Non-zero Momentum Implies Long-Range Entanglement When Translation Symmetry is Broken in 1D

Probleemstelling

Het artikel bouwt voort op een eerdere bevinding van Gioia en Wang (2022), die aantoonden dat voor translatie-symmetrische toestanden een niet-triviale impuls (een niet-triviale verwachtingswaarde van de translatie-operator $\langle T \rangle \neq 1$) noodzakelijkerwijs impliceert dat de toestand lang-reeks verstrengeld (Long-Range Entangled, LRE) is.

De centrale vraag die dit artikel onderzoekt is: Kan een impuls-begrip voor toestanden die geen translatie-symmetrie bezitten, direct de aard van hun verstrengeling coderen? Voor translatie-broken toestanden is het vaak onpraktisch of onmogelijk om een eindig-diepte kwantumcircuit te vinden dat deze toestand koppelt aan een translatie-symmetrische toestand om zo de verstrengeling te bepalen. De auteurs zoeken daarom naar een maatstaf die puur gebaseerd is op de eigenschappen van de toestand zelf, zonder verwijzing naar een andere toestand.

Methodologie

De auteurs focussen op één-dimensionale (1D) systemen met periodieke randvoorwaarden, waarbij ruimtelijke localisatie een goede proxy is voor verstrengeling (gelokaliseerd = kort-reeks verstrengeld (SRE); gedelokaliseerd = lang-reeks verstrengeld (LRE)).

1. Theoretisch Kader:

   • In plaats van te kijken naar eigentoestanden van de translatie-operator (die niet bestaan voor gebroken symmetrie), analyseren ze de verwachtingswaarde van de translatie-operator $z_t = |\langle T \rangle|$.
   • Ze gebruiken de formalisme van karakteristieke functies en cumulantia om een relatie te leggen tussen $z_t$ en de spreiding van de impulsverdeling.
   • Ze leiden een duaal beeld af van Resta's formule (die de localisatielengte in de positie-ruimte relateert aan de modulaire positie-operator $z_x = |\langle U \rangle|$).
   • Ze benutten onzekerheidsrelaties voor unitaire operatoren (specifiek tussen de modulaire positie $U$ en de translatie-operator $T$) om te tonen dat voor systemen met incommensurate vulling ($aN_e/L \notin \mathbb{Z}$), een hoge waarde van $z_t$ correleert met een gedelokaliseerde toestand.

2. Numerieke Validatie:

   • De theorie wordt getest op verschillende roostermodellen (lattice models):
     • Deterministisch Dimer Model (DDM): Een model met een inhomogeen potentiaal dat een goed gedefinieerd continuüm- en thermodynamisch limiet toelaat.
     • Simple Self-Dual Model (SSD): Een model dat dualiteit toont tussen positie- en impulsruimte.
     • Random Dimer Model (RDM): Een disordered model zonder goed gedefinieerd continuüm-limiet.
     • Aubry-Andre Model: Een quasiperiodisch model.
   • Ze analyseren zowel de grondtoestanden van veel-deeltjessystemen als de eigentoestanden van enkele-deeltjes.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

1. De Momentum-Space Versie van Resta's Formule:
   De auteurs leiden af dat in de continuüm-limiet ($a \to 0$), de grootte van de verwachtingswaarde van de translatie-operator $z_t$ direct gerelateerd is aan de spreiding van de impulsverdeling:
   $$C(K)_2 \approx -\frac{2}{a^2} \ln(z_t)$$
   Waarbij $C(K)_2$ de tweede cumulant (spreiding) van de impulsverdeling is.

   • Resultaat: Voor gedelokaliseerde toestanden (LRE) geldt $z_t \to 1$ in de continuüm-limiet. Voor gelokaliseerde toestanden (SRE) geldt $z_t \to 0$.
   • Dit biedt een directe manier om verstrengeling te karakteriseren voor toestanden die translatie-symmetrie breken, zonder een circuit te hoeven vinden.

2. Fase-gevoeligheid en Flux-insertie:

   • Voor translatie-symmetrische toestanden kan de fase van $\langle T \rangle$ veranderen bij het invoegen van flux (wat LRE aangeeft).
   • Voor translatie-broken toestanden is de fase $\arg\langle T \rangle$ alleen goed gedefinieerd als $z_t \neq 0$.
   • Kerninzicht: Gelokaliseerde toestanden hebben een volledig vlakke impulsverdeling ($z_t \to 0$). Het invoegen van flux verschuift deze vlakke verdeling naar zichzelf, waardoor de toestand fysiek onveranderd lijkt. Gedelokaliseerde toestanden hebben een scherpe impulsverdeling; flux verschuift deze piek, wat detecteerbaar is. Hierdoor kan flux-gevoeligheid nog steeds worden gebruikt om SRE en LRE te onderscheiden, zelfs zonder translatie-symmetrie.

3. Rol van de Limieten (Thermodynamisch vs. Continuüm):

   • Continuüm-limiet: Maakt $z_t$ een scherper maatstaf voor gedelokalisatie (LRE). In deze limiet convergeert $z_t$ naar 1 voor gedelokaliseerde toestanden.
   • Thermodynamische limiet: Maakt $z_x$ (de positie-maatstaf) een betere maatstaf voor localisatie (SRE).
   • De auteurs tonen aan dat voor modellen zonder goed gedefinieerd continuüm-limiet (zoals RDM en Aubry-Andre), $z_t$ minder scherp is dan $z_x$, maar dat de afgeleide van de impuls-localisatielengte ($\lambda_k$) nog steeds de overgangspunten nauwkeurig kan detecteren.

4. Model-specifieke Bevindingen:

   • DDM: Toont aan dat voor modellen waar enkele-deeltjes-eigentoestanden voornamelijk gelokaliseerd zijn in de impulsruimte, de enkele-deeltjes $z_t$ een goede proxy is voor de veel-deeltjes verstrengeling.
   • RDM & Aubry-Andre: Hoewel $z_t$ in deze modellen niet zo'n hoog contrast vertoont tussen fases als $z_x$, blijft het gevoelig voor de localisatie-overgang. De snelle afname van $z_t$ vóór de kritieke punt wordt verklaard door de vorm van de impulsverdeling (verspreiding van pieken of quasiperiodiciteit).

Significantie

Dit werk heeft een aanzienlijke impact op het begrip van verstrengeling in gecondenseerde materie:

• Generalisatie: Het breidt de theorie van Gioia en Wang uit van uitsluitend translatie-symmetrische systemen naar generieke systemen die translatie-symmetrie breken.
• Praktische Toepasbaarheid: Het biedt een meetbare grootheid ($z_t$) die direct berekend kan worden uit de veel-deeltjes golf functie, zonder de noodzaak van complexe circuit-decompositie of het vinden van een adiabatisch pad naar een symmetrische toestand.
• Verband Localisatie-Verstrengeling: Het bevestigt en kwantificeert het verband tussen ruimtelijke localisatie en verstrengeling in 1D-systemen, zelfs in de afwezigheid van symmetrie.
• Nieuwe Tools: Het introduceert $z_t$ als een complementair hulpmiddel tot $z_x$ voor het bestuderen van localisatie-overgangen, met name nuttig voor systemen waar de impulsverdeling informatiever is dan de positieverdeling.

Samenvattend bewijzen de auteurs dat de grootte van de verwachtingswaarde van de translatie-operator een robuuste indicator is voor lang-reeks verstrengeling in 1D-systemen, zelfs wanneer de fundamentele translatie-symmetrie van het systeem is gebroken.