HAMMR-L: Noise Reduction in Quantum Outcomes Using a Richardson-Lucy Deconvolution Algorithm for Quantum State Graphs

Probleemstelling

Huidige kwantumcomputers opereren in het NISQ-tijdperk (Noisy Intermediate-Scale Quantum), waarbij ruis en fouten aanzienlijk toenemen naarmate de diepte van de schakeling en het aantal qubits groeien. Hoewel Quantum Error Correction (QEC) op de lange termijn de oplossing is, is dit nog niet operationeel. Daarom is Quantum Error Mitigation (QEM) essentieel om de bruikbaarheid van huidige systemen te vergroten door de ruis in de uitgangsverdelingen te verminderen zonder volledige foutcorrectie.

Bestaande methoden, zoals HAMMER en QBEEP, maken gebruik van de structuur in de Hamming-ruimte (de ruimte van binaire strings gesorteerd op het aantal bit-flips ten opzichte van het juiste antwoord). Deze methoden proberen de juiste uitkomst te identificeren door te kijken naar de "buurman"-staten in de Hamming-ruimte. Echter, QBEEP is niet hardware- of schakeling-onafhankelijk en vereist specifieke aanpassingen voor verschillende foutprofielen. De auteurs stellen dat er behoefte is aan een meer fundamentele, algemene aanpak die beter presteert dan de huidige state-of-the-art.

Methodologie: HAMMR-L

De auteurs introduceren HAMMR-L, een post-processing techniek die het concept van Hamming-ruimte combineert met Richardson-Lucy (R-L) deconvolutie, een algoritme dat oorspronkelijk is ontwikkeld voor het ontscherpen van wazige beelden in de beeldverwerking.

De kern van de methode bestaat uit de volgende stappen:

1. Constructie van de State Graph:

   • De meetresultaten van een kwantumcircuit worden omgezet in een grafiek waarbij elke knoop een waargenomen binaire string is.
   • De "helderheid" van een knoop wordt bepaald door de gemeten waarschijnlijkheid (aantal schoten gedeeld door het totaal).
   • Knopen zijn verbonden als hun Hamming-afstand 1 is (d.w.z. ze verschillen door één bit-flip). Dit creëert een netwerk dat de topologie van de Hamming-ruimte ($H_N$) weergeeft.

2. Het Deconvolutie-model:

   • De auteurs modelleren het ruisprobleem als een convolutie: de waargenomen verdeling $d(i)$ is het resultaat van de ware, foutloze verdeling $u(i)$ die is "geblurd" door een Point Spread Function (PSF) $P$.
   • In dit context vertegenwoordigt de PSF hoe een correcte string "uitsmeert" naar foutieve strings via bit-flips. De PSF is hier een functie van de Hamming-afstand $h(i, j)$.
   • De auteurs gebruiken experimenteel de PSF: $p_{ij} = \frac{1}{h(i, j) + 1}$.

3. Richardson-Lucy Iteratie:

   • Het algoritme probeert de oorspronkelijke verdeling $u$ te reconstrueren door iteratief de convolutie om te draaien.
   • De update-regel voor de geschatte waarschijnlijkheid $\hat{u}^{(n+1)}_j$ op iteratie $n+1$ is:
     $$\hat{u}^{(n+1)}_j = \hat{u}^{(n)}_j \sum_i \frac{d_i}{c_i} p_{ij}$$
     waarbij $c_i$ een normalisatiefactor is.
   • Dit proces wordt herhaald totdat convergentie is bereikt of een maximum aantal iteraties is bereikt, waarna de resultaten worden genormaliseerd.

Belangrijkste Bijdragen

• Nieuwe Koppeling: De eerste toepassing van Richardson-Lucy deconvolutie op kwantum state graphs voor foutmitigatie.
• Hardware- en Schakeling-Onafhankelijkheid: In tegenstelling tot QBEEP, dat specifiek is afgestemd op de foutprofielen van de hardware en de schakeling, is HAMMR-L een algemene aanpak die geen voorafgaande kennis van de hardware-fouten vereist.
• Verbeterde PSF: Het gebruik van een specifieke PSF gebaseerd op de inverse Hamming-afstand bleek experimenteel effectiever dan Poisson- of binomiale verdelingen die in eerdere werken werden gebruikt.

Resultaten

De auteurs hebben HAMMR-L getest op IBM-kwantumhardware met Bernstein-Vazirani (BV) circuits. Ze hebben datasets gegenereerd met variërende foutniveaus (door het aantal '1's in de geheime string te variëren, wat correleert met het aantal CNOT-poorten).

• Vergelijking met QBEEP: HAMMR-L presteerde over het algemeen beter dan QBEEP.
  • Bij 7 van de 10 datasets had HAMMR-L een hoger percentage circuits waarbij de rang van het juiste antwoord verbeterde.
  • Gemiddelde Rangverbetering: HAMMR-L had een gemiddelde rangverbetering van +3,081, terwijl QBEEP een gemiddelde rangverslechtering van -0,328 vertoonde.
• Prestatie bij Hoge Ruis: HAMMR-L toonde sterke resultaten bij circuits met zeer hoge foutpercentages (bijv. 8 of 9 '1's in een 9-qubit circuit). In een specifiek voorbeeld steeg het juiste antwoord van de 4e naar de 1e plaats, met een waarschijnlijkheidsstijging van <1% naar bijna 8%.
• Variaties: Er was enige variatie tussen runs (vooral bij de 7-ones dataset), wat wordt toegeschreven aan fluctuaties in de IBM-hardware die niet perfect overeenkwamen met de gebruikte PSF. Toch overtrof HAMMR-L QBEEP in de meeste zware ruis-scenario's.

Betekenis en Toekomstperspectief

Het paper toont aan dat beeldverwerkingstechnieken (deconvolutie) direct en effectief kunnen worden toegepast op kwantumfoutmitigatie. De belangrijkste implicaties zijn:

1. Praktische Toepasbaarheid: HAMMR-L biedt een manier om de bruikbaarheid van NISQ-computers direct te verhogen zonder de noodzaak van complexe hardware-aanpassingen.
2. Toekomstige Verbeteringen: De auteurs identificeren drie richtingen voor verdere optimalisatie:
   • Hardware-bewuste PSF: Het gebruik van specifieke ruismodellen van de hardware om een nauwkeurigere PSF te bouwen (zoals QBEEP doet, maar dan geïntegreerd in het R-L framework).
   • Blinde Deconvolutie: Het schatten van de PSF puur op basis van de structuur van de waargenomen data, zonder voorafgaande kennis van de hardware.
   • Deep Learning: Het combineren van R-L deconvolutie met neurale netwerken om de PSF te leren en de snelheid/accuratesse te verhogen.

Concluderend biedt HAMMR-L een fundamenteel nieuw perspectief op kwantumfoutmitigatie en bewijst het dat bestaande wiskundige methoden uit andere domeinen (zoals astronomie en fotografie) potentieel hebben om de beperkingen van huidige kwantumhardware te overwinnen.