Non-Clifford symmetry protected topological higher-order cluster states in multi-qubit measurement-based quantum computation

Probleemstelling

Klustertoestanden (cluster states) vormen de basis voor meetgebaseerde kwantumcomputatie (MBQC). Traditionele klustertoestanden worden gegenereerd door aangebrachte gecontroleerde-Z (CZ) poorten op een producttoestand van $|+\rangle$-qubits toe te passen. Deze toestanden beschikken over een symmetrie-protected topologische (SPT) fase, beschermd door de $\mathbb{Z}_2^{\text{even}} \times \mathbb{Z}_2^{\text{odd}}$ symmetrie. In een open keten leiden deze toestanden tot viervoudig ontaarde grondtoestanden, wat correspondeert met één vrij spin aan elke rand (totaal 2 qubits voor input/output).

Het huidige onderzoek richt zich op twee beperkingen en kansen:

1. Beperkte capaciteit: Standaard MBQC gebruikt slechts één qubit per rand voor input en output.
2. Niet-Clifford complexiteit: Het gebruik van niet-Clifford poorten (zoals gecontroleerde faseverschuivingen of multi-qubit poorten) kan de rekenkracht van een kwantumcomputer verhogen, maar de impact op de topologische eigenschappen en de stabiliteit van de randtoestanden in hogere-orde klustermodellen was niet volledig onderzocht.

De vraag is of het mogelijk is om hogere-orde klustertoestanden te construeren die niet-Clifford poorten gebruiken, terwijl ze toch een robuuste SPT-fase behouden met meerdere vrij spins aan de randen, geschikt voor multi-qubit input/output in MBQC.

Methodologie

De auteur generaliseert de standaard constructie van een klustertoestand door de CZ-poort te vervangen door een algemene unitaire transformatie $U\{j; N\}$, die een eindige diepte heeft en lokaal werkt op $N$ qubits rondom qubit $j$.

1. Generalisatie van de Klustertoestand:
   De algemene klustertoestand wordt gedefinieerd als:
   $$|\psi\rangle = \prod_{j=1}^{2L-N} U\{j; N\} \bigotimes_{j=1}^{2L} |+\rangle_j$$
   Waarbij $U\{j; N\}$ een $N$-qubit poort is.

2. Specifieke Poort-implementaties:
   De studie analyseert verschillende specifieke poorten:

   • Bit-flip en Phase-flip: Niet-Clifford rotaties ($X$ en $Z$ met willekeurige hoeken) om robuustheid tegen fouten te testen.
   • Gecontroleerde Faseverschuiving (CP): Een niet-Clifford poort voor willekeurige hoeken $\phi$.
   • Gecontroleerde-Gecontroleerde-Z (CCZ): Een drie-qubit poort die vijf-liggingen interacties (five-body interactions) introduceert.
   • CNZ (Controlled-N-Z): Een veralgemening naar $(2N+1)$-liggingen interacties.

3. Hamiltoniaan en Stabilisatoren:
   Voor elke poort wordt een bijbehorende Hamiltoniaan $H = -\sum K_j$ geconstrueerd, waarbij $K_j$ de stabilisatoren zijn die de grondtoestand definiëren. De auteur onderzoekt de symmetrieën ($\mathbb{Z}_2^{\text{even}} \times \mathbb{Z}_2^{\text{odd}}$), niet-inverteerbare symmetrieën, de Kennedy-Tasaki (KT) transformatie en string-order parameters.

4. Analyse van Randtoestanden:
   Voor open ketens wordt de Hamiltoniaan geprojecteerd op de symmetrische ruimte. De auteur analyseert het energiespectrum en identificeert de degeneratie van de grondtoestand om het aantal vrij spins aan de randen te bepalen.

