Varying risk exposure in auto insurance: a weighted tweedie framework for experience rating an cancellation penalties

Dit artikel introduceert een nieuw gewogen Tweedie-model voor autoverzekeringen dat rekening houdt met tussentijdse opzeggingen door een op blootstelling gebaseerde boeteconstructie te gebruiken, waardoor verzekeraars grote verliezen kunnen compenseren en tegelijkertijd de actuarische coherentie behouden.

De kern

Titel: Waarom je autoverzekering niet altijd "pro rata" terugbetaalt: Een nieuwe manier om risico's te meten

Stel je voor dat je een autoverzekering afsluit voor een heel jaar. Je betaalt het volledige bedrag vooruit. Als je halverwege het jaar je auto verkoopt, krijg je volgens de oude regels vaak gewoon de helft van je geld terug. Alsof je een jaarabonnement op de sportschool hebt, maar als je na drie maanden stopt, krijg je 75% terug omdat je maar 25% hebt gebruikt.

Het probleem:
De auteurs van dit paper (Jean-Philippe, Raïssa en Julien) hebben ontdekt dat dit eerlijk klinkt, maar in de praktijk niet klopt. Ze keken naar data van een Canadese verzekeraar en zagen iets verrassends: mensen die halverwege het jaar stoppen met hun verzekering, zijn vaak veel risicovoller dan mensen die het hele jaar blijven.

Waarom?

1. Ongelukken: Mensen die een groot ongeluk hebben (bijvoorbeeld een totale diefstal of een total loss), moeten vaak een nieuwe auto kopen en een nieuwe verzekering sluiten. Ze stoppen dus hun oude contract.
2. De "vlucht": Mensen die weten dat ze een hoge premie gaan betalen omdat ze een claim hebben gemaakt, springen soms snel naar een concurrent om die hoge kosten te ontlopen.

Deze "stoppende" mensen kosten de verzekeraar dus veel meer geld dan de "blijvende" mensen. Maar omdat ze vaak maar een paar maanden verzekerd waren, betaalden ze volgens de oude regels te weinig. De verzekeraar verloor geld op hen, en de eerlijke mensen die het hele jaar bleven, moesten dat verlies compenseren.

De oplossing: Een slimme "boete" (of toeslag)
De auteurs stellen een nieuw systeem voor, gebaseerd op wiskunde (de Tweedie-verdeling), dat dit probleem oplost. In plaats van een simpele lineaire berekening, gebruiken ze een flexibele formule.

Hier is hoe het werkt, vertaald naar alledaagse taal:

1. De "Pizza-met-het-geheel" analogie

Stel je verzekering is een hele pizza.

• Oude methode: Als je na 3 maanden stopt, krijg je 3/12e van de pizza terug. Je betaalt dus voor 9/12e.
• Nieuwe methode: De verzekeraar zegt: "Wacht even. Mensen die na 3 maanden stoppen, hebben vaak al een grote pizza-eetpartij gehad (een groot ongeluk) of zijn bang voor de volgende. Zij kosten ons meer."
  Daarom wordt de "prijs per maand" niet gelijk verdeeld. De eerste maanden zijn duurder. Als je na 3 maanden stopt, heb je misschien al 60% van de totale prijs betaald, niet 25%.

2. De "Gewogen" berekening

In de wiskunde van dit paper gebruiken ze een trucje met "gewichten".

• Bij de oude methode telt elke dag van verzekering even zwaar mee.
• Bij de nieuwe methode telt een dag van verzekering zwaarder als de kans groot is dat de persoon stopt. Het is alsof je een weegschaal gebruikt die zwaarder wordt als je een risicovolle auto hebt.

3. De "Boete" voor het stoppen

Het paper introduceert een annuleringsboete. Dit klinkt streng, maar het is eigenlijk slim:

• Als je het hele jaar blijft, betaal je een lagere jaarpremie.
• Als je halverwege stopt, betaal je een extra toeslag (de boete).
• Het resultaat: De verzekeraar haalt het geld terug dat ze nodig hebben om de grote ongevallen te betalen. De "goede" klanten (die het hele jaar blijven) profiteren hiervan omdat hun jaarpremie daalt.

