Reply to: Comment on "Electric conductivity of graphene: Kubo model versus a nonlocal quantum field theory model"

In dit antwoord verdedigen de auteurs hun oorspronkelijke paper over de elektrische geleidbaarheid van grafen door aan te tonen dat de kritiek van Bordag et al. voortkomt uit misinterpretaties en onterechte uitbreidingen van hun model, en bevestigen ze dat hun resultaten correct en consistent zijn met de gevestigde literatuur.

De kern

Stel je voor dat twee groepen wetenschappers ruzie hebben over hoe je de "elektrische snelheid" van een heel dun materiaal, genaamd grafiet (of specifieker: grafene), het beste kunt meten. Grafene is zo dun dat het eigenlijk maar één atoom dik is, en het is een wondermateriaal dat elektriciteit heel goed geleidt.

Deze tekst is een antwoord van de eerste groep (Rodriguez-Lopez en zijn team) op een kritiek van de tweede groep (Bordag en zijn team). De tweede groep zei: "Jullie berekeningen zijn fout, jullie gebruiken de verkeerde formules en dat leidt tot onzin."

De eerste groep zegt nu: "Nee, jullie hebben ons verkeerd begrepen. Onze formules kloppen, en jullie kritiek komt door een paar misverstanden."

Hier is de uitleg in simpele taal, met wat creatieve vergelijkingen:

1. Het probleem: De verkeerde kaart gebruiken

De kritiek van de tegenpartij draaide om een specifieke formule (een soort wiskundige kaart) die ze gebruikten om te berekenen hoe stroom door grafene loopt. Ze dachten dat de auteurs van het originele artikel een "gecorrigeerde" versie van deze formule hadden gebruikt die fout was.

De analogie:
Stel je voor dat je de snelheid van een auto wilt berekenen.

• De tegenpartij zegt: "Jullie hebben de snelheid berekend door de afstand te delen door de tijd, maar jullie hebben vergeten dat de auto ook een rem heeft. Jullie formule is onvolledig!"
• De auteurs zeggen: "Nee, wij hebben de rem wel in de gaten. We gebruiken een formule die bekend staat als de Luttinger-formule. Die is als een GPS die niet alleen de snelheid meet, maar ook rekening houdt met het feit dat de auto niet kan versnellen als er geen gas wordt gegeven."

De tegenpartij dacht dat de auteurs een simpele, foutieve formule hadden gebruikt. De auteurs tonen aan dat ze juist de juiste, complexe formule hebben gebruikt die zorgt dat er geen stroom loopt als er geen spanning (elektrisch veld) is. Dat is logisch: een auto rijdt niet als je niet op het gaspedaal drukt.

2. Het "Spookstroom"-probleem

Een groot punt van kritiek was dat de tegenpartij dacht dat de auteurs een formule gebruikten die voorspelde dat er elektriciteit zou stromen, zelfs als er helemaal geen spanning op staat. Dat is als een auto die vanzelf gaat rijden terwijl je de sleutel niet hebt omgedraaid. Dat is fysiek onmogelijk.

De analogie:
De tegenpartij zei: "Jullie formule laat zien dat er een 'spookstroom' is."
De auteurs zeggen: "Dat komt omdat jullie een specifieke situatie hebben verward. Stel je voor dat je een magneet vasthoudt bij een draad. Dat kan een stroom induce (opwekken) zonder dat er een batterij (spanning) is. Dat is geen 'spook', dat is gewoon magnetisme."

De auteurs leggen uit dat de tegenpartij een situatie heeft beschouwd met een constante magneetveld (zoals een magneet die stil blijft hangen). In dat geval kan er stroom lopen zonder spanning. Maar de auteurs van het originele artikel hebben hun formule zo opgesteld dat dit alleen gebeurt als er een magneet is. Als er alleen een elektrisch veld is (zoals bij een batterij), dan stopt de stroom direct als je de batterij weghaalt. Hun model is dus veilig en logisch.