Belangrijkste Bijdragen

1. Generalisatie naar Hogere Orde: De paper introduceert een systematische methode om hogere-orde klustermodellen te genereren met $(2N+1)$-liggingen interacties door het gebruik van poorten zoals CCZ en CNZ.
2. Niet-Clifford SPT Fasen: Het wordt aangetoond dat het gebruik van niet-Clifford poorten (zoals CCZ voor $N \geq 3$) leidt tot nieuwe klassen van SPT-fasen die nog steeds beschermd zijn door de $\mathbb{Z}_2^{\text{even}} \times \mathbb{Z}_2^{\text{odd}}$ symmetrie, maar nu met een verhoogde complexiteit.
3. Emergentie van $N$ Vrij Spins: Een cruciale bevinding is dat voor een open keten met een CNZ-poort (met parameter $N$), er $2^{2N}$-voudig ontaarde grondtoestanden ontstaan. Dit impliceert dat er $N$ vrij spins verschijnen aan elke rand van de keten.
4. Robuustheid: De studie toont aan dat deze topologische eigenschappen robuust zijn tegen lokale verstoringen, zoals willekeurige bit-flip en phase-flip fouten, en zelfs bij kleine hoekafwijkingen in de CP-poorten.
5. Niet-Inverteerbare Symmetrie: De auteur analyseert de rol van niet-inverteerbare symmetrieën en de KT-transformatie in deze nieuwe modellen, en toont aan dat de zelf-dualiteit en de topologische aard behouden blijven, hoewel de fase-overgangspunten kunnen verschuiven ten opzichte van het standaard ZXZ-model.

Resultaten

• CCZ Model ($N=2$):

  • Genereert een model met vijf-liggingen interacties.
  • Voor een open keten is de grondtoestand 16-voudig ontaard ($2^{2 \times 2}$).
  • Dit correspondeert met 2 vrij spins aan elke rand (links en rechts).
  • Deze 2 spins vormen een symmetrie-beschermde logische 2-qubit systeem, geschikt als input/output in MBQC.
  • De topologische fase-overgang vindt plaats bij $\alpha = 0$ (in een interpolatie tussen het CCZ-model en het triviale $H_X$ model), in tegenstelling tot het standaard model waar de overgang bij $\alpha=1/2$ ligt.

• CNZ Model (Algemeen $N$):

  • Genereert modellen met $(2N+1)$-liggingen interacties.
  • Voor een open keten zijn er $2^{2N}$-voudig ontaarde grondtoestanden.
  • Er ontstaan $N$ vrij spins aan elke rand.
  • De logische qubits aan de randen worden expliciet geconstrueerd en vormen een $N$-qubit input/output systeem.

• Fase-overgangen:

  • In het standaard ZXZ-model ($N=1$) is er een topologische fase-overgang bij $\alpha=1/2$ met een sprong in de string-order parameter.
  • In het CCZ-model ($N=2$) is er geen sprong bij $\alpha=1/2$; de overgang is verschoven naar $\alpha=0$, wat aangeeft dat het systeem direct in de topologische fase zit voor elke niet-nul koppeling.

• Experimentele Realisatie:
  De paper bespreekt haalbare experimentele implementaties voor de gebruikte poorten (CP, CCZ, CNZ) in diverse platforms, waaronder supergeleidende qubits (cross-resonance gates), ionenval-systemen (Mølmer-Sørensen gates) en Rydberg-atomen.

Significantie

Deze studie is van groot belang voor de ontwikkeling van meetgebaseerde kwantumcomputatie (MBQC) en topologische kwantumcomputatie:

1. Schalbaarheid van Input/Output: Door $N$ vrij spins aan de randen te genereren, maakt dit werk het mogelijk om MBQC te schalen van enkel-qubit input/output naar multi-qubit interfaces. Dit vergroot de efficiëntie en de complexiteit van berekeningen die direct op de randtoestanden kunnen worden uitgevoerd.
2. Versterking van Rekenkracht: Het gebruik van niet-Clifford poorten in de klustergeneratie verhoogt de rekenkracht van de computer, hoewel het systeem in 1D nog steeds klassiek simuleerbaar is (via Matrix Product States). Het biedt echter een brug naar meer complexe, fouttolerante architectures.
3. Robuustheid: De bevinding dat deze toestanden robuust zijn tegen kleine afwijkingen in de poortparameters (zoals in experimenten onvermijdelijk is) en tegen lokale fouten, maakt ze zeer aantrekkelijk voor praktische implementatie in fysieke kwantumprocessors.
4. Fundamentele Fysica: De paper draagt bij aan het begrip van niet-inverteerbare symmetrieën en hoe deze topologische fasen beschermen in systemen met hogere-orde interacties, wat relevant is voor het bredere veld van de gecondenseerde materie en kwantumveldentheorie.

Kortom, Ezawa demonstreert dat het uitbreiden van de klusterconstructie met niet-Clifford poorten leidt tot een nieuwe klasse van topologische toestanden met verhoogde rand-degeneratie, wat een veelbelovende route biedt voor de realisatie van krachtige en robuuste meetgebaseerde kwantumcomputers.