstaande formule. De berekening maakt gebruik van de Baker-Campbell-Hausdorff-expansie en eigenschappen van commutatoren van functies van projectoren.

3. Toepassing op String-net Modellen
Voor grondtoestanden van string-net modellen (die bekend staan om hun $c_- = 0$) wordt bewezen dat $\omega_{\alpha,\beta} = 1$. Dit is consistent met de formule, aangezien $c_- = 0$ impliceert dat de exponent nul is. De bewijsvoering hierbij maakt gebruik van de specifieke structuur van de gereduceerde dichtheidsmatrix voor string-net toestanden, die kan worden geschreven als een product van een projectieoperator en een positief-definiete operator op de rand.

4. Eigenschappen en Consistentie
De auteurs tonen aan dat $\omega_{\alpha,\beta}$ voldoet aan essentiële consistentie-eisen voor een topologische invariante:

• Multiplicativiteit: Het is multiplicatief onder het stapelen van systemen ($\omega(\rho \otimes \rho') = \omega(\rho)\omega(\rho')$).
• Tijdsomkering: Het gedraagt zich als een oneven functie onder tijdsomkering ($\omega(T\rho T^{-1}) = \omega(\rho)^*$).
• Triviale limiet: Voor zuivere toestanden die slechts op drie van de vier regio's ($A, B, C, D$) worden ondersteund, is $\omega_{\alpha,\beta} = 1$.

5. Beperkingen
De auteurs benadrukken dat de formule (5) niet universeel geldig is voor alle gapped systemen. Er bestaan "fine-tuned" tegenvoorbeelden (zoals die voor de oorspronkelijke modulaire commutator) waarbij $\omega_{\alpha,\beta}$ niet-universele, "spurious" waarden aanneemt die afhankelijk zijn van de specifieke keuze van de regio's $A, B, C$. De auteurs concluderen echter dat de formule waarschijnlijk geldt voor "generieke" (niet-fine-tuned) gapped grondtoestanden.

Significantie

Deze paper biedt een krachtig nieuw instrument voor het karakteriseren van topologische fasen in 2D:

1. Experimentele en Numerieke Toegankelijkheid: Door de relatie met replica-permutatie-operatoren voor gehele $\alpha$ en $\beta$, biedt $\omega_{\alpha,\beta}$ een praktische methode om de chirale centrale lading te meten in simulaties en experimenten, zonder dat men de logaritmen van dichtheidsoperatoren hoeft te berekenen (wat numeriek instabiel is).
2. Verdieping van de Modulaire Commutator: Het artikel generaliseert het concept van de modulaire commutator en bevestigt de robuustheid van de relatie tussen entanglement-probes en topologische invarianten.
3. Fundamenteel Begrip: Het resultaat versterkt het inzicht dat de chirale centrale lading, hoewel oorspronkelijk gedefinieerd via transport, fundamenteel in de entanglement-structuur van de grondtoestand is ingebed.

Samenvattend introduceren Gass en Levin een "Rényi-achtige" entanglement-probe die de berekening van $c_-$ vereenvoudigt en generaliseert, met een sterke theoretische onderbouwing voor belangrijke klassen van topologische systemen.