3. De "Verlies"-factor (Wrijving)

De tegenpartij vond het raar dat de auteurs een factor toevoegden die "verlies" of "wrijving" voorstelt (genoemd $\Gamma$). Ze zeiden: "In de theorie van grafene moeten deeltjes perfect bewegen, zonder wrijving. Jullie doen alsof er wrijving is."

De analogie:
Stel je voor dat je op een schaatsbaan rijdt.

• De tegenpartij zegt: "Een echte ijsschaatsbaan is perfect glad. Er is geen wrijving. Als jullie wrijving toevoegen, is het geen echte ijsschaatsbaan meer."
• De auteurs zeggen: "In de echte wereld is de baan nooit perfect glad. Er is altijd een beetje sneeuw of oneffenheid. Als we geen wrijving meerekenen, voorspellen we dat de schaatser oneindig blijft glijden, wat niet klopt met de werkelijkheid. Door de wrijving mee te nemen, krijgen we een berekening die precies overeenkomt met wat we in het lab meten."

De auteurs tonen aan dat bijna iedereen in de wetenschap deze "wrijving" (verlies) meeneemt omdat het nodig is om de echte wereld te beschrijven.

4. De "Dubbele Pool" (De dubbele piek)

De tegenpartij beweerde dat de auteurs een vreemd wiskundig fenomeen hadden (een "dubbele pool") dat fysiek onzin zou zijn.

De analogie:
Stel je voor dat je een geluid maakt en er is een echo die twee keer zo hard is als het origineel. De tegenpartij zegt: "Dat kan niet, dat is een fout in jullie akoestiek."
De auteurs zeggen: "Die 'dubbele echo' komt niet door de elektriciteit zelf, maar door de magnetische kracht die we erbij hebben. Het is alsof je een echo hoort van een muur die je niet zag. Het is geen fout, het is een ander effect dat we juist goed hebben beschreven."

Conclusie: Wie heeft gelijk?

De auteurs van dit antwoord zeggen:

1. Jullie hebben ons verkeerd begrepen. We hebben de juiste formules gebruikt.
2. Onze resultaten kloppen. Als er geen spanning is, loopt er geen stroom (tenzij er een magneet is, wat we duidelijk hebben gemaakt).
3. Jullie kritiek op de "wrijving" is onterecht. In de echte wereld is wrijving nodig om de natuurkunde goed te beschrijven.
4. We hebben een paar kleine typefouten in het originele artikel gecorrigeerd, maar de grote conclusies staan als een huis.

Kortom: De auteurs zeggen dat hun werk 100% correct is en dat de kritiek van de tegenpartij voortkomt uit het toepassen van hun formules op situaties waar ze niet voor bedoeld waren, of het vergeten van belangrijke details zoals magnetische velden en wrijving.

Technische samenvatting

Titel: Reactie op commentaar over de elektrische geleidbaarheid van grafreen: Kubo-model versus een niet-lokaal kwantumveldtheorie-model

Auteurs: Pablo Rodriguez-Lopez, Jian-Sheng Wang en Mauro Antezza.

---

1. Het Probleem

Dit artikel is een reactie op een commentaar (geschreven door Bordag et al.) dat de validiteit van de resultaten uit een eerdere publicatie [2] van dezelfde auteurs betwist. Het centrale geschilpunt betreft de theoretische beschrijving van de elektrische geleidbaarheid van grafreen.

De critici beweren dat:

• De auteurs in [2] de relatie tussen stroom en vectorpotentiaal ($J_\mu = -\Pi_{\mu\nu}A_\nu$) onterecht hebben gemodificeerd.
• De afleiding van de Luttinger-formule voor elektrische geleidbaarheid uit het Kubo-formalisme incorrect is vanwege een verkeerde toepassing van causaliteit en Fourier-transformaties.
• Het introduceren van dissipatie (verlies) via een parameter $\Gamma$ de relativistische beschrijving van grafreen (Dirac-model) schendt.
• De resultaten leiden tot fysisch onaanvaardbare scenario's, zoals elektrische stromen in afwezigheid van een extern elektrisch veld, en een dubbele pool in de permittiviteit.
• De tensoriële structuur en gauge-invariantie van de modellen zijn geschonden.

