On $\frac{1}{n!}$ in Cantor sets

Dit artikel beantwoordt een recente vraag van Jiang door te bewijzen dat de enige elementen van de vorm $1/n!$ in het middelste-derden Cantor-set $1$ en $1/5!$ zijn, en veralgemeent dit resultaat tot eindige verzamelingen van ontbrekende cijfers.

De kern

De Zoektocht naar de Verborgen Factorials in het Cantor-Universum

Stel je voor dat je een heel specifiek, oneindig groot universum hebt. Dit universum heet de Cantor-set. Het is een heel vreemd soort plek: het lijkt op een lijn, maar als je er heel goed naar kijkt, zie je dat er gigantische gaten in zitten. Het is alsof je een brood neemt, er een stuk uit snijdt, en dan uit de resterende stukken weer stukken weghaalt, en dit oneindig vaak herhaalt. Wat overblijft, is een verzameling van punten die eruitzien als een fractal (een oneindig ingewikkeld patroon).

Nu hebben wiskundigen een andere verzameling getallen: de factorials. Dit zijn getallen die je krijgt door alle getallen tot een bepaald punt met elkaar te vermenigvuldigen. Bijvoorbeeld:

• $1! = 1$
• $2! = 1 \times 2 = 2$
• $3! = 1 \times 2 \times 3 = 6$
• $5! = 120$

De vraag die de auteurs van dit paper (Lin, Wu en Yang) zich stelden, was heel simpel maar lastig te beantwoorden: Welke van deze getallen (of hun omgekeerde, zoals $1/1$, $1/2$, $1/6$, $1/120$) passen precies in de gaten van het Cantor-Universum?

Het Grote Geheim: Slecht Twee Getallen

De wiskundigen ontdekten iets verrassends. Ze dachten misschien dat er oneindig veel getallen zouden zijn die in het patroon passen, of misschien helemaal geen. Maar het antwoord was heel specifiek:

Er zijn slechts twee getallen in de hele wereld die zowel een "factorial" zijn als in het Cantor-Universum passen:

1. 1 (want $1/1! = 1$)
2. 1/120 (want $1/5! = 1/120$)

Alle andere getallen, zoals $1/6$ of $1/720$, passen niet. Ze vallen precies in een van die enorme gaten die we eerder noemden.

Hoe hebben ze dit ontdekt? (De Metafoor van de Sleutel en het Slot)

Om dit te bewijzen, gebruikten de auteurs een slimme truc die te vergelijken is met het testen van sleutels in een slot.

1. Het Patroon van de Gaten: Het Cantor-Universum heeft een heel specifiek patroon van gaten. Als je een getal in dit universum wilt hebben, moet het getal in zijn "cijfercode" (in het binaire of ternaire stelsel) bepaalde cijfers niet bevatten. Het is alsof je een code moet invoeren, maar het cijfer '1' is verboden.
2. De Factorials als Codes: De getallen $1/n!$ hebben ook een code. Maar naarmate $n$ groter wordt, wordt deze code steeds chaotischer en langer.
3. De "Sleutel" van de Wiskunde: De auteurs gebruikten een bestaande wiskundige regel (van een man genaamd Korobov) die zegt: "Als een getal in dit specifieke universum zit, dan moet de lengte van zijn code een bepaalde relatie hebben met de grootte van het getal."
4. Het Ontdekken van de Breuk: Ze ontdekten dat voor kleine getallen (zoals $n=1$ tot $n=20$) de codes soms wel passen. Maar zodra je verder gaat (na $n=20$), wordt de code van de factorials zo lang en complex dat ze nooit meer de strenge regels van het Cantor-Universum kunnen halen. Het is alsof je probeert een sleutel te maken die steeds groter wordt, maar het slot (het Cantor-Universum) blijft even groot. Uiteindelijk past de sleutel niet meer.

Wat betekent dit voor de rest van de wereld?

Dit onderzoek is niet alleen interessant voor het ene specifieke Cantor-Universum. De auteurs hebben laten zien dat hun methode werkt voor elk soort "gaten-universum" (wat ze "missing-digit sets" noemen).

Stel je voor dat je een ander universum hebt waar je niet het cijfer '3' mag gebruiken, of waar je alleen '0' en '9' mag gebruiken. Hun methode zegt:

• In elk van deze universums zijn er maar een eindig aantal factorial-getallen die passen.
• Je kunt met een computerprogramma precies uitrekenen welke dat zijn. Je hoeft niet oneindig lang te zoeken; je stopt op een zeker punt en zegt: "Oké, hier stoppen we, er zijn er geen meer."

