Local integrals of motion encoded in a few eigenstates

Probleemstelling

De studie richt zich op een fundamenteel vraagstuk binnen de niet-evenwichtsdynamica van gesloten kwantumsystemen: hoeveel informatie over de integrabiliteit en de thermische eigenschappen van een systeem is opgeslagen in een enkel of een klein aantal eigenstaten van de Hamiltoniaan?

• Ergodische systemen: Volgens de Eigenstate Thermalization Hypothesis (ETH) bevat een enkele eigenstaat voldoende informatie om thermische eigenschappen te beschrijven.
• Integreerbare systemen: Deze systemen bezitten een uitgebreid aantal lokale integralen van beweging (LIOMs), wat leidt tot een gebrek aan thermalisatie. Traditioneel vereist het vinden van deze LIOMs vaak de volledige diagonalisatie van de Hamiltoniaan, wat computatietechnisch onmogelijk is voor grote systemen.
• Hilbert-ruimte fragmentatie: Dit is een ander mechanisme voor het verbreken van ergodiciteit waarbij de Hilbert-ruimte in exponentieel veel onverbonden blokken uiteenvalt. Het is onduidelijk of dit mechanisme fundamenteel verschilt van integrabiliteit en of LIOMs in deze systemen even efficiënt uit een klein aantal eigenstaten kunnen worden afgeleid.

Het centrale probleem is dus of het mogelijk is om de lokale integralen van beweging (die de kern vormen van integrabiliteit) nauwkeurig te reconstrueren uit een incomplete set van eigenstaten, en hoe dit zich verhoudt tot systemen met Hilbert-ruimte fragmentatie.

Methodologie

De auteurs gebruiken een numerieke methode gebaseerd op compressie van informatie via Singuliere Waarde Decompositie (SVD).

1. Opzet van de Matrix:

   • Er wordt een set van $D_O$ orthonormale lokale operatoren $\{A_1, ..., A_{D_O}\}$ gedefinieerd (opgebouwd uit Pauli-strings op een eindig aantal sites).
   • Voor een volledige set eigenstaten $\{|n\rangle\}$ wordt een matrix $R$ geconstrueerd met de diagonale matrixelementen $A^s_{nn} = \langle n | \hat{A}_s | n \rangle$.
   • LIOMs corresponderen met de grootste singuliere waarden van deze matrix. Een exacte LIOM $Q_\alpha$ kan worden geschreven als een lineaire combinatie van de lokale operatoren: $Q_\alpha = \sum V_{s\alpha} A_s$.

2. Compressie met een onvolledige set:

   • In plaats van alle $Z$ eigenstaten te gebruiken, selecteren de auteurs willekeurig een klein aantal $N_S$ eigenstaten ($N_S \ll Z$).
   • Ze construeren een gereduceerde matrix $\mathcal{R}$ met slechts $N_S$ rijen.
   • Door SVD toe te passen op $\mathcal{R}$, worden benaderde LIOMs ($\mathcal{Q}_\alpha$) afgeleid uit de bijbehorende singuliere waarden en vectoren.

3. Modelsystemen:

   • XXZ Spin-keten: Een klassiek integrabel model (Bethe-ansatz integrabel). De auteurs onderzoeken verschillende symmetrisectoren (reëel/imaginair, spin-flip symmetrie) en variëren de ondersteuning (support) $M$ van de operatoren.
   • Gefoldede XXZ-model: Een model dat Hilbert-ruimte fragmentatie vertoont. Dit model heeft een parameter $g$ die de Bethe-ansatz integrabiliteit kan breken terwijl de fragmentatie behouden blijft. Dit stelt de auteurs in staat om LIOMs te onderscheiden die voortkomen uit integrabiliteit versus die uit fragmentatie.

4. Omgaan met ontaarding:

   • Voor systemen met ontaarde eigenstaten (zoals het gefoldede model) wordt de methode aangepast door in plaats van individuele staten, ontaarde subruimtes te selecteren, zodat de matrixelementen binnen deze subruimtes correct worden verwerkt.