De auteurs van deze reply verdedigen hun oorspronkelijke werk en stellen dat de kritiek voortkomt uit misinterpretaties en het toepassen van hun formules buiten het domein van geldigheid.

2. Methodologie

De auteurs analyseren de punten van kritiek één voor één en vergelijken hun oorspronkelijke afleidingen met de beweringen in het commentaar. Ze maken gebruik van:

• Kubovormalisme: Om de elektrische geleidbaarheid ($\sigma_{\mu\nu}$) strikt af te leiden uit de polarisatietensor ($\Pi_{\mu\nu}$) en causaliteit.
• Kwantumveldtheorie (QFT): Om de polarisatietensor te berekenen en de rol van Feynman-Greenfuncties en Matsubara-tijd te verduidelijken.
• Fysieke analyse van limieten: Het bestuderen van gedrag bij $T \to 0$, $q \to 0$ (lokaal limiet), en de invloed van dissipatie ($\Gamma$).
• Vergelijking met bestaande literatuur: Het tonen van consistentie met gevestigde werken (zoals Falkovsky & Varlamov, Katsnelson) en experimentele waarnemingen.

3. Belangrijkste Bijdragen en Argumenten

A. Correcte Afleiding van de Luttinger-formule

De auteurs weerleggen de claim dat ze de relatie $J_\mu = \sigma_{\mu\nu}E_\nu$ onterecht hebben gemodificeerd.

• Ze bevestigen dat de fundamentele relatie $J_\mu = -\Pi_{\mu\nu}A_\nu$ correct is en ongewijzigd blijft.
• Echter, voor de pure elektrische geleidbaarheid (relatie tussen stroom en elektrisch veld $E$), is de directe substitutie $\sigma = \Pi / i\omega$ fysisch onjuist omdat dit stromen voorspelt zonder elektrisch veld.
• Ze bevestigen dat de correcte uitdrukking de Luttinger-formule is:
  $$\sigma^K_{\mu\nu}(\omega, q) = \frac{\Pi_{\mu\nu}(\omega, q) - \lim_{\omega \to 0} \Pi_{\mu\nu}(\omega, q)}{i\omega}$$
  Deze formule is strikt afgeleid op basis van causaliteit en garandeert dat er geen elektrische stroom is als het elektrische veld nul is.

B. Causaliteit en Fourier-transformaties

De critici beweerden dat de auteurs een "niet-relativistische realisatie van causaliteit" gebruikten via een eenzijdige Fourier-transformatie.

• De reply toont aan dat in [2] de standaard tweezijdige Fourier-transformatie voor causale transportcoëfficiënten en de Matsubara-tijd-geordende Green-functies (Feynman Green-functies in imaginaire tijd) correct zijn toegepast. Er is dus geen fout in de formalisme.

C. Rol van Dissipatie ($\Gamma$)

Het commentaar stelt dat het introduceren van een phenomenologische parameter $\Gamma$ (voor relaxatie/verlies) strijdig is met het interactievrije Dirac-model.

• De auteurs betogen dat dissipatie in grafreen (en alle normale materialen) onvermijdelijk is en experimenteel gemeten wordt.
• $\Gamma$ wordt gezien als een benadering van het imaginaire deel van de self-energie in de Schwinger-Dyson-vergelijking.
• Het gebruik van $\Gamma > 0$ is een standaardpraktijk in de literatuur en noodzakelijk om een eindige, fysisch realistische geleidbaarheid te verkrijgen. Zonder $\Gamma$ zouden er onfysische divergenties optreden.