Samenvatting voor de Leek

• Het probleem: Welke breuken van de vorm $1/n!$ zitten in een wiskundig patroon met gaten?
• Het antwoord: Voor het beroemde "Cantor-patroon" zijn het er maar twee: 1 en 1/120.
• De methode: Ze gebruikten slimme wiskundige regels om te bewijzen dat na een zeker punt (na $n=20$) de getallen te "groot" en "chaotisch" worden om nog in het patroon te passen.
• De les: Zelfs in de oneindige wereld van wiskunde zijn er soms verrassend simpele antwoorden. En met de juiste gereedschappen kun je bewijzen dat er na een bepaald punt gewoon niets meer te vinden is.

Het is alsof je zegt: "Ik heb een oneindige verzameling sleutels, maar ik kan bewijzen dat er maar twee zijn die in dit specifieke slot passen, en dat ik dat nu al weet zonder de rest van de sleutels te hoeven proberen."

Technische samenvatting

Titel: 1/n! in Cantor-sets

Auteurs: Kehao Lin, Yufeng Wu (correspondentie), Siyu Yang
Publicatie: Journal of the London Mathematical Society (online gepubliceerd, 2026)

---

1. Probleemstelling

Het artikel adresseert een fundamenteel probleem in de meetkunde van fractalen en de getaltheorie: het karakteriseren van de doorsnede tussen een specifieke rij van rationale getallen en een Cantor-set.

• De Rij: De rij van reciproke faculteiten $\{ \frac{1}{n!} : n \in \mathbb{N} \}$.
• De Set: De klassieke middendrie-Cantor-set $C$ (de set van getallen in $[0,1]$ die in de binaire ontwikkeling basis 3 alleen de cijfers 0 en 2 bevatten).
• De Vraag: Recentelijk stelden Jiang et al. [2] de volgende vraag: Wat is de exacte doorsnede $\{ \frac{1}{n!} : n \in \mathbb{N} \} \cap C$?
  • Het is bekend dat $1 = \frac{1}{1!}$ en $\frac{1}{5!}$ tot deze doorsnede behoren.
  • De vraag was of er nog andere elementen bestaan en of de doorsnede eindig is.

Dit probleem is gerelateerd aan het beroemde (en nog openstaande) Erdős-similariteitsprobleem, dat onderzoekt of meetbare verzamelingen met positief Lebesgue-maat een affiene kopie bevatten van specifieke rijen zoals $\{ \frac{1}{2^n} \}$ of $\{ \frac{1}{n!} \}$.

2. Methodologie

De auteurs hanteren een analytische benadering die voortbouwt op recente resultaten van Shparlinski [6] en Schleischitz [5] over rationale getallen in "missing-digit sets" (sets met ontbrekende cijfers). De kern van hun bewijsvoering bestaat uit de volgende stappen:

A. Getaltheoretische Voorbereiding

• $m$-adische expansie: Voor een rationaal getal $\frac{r}{q}$ met $\gcd(q, m)=1$ is de $m$-adische expansie puur periodiek met periode $\text{ord}_q(m)$ (de multiplicatieve orde van $m$ modulo $q$).
• Korobov's Schatting: De auteurs maken gebruik van een lemma van Korobov [4] dat een schatting geeft voor het aantal keren dat een specifiek cijfer $i$ voorkomt in de periode van de $m$-adische expansie van $\frac{r}{q}$. Als een cijfer $i$ niet in de set van toegestane cijfers $D$ zit (dus $i \notin D$), dan moet het aantal voorkomens $N_i(r/q) = 0$ zijn.
• Afleiding: Uit Korobov's ongelijkheid volgt dat als $\frac{r}{q}$ in een missing-digit set $K_{m,D}$ ligt, de periode $\text{ord}_q(m)$ begrensd moet zijn door een functie van de radical van $q$:
  $$\text{ord}_q(m) \leq 2m \cdot \text{ord}_{\text{rad}(q)}(m)$$

B. Toepassing op $1/n!$

Voor het specifieke geval van de middendrie-Cantor-set ($m=3$, $D=\{0,2\}$):

1. Schrijf $n! = 3^{\nu_3(n!)} M_n$, waarbij $3 \nmid M_n$.
2. Omdat de Cantor-set invariant is onder vermenigvuldiging met 3 (modulo 1), geldt: als $\frac{1}{n!} \in C$, dan moet ook $\frac{1}{M_n} \in C$.
3. Dit impliceert dat de bovengenoemde ongelijkheid moet gelden voor $q = M_n$ en $m=3$:
   $$\text{ord}_{M_n}(3) \leq 6 \cdot \text{ord}_{\text{rad}(M_n)}(3)$$

C. Asymptotische Analyse (Lemma 2.3)

De auteurs bewijzen dat deze ongelijkheid niet kan gelden voor voldoende grote $n$.

