Frequency of a Digit in the Representation of a Number and the Asymptotic Mean Value of the Digits

Dit artikel onderzoekt de relatie tussen de frequentie van ternaire cijfers en hun asymptotische gemiddelde, waarbij voorwaarden worden vastgesteld voor het bestaan van dit gemiddelde en een oneindige, overal dichte verzameling getallen wordt geïdentificeerd die geen cijferfrequentie bezit maar wel een asymptotisch gemiddelde heeft.

De kern

Het Geheim van de Drievoudige Cijfers: Een Reis door de Wiskunde van Kans en Gemiddelde

Stel je voor dat elk getal tussen 0 en 1 een geheim verhaal is, geschreven in een speciale code. In de gewone wereld gebruiken we het decimale stelsel (cijfers 0 tot 9), maar in dit artikel kijken we naar het ternaire stelsel. Dat is alsof we een taal spreken met slechts drie letters: 0, 1 en 2.

Elk getal is een oneindige rijtje van deze drie cijfers. Bijvoorbeeld: 0,12011200... De auteurs van dit artikel, Klymchuk, Makarchuk en Prats'ovytyi, hebben een fascinerend onderzoek gedaan naar twee vragen over deze rijtjes:

1. De Frequentie: Hoe vaak komt elk cijfer voor? (Is het 0, 1 of 2 even vaak?)
2. Het Gemiddelde: Wat is het "gemiddelde cijfer" in dit oneindige verhaal?

Hier is de uitleg in simpele taal, met een paar creatieve vergelijkingen.

1. De Twee Manieren om te Tellen

Stel je een lange rij auto's voor die voorbijrijden.

• De Frequentie (De telling): Je telt hoeveel rode, blauwe en groene auto's er voorbij zijn. Als je na 1000 auto's ziet dat er precies evenveel rode, blauwe en groene zijn, dan heb je een "frequentie". De telling stabiliseert zich.
• Het Gemiddelde (De balans): Je kijkt niet naar de kleuren, maar naar het gewicht. Stel: rode auto's wegen 0 kg, blauwe wegen 1 kg en groene wegen 2 kg. Het gemiddelde is het totale gewicht gedeeld door het aantal auto's.

Het grote mysterie:
In de wiskunde dachten we lange tijd dat als je een goed gemiddelde hebt, je ook een stabiele telling (frequentie) moet hebben. Maar deze auteurs ontdekten iets verrassends: Het is mogelijk om een perfect gemiddelde te hebben, terwijl de telling van de individuele cijfers volledig chaotisch blijft.

2. De Analogie van de Dansende Drukkers

Om dit te begrijpen, stel je een dansvloer voor met drie groepen dansers: Groep 0, Groep 1 en Groep 2.

• Normale Getallen (De perfecte dans): Bij de meeste getallen dansen de groepen in een perfect ritme. Groep 0, 1 en 2 wisselen elkaar zo snel en zo gelijkmatig af dat je na een tijdje kunt zeggen: "Ah, ze zijn allemaal even vaak aan het dansen." Hier is zowel de frequentie als het gemiddelde stabiel.
• De "Kwaadaardige" Getallen (De chaos): De auteurs hebben een manier bedacht om getallen te bouwen waarbij de dansers in blokken dansen.
  • Eerst dansen er heel veel van Groep 0.
  • Dan plotseling heel veel van Groep 1.
  • Dan weer heel veel van Groep 2.
  • Maar de lengte van deze blokken wordt zo gekozen dat het totale gewicht (het gemiddelde) precies op de juiste waarde blijft staan (bijvoorbeeld precies 1,0).

Het resultaat? Als je naar het totale gewicht kijkt, is het perfect stabiel. Maar als je probeert te tellen hoeveel keer Groep 0 precies heeft gedanst, zie je dat het antwoord voortdurend op en neer springt. De frequentie bestaat dus niet, maar het gemiddelde wel.

