Tackling inverse problems for PDFs from lattice QCD

In deze kick-off presentatie voor de sessie 'Recent developments in QCD' op Baryons 2025 worden de recente vooruitgang bij het extraheren van parton-distributiefuncties (PDF's) uit rooster-QCD en de langdurige inspanningen om het inverse probleem in de vorm van spectrale functiereconstructie op te lossen, met elkaar verbonden.

De kern

De Grote Raadsel: Hoe zien protonen er van binnen uit?

Stel je voor dat je een heel complexe, onzichtbare machine (een proton) wilt begrijpen. Je kunt hem niet openmaken om naar de onderdelen te kijken, omdat hij te klein is. In plaats daarvan schiet je er kleine kogeltjes (deeltjes) tegenaan en kijkt je hoe ze afketsen. Uit die botsingen probeer je te reconstrueren hoe de machine van binnen is opgebouwd.

In de natuurkunde noemen we deze interne bouwplannen PDF's (Parton Distribution Functions). Ze vertellen ons hoe waarschijnlijk het is dat je een bepaald onderdeel (een "parton") op een bepaalde snelheid in het proton aantreft.

Het Probleem: De "Euclidische" Gevangenis

Het probleem is dat de supercomputers die we gebruiken om deze protonen te simuleren (Lattice QCD), vastzitten in een vreemde wereld. Ze rekenen in "Euclidische tijd". Dat klinkt als een wiskundige term, maar je kunt het zien als een foto van een bewegend object.

• De echte wereld: Een video. Hier zie je hoe de deeltjes bewegen en botsen (dit is wat we nodig hebben).
• De computerwereld: Een foto. Hier zie je alleen een statisch moment. Je kunt de beweging niet direct zien.

De auteurs van het artikel proberen deze "foto" om te zetten in een "video". Ze willen de beweging van de deeltjes (die dicht bij de lichtsnelheid reizen) reconstrueren op basis van de statische data die de computer geeft.

De Uitdaging: Het Inverse Probleem (Het Oplossen van een Raadsel)

Het proces van het omzetten van de statische foto naar de bewegende video is wat ze het inverse probleem noemen.

Stel je voor dat je een vaas hebt en je gooit er een steen in. Je hoort het geluid (de data). Je wilt nu weten: Hoe zag de vaas eruit voordat ik de steen erin gooide?
Dit is extreem moeilijk omdat:

1. Veel antwoorden mogelijk zijn: Verschillende vormen van vazen kunnen hetzelfde geluid produceren.
2. Ruis: Als je de steen net iets anders gooit, verandert het geluid een beetje. Een kleine fout in je meting kan leiden tot een volledig verkeerde reconstructie van de vaas.

In de wiskunde noemen we dit een slecht gesteld probleem (ill-posed). Als je alleen kijkt naar de data die we hebben, is het antwoord niet uniek en is het extreem gevoelig voor fouten.

De Oplossing: De "Voorkeur" (Regularisatie)

Omdat de data niet genoeg is om het antwoord te vinden, moeten we de computer helpen door extra kennis in te brengen. Dit noemen ze regularisatie of het gebruik van een voorafgaande verwachting (prior).

Het is alsof je zegt: "Oké, we weten niet precies hoe de vaas eruitzag, maar we weten wel dat vazen meestal rond zijn en niet uit vierkante blokjes bestaan. Laten we die kennis gebruiken om het beste antwoord te vinden."

In het artikel worden verschillende methoden besproken om deze "hulp" te geven:

1. De "Backus-Gilbert" methode: Dit is als proberen de vaas te tekenen door alleen lijnen te trekken die passen bij het geluid. Het werkt goed voor grote vormen, maar faalt als je kleine, scherpe details wilt zien (zoals een handvat).
2. Bayesiaanse methoden (MEM en BR): Dit is slimmer. Je begint met een "gok" (bijvoorbeeld: "De vaas is waarschijnlijk rond"). Dan pas je die gok aan op basis van de data.
   • MEM (Maximum Entropy): Deze methode zegt: "Maak het antwoord zo simpel en glad mogelijk, tenzij de data dwingt om complexer te zijn." Dit voorkomt dat je fantaseert over details die er niet zijn.
   • BR (Bayesian Reconstruction): Een vergelijkbare methode, maar soms iets minder streng, wat kan leiden tot "trillingen" (ruis) in het resultaat als de data niet goed genoeg is.
3. Neurale Netwerken (AI): Dit is alsof je een kunstenaar een foto van de vaas laat zien en vraagt hem om de vorm te tekenen. De AI leert uit duizenden voorbeelden hoe vazen eruit zien en probeert die kennis toe te passen op jouw specifieke geval.