D. Tensoriële Structuur en Gauge-invariantie

De critici beweren dat de subtractie in de Luttinger-formule de tensoriële structuur van $\sigma_{\mu\nu}$ schendt en de gauge-invariantie verstoort.

• De auteurs verduidelijken dat in [2] de covariante generalisatie van $\sigma^K_{\mu\nu}$ naar ruimtetijd-indices niet wordt bestudeerd. De wet van Ohm in hun werk relateert ruimtelijke stroomvectoren aan ruimtelijke elektrische velden.
• De indices van $\sigma^K_{\mu\nu}$ zijn puur ruimtelijk (3D), en de 0-componenten zijn niet gedefinieerd in deze context. De kritiek op gauge-invariantie is dus van toepassing op een extensie die door de critici wordt voorgesteld, maar niet door de auteurs van [2] wordt gebruikt.

E. Fysische Interpretatie van Stromen en Polen

• Stroom zonder veld: De reply bevestigt dat het model van de auteurs ($\sigma^K$) geen stroom voorspelt in afwezigheid van een elektrisch veld. De kritiek dat er een "pure elektrische stroom" ontstaat, berust op een verkeerde toepassing van de formule op een constant magnetisch veld (waarbij $E=0$ maar $A \neq 0$). Het model van de critici ($\sigma^{NR}$) bevat echter een anomalie (een derde piek) die juist een stroom voorspelt in afwezigheid van $E$, wat fysisch onjuist is voor een zuiver elektrisch transportmodel.
• Dubbele pool: De claim dat de permittiviteit een dubbele pool in $\omega$ vertoont, wordt weerlegd. De "anomalie" die de critici zien, komt voort uit een magnetische bijdrage aan de stroom, niet uit de diëlektrische permittiviteit.
• Casimir-effect: De auteurs tonen aan dat het voorspelde grote thermische effect in de Casimir-kracht tussen grafreenlagen niet afhankelijk is van de specifieke formule (Eq. 7) die de critici verdedigen, maar een algemeen kenmerk is van elk 2D-materiaal met $\lim_{\omega \to 0} \sigma_L(\omega) > 0$ (d.w.z. met dissipatie). Experimenten bevestigen dus niet het model van de critici boven dat van de auteurs.

4. Resultaten

• De oorspronkelijke resultaten in [2] worden bevestigd als volledig geldig en correct.
• De afleiding van de Luttinger-formule uit het Kubo-formalisme is wiskundig en fysisch correct.
• Het model voorspelt correct dat de elektrische stroom nul is als het elektrische veld nul is.
• De invoering van dissipatie ($\Gamma$) is noodzakelijk en consistent met de fysica van grafreen.
• De kritiek op gauge-invariantie en tensoriële structuur is gebaseerd op een interpretatie die buiten het bereik van het oorspronkelijke werk valt.

5. Betekenis

Deze reply is van cruciaal belang voor de theoretische beschrijving van transport in grafreen en 2D-materialen. Het bevestigt dat:

1. De Kubo-formule de juiste route is om elektrische geleidbaarheid te definiëren, waarbij de subtractie van de $\omega \to 0$ limiet essentieel is om fysische consistentie (geen stroom zonder veld) te behouden.
2. Het onderscheid tussen elektrische en magnetische bijdragen aan de stroom strikt moet worden gehandhaafd om fysisch onaanvaardbare resultaten (zoals stromen in statische magnetische velden zonder elektrisch veld) te vermijden.
3. Het gebruik van dissipatie in kwantumtransportmodellen niet alleen toegestaan, maar noodzakelijk is voor het beschrijven van realistische materialen.

De auteurs sluiten af met het corrigeren van enkele kleine typografische fouten in het oorspronkelijke artikel [2], maar benadrukken dat de kernconclusies en de geldigheid van het model onaangetast blijven.