3. Wat hebben ze bewezen?

De auteurs hebben drie belangrijke dingen ontdekt:

1. Het verband: Als je weet hoe vaak elk cijfer voorkomt (de frequentie), kun je het gemiddelde berekenen. Maar het omgekeerde geldt niet altijd! Je kunt het gemiddelde weten zonder de frequentie te kennen.
2. De "Normale" Getallen: Voor bijna alle getallen (in de zin van de wiskundige maattheorie) is alles normaal. De cijfers 0, 1 en 2 komen even vaak voor, en het gemiddelde is precies 1. Dit is de "standaard" in de wiskundige wereld.
3. Het "Onmogelijke" Gebied: Ze hebben bewezen dat er een oneindig groot en overal aanwezig (dicht) aantal getallen bestaat die dit "gekke" gedrag vertonen.
   • Ze hebben geen vaste frequentie (de telling is onstabiel).
   • Maar ze hebben wel een vast, voorspelbaar gemiddelde.

4. Waarom is dit belangrijk?

Stel je voor dat je een machine bouwt die getallen genereert. Als je alleen naar het gemiddelde kijkt, lijkt je machine perfect en voorspelbaar. Maar als je in de details kijkt (de frequentie), zie je dat de machine in feite volledig chaotisch werkt.

Dit artikel laat zien dat gemiddelden kunnen liegen. Je kunt een systeem hebben dat er stabiel uitziet van veraf (het gemiddelde), maar van dichtbij volledig willekeurig en onvoorspelbaar is (geen frequentie).

Samenvattend in één zin:
De auteurs hebben ontdekt dat er een heel groot, onzichtbaar universum van getallen bestaat die een perfect "gemiddeld gedrag" tonen, terwijl hun individuele onderdelen in een eeuwige, chaotische dans ronddraaien zonder ooit een patroon te vormen.

Technische samenvatting

Hier is een gedetailleerde technische samenvatting van het artikel "Frequency of a Digit in the Representation of a Number and the Asymptotic Mean Value of the Digits" van S. O. Klymchuk, O. P. Makarchuk en M. V. Prats'ovytyi, vertaald en samengevat in het Nederlands.

Titel: Frequentie van een cijfer in de representatie van een getal en de asymptotische gemiddelde waarde van de cijfers

Bron: Ukrainian Mathematical Journal, Vol. 66, No. 3, Augustus 2014.

---

1. Probleemstelling en Achtergrond

Het artikel onderzoekt de wiskundige relatie tussen twee fundamentele concepten in de getaltheorie en de maattheorie:

1. De asymptotische frequentie ($\nu_i(x)$) van een specifiek cijfer $i$ in de $s$-nary (basis-$s$) representatie van een reëel getal $x \in [0, 1]$.
2. De asymptotische gemiddelde waarde ($r(x)$) van de cijfers in diezelfde representatie.

Hoewel bekend is dat voor bijna alle getallen (in de zin van Lebesgue-maat) de frequenties van alle cijfers bestaan en gelijk zijn aan $1/s$ (normale getallen), is de situatie complexer voor getallen waarbij deze frequenties niet bestaan. De auteurs willen de topologische en metrische eigenschappen van de verzameling van getallen onderzoeken waarbij de asymptotische gemiddelde waarde wel bestaat, maar de individuele cijferfrequenties niet.

Specifiek richten ze zich op het ternaire stelsel ($s=3$), waarbij de cijfers $\{0, 1, 2\}$ zijn.

2. Methodologie

De auteurs hanteren een analytische en constructieve benadering:

• Definities en Relaties:

  • Ze definiëren de relatieve frequentie $\nu_i(x)$ als de limiet van het aantal voorkomen van cijfer $i$ gedeeld door de totale lengte van de representatie.
  • Ze definiëren de relatieve gemiddelde waarde $r_n(x)$ als het gemiddelde van de eerste $n$ cijfers. De asymptotische gemiddelde waarde $r(x)$ is de limiet hiervan.
  • Er wordt een lineair verband afgeleid tussen de gemiddelde waarde en de frequenties:
    $$r(x) = \sum_{i=1}^{s-1} i \cdot \nu_i(x)$$
    Voor $s=3$ geldt dus: $r(x) = \nu_1(x) + 2\nu_2(x)$.

• Analytische Bewijzen:

  • Er worden stellingen bewezen over de afhankelijkheid van het bestaan van limieten. Voor $s=3$ wordt aangetoond dat als de gemiddelde waarde $r(x)$ bestaat, het bestaan van één frequentie impliceert dat de andere twee ook bestaan. Omgekeerd: als $r(x)$ bestaat maar één frequentie niet, dan bestaan er geen enkele frequentie.