• Ze analyseren de 2-adische waardes ($\nu_2$) van beide kanten van de ongelijkheid.
• Gebruikmakend van de wet van Legendre en eigenschappen van multiplicatieve ordes, tonen ze aan dat voor $n \geq 21$:
  $$\nu_2(\text{ord}_{M_n}(3)) \geq \nu_2(\text{ord}_{\text{rad}(M_n)}(3)) + 3$$
• Dit betekent dat de linkerkant (de orde modulo $M_n$) exponentieel sneller groeit dan de rechterkant (de orde modulo de radical), waardoor de ongelijkheid voor grote $n$ faalt.

3. Belangrijkste Resultaten

Hoofdstelling (Theorema 1.2)

De auteurs bewijzen dat de doorsnede van de rij van reciproke faculteiten en de middendrie-Cantor-set exact bestaat uit twee elementen:
$$\left\{ \frac{1}{n!} : n \in \mathbb{N} \right\} \cap C = \left\{ 1, \frac{1}{5!} \right\}$$
Dit betekent dat $\frac{1}{1!}$ en $\frac{1}{120}$ de enige getallen in deze rij zijn die tot de Cantor-set behoren. Alle andere $\frac{1}{n!}$ voor $n > 5$ (en specifiek voor $n \geq 21$) bevatten in hun basis-3 expansie het cijfer 1, wat verboden is in de Cantor-set.

Generalisatie (Theorema 1.4)

Het resultaat wordt uitgebreid naar elke missing-digit set $K_{m,D}$ (waarbij $m \geq 3$ en $1 < \#D < m$).

• De doorsnede $\{ \frac{1}{n!} : n \in \mathbb{N} \} \cap K_{m,D}$ is altijd eindig.
• De elementen kunnen effectief bepaald worden.

Algoritme

Het artikel presenteert een algoritme (Algorithm 1) om de doorsnede voor een willekeurige missing-digit set te berekenen:

1. Kies een oneven priemgetal $p$ copriem met $m$.
2. Bereken een drempelwaarde $n_0$ waarbij de ongelijkheid uit Lemma 2.3 faalt voor alle $n \geq n_0$.
3. Controleer exhaustief alle $n$ in het bereik $1 \leq n < n_0$ om te zien of $\frac{1}{n!}$ in de set ligt.

Voorbeelden uit Tabel 1:

• Voor $(3, \{0, 1\})$ (ontbrekend cijfer 2): De doorsnede is $\{ \frac{1}{2!}, \frac{1}{3!}, \frac{1}{4!}, \frac{1}{6!} \}$.
• Voor $(3, \{0, 2\})$ (standaard Cantor-set): De doorsnede is $\{ 1, \frac{1}{5!} \}$.
• Voor $(4, \{0, 3\})$: De doorsnede is $\{ 1 \}$.

4. Betekenis en Impact

1. Oplossing van een Open Vraag: Het artikel beantwoordt direct de vraag van Jiang et al. uit 2026, waarmee een specifiek open probleem in de interactie tussen fractale meetkunde en getaltheorie wordt opgelost.
2. Methodologische Vooruitgang: Het toont aan dat technieken uit de analytische getaltheorie (specifiek Korobov's schattingen voor cijferverdelingen in periodieke expansies) krachtig kunnen worden ingezet om de aanwezigheid van specifieke rationale getallen in fractale sets te beperken.
3. Eindigheid en Berekenbaarheid: Het bewijst niet alleen dat de verzameling eindig is, maar levert ook een constructief bewijs en een algoritme om de exacte elementen te vinden. Dit is een sterke versterking van eerdere kwalitatieve resultaten (zoals die van Schleischitz) die alleen eindigheid garandeerden zonder een expliciete methode om de elementen te vinden.
4. Verband met Erdős-probleem: Hoewel het Erdős-similariteitsprobleem zelf open blijft, biedt dit werk inzicht in hoe "sparsely" bepaalde rijen (zoals $1/n!$) zich gedragen binnen specifieke fractale structuren, wat relevant is voor bredere vragen over de distributie van meetbare verzamelingen.

Samenvattend biedt dit artikel een rigoureuze en constructieve oplossing voor een specifiek probleem binnen de fractale getaltheorie, met een methode die breed toepasbaar is op een grote klasse van Cantor-achtige sets.