Wat leren we hieruit?

De auteur, Alexander Rothkopf, concludeert het volgende:

• Het is moeilijk: Het reconstrueren van de binnenkant van protonen uit deze computer-simulaties is een enorme uitdaging, vergelijkbaar met het reconstrueren van het geluid van een orkest uit één enkele opname.
• Samenwerking is cruciaal: De mensen die werken aan het reconstrueren van protonen (bij 0 graden, dus in rust) en de mensen die werken aan het reconstrueren van de eigenschappen van deeltjes in een heet plasma (zoals in de vroege universum), hebben hetzelfde probleem. Ze moeten beiden een "slecht gesteld" raadsel oplossen.
• De toekomst: De methoden die al jaren worden gebruikt voor de hete deeltjes (zoals de MEM-methode) werken ook heel goed voor de koude protonen. Door deze technieken te combineren en de data te verbeteren, komen we dichter bij het begrijpen van de bouwstenen van ons universum.

Kortom: We hebben een raadsel dat niet op zichzelf opgelost kan worden. We moeten slimme wiskundige hulpmiddelen en ervaring uit andere gebieden gebruiken om de beste gok te doen op hoe de binnenkant van een proton eruitziet.

Technische samenvatting

Titel: Het aanpakken van inverse problemen voor PDF's uit Lattice QCD

Auteur: Alexander Rothkopf (Korea University)
Context: Presentatie voor de sessie "Recent developments in QCD" bij Baryons 2025.

---

1. Het Probleem: De Extractie van Deelverdelingsfuncties (PDF's)

De kern van dit paper ligt in de uitdaging om Parton Distribution Functions (PDF's) te extraheren uit simulaties van Lattice Quantum Chromodynamics (QCD).

• Definitie: PDF's beschrijven de waarschijnlijkheid om een deeltje (parton) met een bepaalde impulsfractie $x$ (Bjorken-x) binnen een hadron te vinden. Ze zijn essentieel voor het interpreteren van data van deeltjesversnellers zoals de LHC en de toekomstige Electron-Ion Collider.
• De Fundamentele Beperking: PDF's zijn gedefinieerd via lichtkegel-correlatiefuncties (real-time fysica). Lattice QCD-simulaties worden echter uitgevoerd in Euclidische tijd, wat betekent dat alleen ruimtelijk gescheiden correlaties toegankelijk zijn. Een directe berekening op de lichtkegel is dus onmogelijk.
• De Oplossing (Benadering): Men benadert de lichtkegel vanuit het ruimtelijke gebied via methoden zoals Quasi-PDF's en Pseudo-PDF's. Hierbij worden matrixelementen berekend bij grote impulsen en vervolgens via een inverse Fourier-transformatie omgezet naar de fysieke PDF.
• Het Inverse Probleem: Deze transformatie is een klassiek ill-posed inverse probleem. Omdat lattice-simulaties slechts een beperkt bereik aan Ioffe-tijd ($\nu$) kunnen bereiken (in plaats van het volledige Brillouin-gebied), wordt de discretiseringsmatrix slecht geconditioneerd.
  • Gevolg: Kleine statistische fouten in de invoergegevens worden exponentieel versterkt tijdens de inversie, wat leidt tot onbetrouwbare resultaten en niet-unieke oplossingen.

2. Methodologie

Het paper analyseert verschillende methoden om dit ill-posed probleem op te lossen door regularisatie toe te passen (het introduceren van a priori kennis).

A. Wiskundige Formulering

De relatie tussen het gemeten matrixelement $Q$ en de PDF $f(x)$ wordt beschreven als een convolutie:
$$Q(\nu) = \int dx K(x, \nu) f(x)$$
Waarbij $K$ de kernel is (bijv. een cosinusfunctie). Omdat de data $Q$ beperkt en ruisachtig is, moet men regularisatie gebruiken om een unieke oplossing te vinden.

B. Geëvalueerde Methoden

De auteur vergelijkt drie hoofdstrategieën:

1. Lineaire Methoden (Backus-Gilbert):

   • Zoekt een lineaire combinatie van de data om de PDF te reconstrueren.
   • Beperking: Kan geen goed gelokaliseerde piekstructuren oplossen en neigt tot kunstmatige gladmaking (smoothing). Vereist vaak "preconditioning" (een model-fit) om bruikbare resultaten te krijgen.