• Constructieve Algoritmen:

  • Om de hoofdresultaten te bewijzen, construeren de auteurs expliciet getallen met specifieke eigenschappen.
  • Ze gebruiken een "blok-methode" waarbij de representatie van het getal bestaat uit opeenvolgende blokken van cijfers (0, 1 en 2) met variabele lengtes.
  • Door de lengtes van deze blokken zorgvuldig te kiezen (gebaseerd op een wisselende reeks van parameters $x_1$ en $x_2$), creëren ze een situatie waarin de som van de cijfers (de teller van de gemiddelde waarde) convergeert naar een specifieke waarde, terwijl de verhouding van individuele cijfers (de frequentie) oscilleert en geen limiet heeft.
  • Ze maken gebruik van het concept van het integraaldeel $[y]$ en limietstellingen (zoals Lemma 2 en 3) om de convergentie van de gemiddelde waarde te garanderen en de divergentie van de frequenties te bewijzen.

3. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

A. Relatie tussen Frequentie en Gemiddelde (Stelling 2 & Corollarium 2)
Voor ternaire getallen ($s=3$) is er een strikte koppeling:

• Als de asymptotische gemiddelde waarde $r(x)$ bestaat en minstens één van de frequenties ($\nu_0, \nu_1, \nu_2$) bestaat, dan bestaan alle frequenties.
• Als $r(x)$ bestaat maar geen enkele frequentie bestaat, dan bestaan er geen frequenties.
• Dit betekent dat het mogelijk is om een getal te vinden met een gedefinieerde gemiddelde waarde, maar zonder gedefinieerde cijferfrequenties.

B. Constructie van Getallen zonder Frequentie maar met Gemiddelde (Stelling 3)
De auteurs bewijzen dat voor elke gewenste waarde $\theta \in (0, 2)$, de verzameling $W_\theta$ van getallen $x$ waarvoor:

1. De asymptotische gemiddelde waarde $r(x) = \theta$ bestaat, en
2. Geen enkele cijferfrequentie $\nu_i(x)$ bestaat,
   een continu en overal dicht deelverzameling is van het interval $[0, 1]$.

• Overal dicht: In elk willekeurig klein interval van $[0, 1]$ zijn er getallen met deze eigenschap.
• Continu: De verzameling heeft de overmacht van het continuüm (het is niet aftelbaar).

C. Eigenschappen van de Functie $r(x)$ (Stelling 4)
De functie die de asymptotische gemiddelde waarde van de cijfers beschrijft, heeft de volgende eigenschappen:

1. Ze is gedefinieerd op een overal dicht deel van $[0, 1]$.
2. Ze is niet gedefinieerd op een overal dicht deel van $[0, 1]$ (er zijn getallen zonder asymptotisch gemiddelde).
3. Ze neemt alle waarden aan in het interval $[0, s-1]$.
4. Ze heeft slechts één niveau (waarde) met volledige Lebesgue-maat: $r(x) = \frac{s-1}{2}$. Dit komt overeen met de normale getallen. Voor elke andere waarde is de verzameling van getallen met dat gemiddelde een verzameling van maat nul.

4. Significatie en Implicaties

• Fundamentele Wiskunde: Het artikel lost een theoretisch vraagstuk op door te tonen dat het bestaan van een asymptotisch gemiddelde een zwakker criterium is dan het bestaan van individuele cijferfrequenties. Het ontkoppelt deze twee concepten voor specifieke, pathologische getallen.
• Fractale en Maattheoretische Inzichten: De resultaten verrijken het begrip van "normale" versus "niet-normale" getallen. Het toont aan dat er een enorme, overal dichte verzameling van getallen bestaat die "quasi-normaal" zijn in termen van hun gemiddelde cijferwaarde, maar volledig "chaotisch" zijn in de verdeling van individuele cijfers.
• Toepassingsgebied: Deze inzichten zijn relevant voor de studie van singuliere kansverdelingen, fractale meetkunde en de statistische eigenschappen van getallen in verschillende talstelsels. Het biedt een wiskundig kader voor het modelleren van systemen waarbij globale gemiddelden stabiel zijn, maar lokale frequenties fluctueren.

Conclusie:
De auteurs hebben bewezen dat men een oneindige, overal dichte verzameling van getallen kan construeren die een specifieke asymptotische gemiddelde waarde van hun cijfers hebben, terwijl ze geen enkele asymptotische frequentie voor de individuele cijfers bezitten. Dit illustreert de subtiele en complexe aard van de convergentie-eigenschappen van getallenrepresentaties.