Belangrijkste Resultaten

1. XXZ Model (Integrabel)

• Efficiënte reconstructie: Het bleek mogelijk om LIOMs (zoals de energiestroom) zeer nauwkeurig te reconstrueren uit een zeer klein aantal willekeurig gekozen eigenstaten.
• Onafhankelijkheid van systeemgrootte: Het aantal benodigde eigenstaten ($N^*$) om een nauwkeurige LIOM te vinden, neemt niet toe met de systeemgrootte $L$. Sterker nog, het aantal benodigde staten neemt zelfs licht af of blijft constant terwijl de dimensie van de Hilbert-ruimte exponentieel groeit.
• Verhouding tot rang: De nauwkeurigheid wordt bepaald door de verhouding $N_S / \text{rank}(R)$. Zodra $N_S$ de rang van de matrix (bepaald door het aantal operatoren) overschrijdt, convergeren de resultaten snel naar de exacte analytische waarden.
• Kwasi-lokale integralen: Ook kwasi-lokale integralen van beweging (QLIOMs), die exponentieel kleine maar niet-nul gewichten hebben op grote afstanden, kunnen op dezelfde manier worden gedetecteerd uit een verwaarloosbaar klein deel van het spectrum.

2. Gefoldede XXZ Model (Hilbert-ruimte Fragmentatie)

• Verschil in gedrag: Voor LIOMs die voortkomen uit Bethe-ansatz integrabiliteit (die verdwijnen bij het breken van integrabiliteit), geldt hetzelfde als bij het standaard XXZ-model: ze kunnen uit een klein aantal staten worden gehaald.
• Fragile LIOMs: Voor LIOMs die specifiek voortkomen uit Hilbert-ruimte fragmentatie (die blijven bestaan zelfs als de Bethe-ansatz integrabiliteit wordt verbroken), is het gedrag fundamenteel anders.
  • Om deze LIOMs nauwkeurig te reconstrueren, is een meerderheid van de eigenstaten nodig ($N^* \approx Z$).
  • Het aantal benodigde staten groeit met de systeemgrootte.
• Oorzaak: Dit is niet puur een gevolg van de massale ontaarding in het model. De auteurs concluderen dat informatie over LIOMs die voortkomen uit fragmentatie anders is "gecodeerd" in de eigenstaten: de informatie is waarschijnlijk verspreid over de ontaarde subruimtes en niet lokaal aanwezig in individuele staten.

Bijdragen en Significantie

1. Fundamenteel onderscheid: De studie biedt een van de weinige fundamentele verschillen die bekend zijn tussen integrabiliteit en Hilbert-ruimte fragmentatie. Hoewel beide fenomenen ergodiciteit verbreken, verschilt de manier waarop de behoudswetten (LIOMs) in het spectrum zijn verankerd.
2. Efficiëntie in integrabele systemen: Het bewijst dat voor integrabele systemen de volledige kennis van het spectrum niet nodig is om de stationaire toestanden te beschrijven. Een verwaarloosbaar klein fractie van de Hilbert-ruimte (bijv. $10^{-5}$ voor $L=24$) is voldoende om de Generalized Gibbs Ensemble (GGE) te construeren.
3. Methodologische doorbraak: De paper valideert een numerieke methode (compressie via SVD op een deelspectrum) die rekenkracht bespaart en toepasbaar is op veel grotere systemen dan mogelijk met volledige diagonalisatie.
4. Implicaties voor hydrodynamica: Omdat LIOMs de basis vormen voor generaliseerde hydrodynamica, suggereert dit dat de dynamica van integrabele systemen robuust is en goed benaderd kan worden met beperkte spectrale informatie, terwijl systemen met fragmentatie een veel dieper "geheugen" van het volledige spectrum vereisen.

Conclusie:
De auteurs tonen aan dat integrabiliteit een diepe, lokale structuur in individuele eigenstaten achterlaat die toegankelijk is via een klein steekproef van het spectrum. In tegenstelling hiermee vereist Hilbert-ruimte fragmentatie toegang tot bijna het volledige spectrum om de bijbehorende behoudswetten te ontrafelen, wat wijst op een fundamenteel verschillend mechanisme van ergodiciteitsbreking.