2. Bayesiaanse Methoden:

   • Gebruikt de stelling van Bayes: $P[f|Q] \propto P[Q|f] \cdot P[f]$.
   • Likelihood ($P[Q|f]$): Beschrijft hoe goed de reconstructie past bij de data (vaak een $\chi^2$-term).
   • Prior ($P[f]$): Reguleert de oplossing op basis van a priori kennis (bijv. positiviteit, gladheid).
   • Maximum Entropy Method (MEM): Gebruikt Shannon-Jaynes entropie als regulator. Neemt de neiging om kunstmatige correlaties te vermijden, wat leidt tot sterke gladmaking.
   • Bayesian Reconstruction (BR): Gebruikt een regulator die gericht is op gladheid van de functie (Gamma-verdeling). Kan gevoeliger zijn voor "ringing" (oscillaties) bij beperkte data.

3. Neurale Netwerken (NN):

   • Gebruikt NN's als een expressieve basis voor de PDF.
   • De regularisatie wordt ingebouwd in de trainingsfunctie (bijv. Tikhonov-regularisatie om grote gewichten te straffen). Dit kan worden gezien als een vorm van Bayesiaanse inferentie.

3. Belangrijkste Resultaten en Benchmarking

De auteur voert een benchmark uit met "mock" (nep) PDF's om de prestaties van de methoden te testen onder realistische omstandigheden (beperkt Ioffe-tijd bereik, $\nu_{max}=10$, en 12 datapunten).

• Backus-Gilbert (zonder preconditioning): Faalt om de scherpe structuren van de mock PDF's te reproduceren. De onzekerheidsbanden dekken de ware oplossing niet af.
• Backus-Gilbert (met preconditioning): Verbeterd door eerst een fenomeenologisch model te fiten en de reconstructie op de afwijkingen toe te passen. Werkt beter, maar faalt nog steeds in het kleine-$x$ gebied.
• Maximum Entropy Method (MEM):
  • Resultaat: Toont uitstekende overeenkomst met de ware PDF, zelfs bij weinig data.
  • Voordeel: De inherente gladmaking van MEM stabiliseert de reconstructie en voorkomt kunstmatige oscillaties (ringing).
• Bayesian Reconstruction (BR):
  • Resultaat: Werkt goed voor gladde PDF's (Model A), maar vertoont significante ringing-artefacten voor PDF's met scherpe randen of snelle dalingen (Model B).
  • Oorzaak: De combinatie van beperkt Ioffe-tijd bereik en de specifieke regulator van BR.
• Onzekerheidskwantificatie: Bayesiaanse methoden (MEM en BR) zijn superieur omdat ze expliciet zowel de statistische onzekerheid (via resampling/Jackknife) als de systematische onzekerheid (door variatie van het default model) kunnen kwantificeren.

4. Bijdragen en Significatie

• Brug tussen Communities: Het paper benadrukt de grote synergie tussen de gemeenschap die werkt aan PDF's ($T=0$) en die welke werkt aan spectrale functies van hadronen bij eindige temperatuur ($T>0$). Beide velden worstelen met hetzelfde type ill-posed inverse probleem.
• Validatie van Bestaande Methoden: Het toont aan dat methoden die decennialang zijn ontwikkeld voor spectrale functies (zoals MEM en BR), zeer effectief zijn voor de extractie van PDF's uit Lattice QCD-data.
• Richting voor de Toekomst:
  • De kwaliteit van de invoergegevens (matrixelementen) verbetert gestaag (bijv. gluon-PDF extracties).
  • De focus moet liggen op onzekerheidskwantificatie. Het is niet voldoende om alleen een PDF te presenteren; men moet de volledige foutenmarge (statistisch + regularisatie-afhankelijkheid) rapporteren.
  • Bayesiaanse benaderingen worden aanbevolen als de meest robuuste route, omdat ze de afhankelijkheid van de keuze van de prior transparant maken.

Conclusie:
De extractie van PDF's uit Lattice QCD is een ill-posed inverse probleem dat regularisatie vereist. Lineaire methoden zoals Backus-Gilbert hebben beperkingen, terwijl Bayesiaanse methoden (vooral MEM) bewezen hebben robuuste en betrouwbare reconstructies te kunnen leveren, zelfs met beperkte data. De ervaring uit het veld van spectrale functies is van onschatbare waarde voor de voortgang in de PDF-fysica.