4. Waarom is dit niet gewoon "onredelijk"?

Je zou denken: "Dat is toch onrechtvaardig voor iemand die na 1 maand zijn auto verkoopt?"
De auteurs zeggen: "Nee, want de data laat zien dat mensen die stoppen, statistisch gezien meer schade veroorzaken."
Het is alsof een sportschool zegt: "Mensen die na 1 maand stoppen, zijn vaak mensen die een blessure hebben opgelopen of de fitness niet serieus nemen. Zij kosten ons meer administratie en risico. Daarom is het abonnement voor hen in de eerste maand duurder."

De belangrijkste conclusies in het kort:

• Mensen die stoppen, zijn risicovoller. Ze hebben vaker ongelukken of stoppen juist omdat ze bang zijn voor hoge kosten.
• De oude regels zijn te goedkoop voor deze groep. Ze betalen te weinig voor de schade die ze veroorzaken.
• De nieuwe methode is flexibeler. Hij past de prijs aan op basis van hoe lang je verzekerd bent, maar ook op basis van het risico dat je in die tijd loopt.
• Win-win: De verzekeraar verdient meer (en kan dus de premies voor iedereen verlagen), en de eerlijke klanten die het hele jaar blijven, betalen minder.

Kortom:
Dit paper stelt voor om te stoppen met het idee dat "tijd = geld" in een rechte lijn. In plaats daarvan gebruiken ze slimme wiskunde om te zeggen: "Als je stopt, heb je waarschijnlijk meer risico gelopen dan je denkt, dus je betaalt een eerlijkere prijs." Het is een manier om de verzekeraar te beschermen tegen de "slechte appels" die eruit springen, zodat de "goede appels" niet hoeven te betalen voor hun fouten.

Technische samenvatting

Probleemstelling

In de autoverzekering worden contracten doorgaans voor één jaar afgesloten. Hoewel de meeste wijzigingen bij verlenging plaatsvinden, zijn tussentijdse opzeggingen (annuleringen) vóór het einde van de looptijd een veelvoorkomend fenomeen. Traditionele prijsmodellen gaan er vaak van uit dat de verwachte schadekosten ($\mu$) lineair evenredig zijn met de blootstellingstijd ($t$), vaak uitgedrukt als $\mu = t \cdot \exp(x^\top \beta)$.

De auteurs identificeren echter twee kritieke tekortkomingen in deze traditionele aanpak:

1. Empirische afwijking: Data-analyse toont aan dat de relatie tussen blootstelling en schadekosten niet lineair is. Contracten die tussentijds worden opgezegd (type XO), vertonen een significante hogere claimfrequentie en -zwaarte dan contracten die de volledige looptijd volmaken (type XX).
2. Strategische onvolkomenheid: De traditionele "pro rata" terugbetaling bij opzegging houdt geen rekening met het feit dat opzeggingen vaak worden veroorzaakt door zware schadegevallen (bijv. diefstal of totale schade). Hierdoor betaalt de verzekeraar te veel terug aan risicovolle klanten die opzeggen, terwijl de kosten van de zware schade niet volledig worden gedekt door de opzegboete.

Het doel van het onderzoek is daarom om een flexibel raamwerk te ontwikkelen dat de blootstelling niet als een lineaire factor behandelt, maar als een niet-lineaire functie, en dat tussentijdse opzeggingen strategisch kan bestraffen om de verwachte kosten beter te dekken.

Methodologie

De auteurs stellen een nieuwe familie van Gewogen Tweedie-modellen voor die de volgende componenten integreren:

1. Flexibele Middelfunctie ($\gamma(t)$)
In plaats van de lineaire aanname $\mu = t \cdot \exp(x^\top \beta)$, wordt een flexibele structuur geïntroduceerd:
$$\mu = \gamma(t) \cdot \exp(x^\top \beta)$$
Hierbij is $\gamma(t)$ een gladde functie van de blootstelling $t$, geschat met behulp van Generalized Additive Models (GAMs) met spline-basisfuncties. Dit stelt het model in staat om de niet-lineaire relatie tussen blootstelling en verwachte schadekosten te vangen.

2. Gewichtsfuncties ($w$)
Binnen het Tweedie-raamwerk wordt de variabiliteit van de responsvariabele (schadekosten) bepaald door een gewichtparameter $w$. De auteurs vergelijken drie specifieke specificaties voor $w$ in combinatie met de flexibele $\gamma(t)$:

• Constant-Weight Model (CWM): $w = 1$ (veralgemening van de offset-aanpak).
• Gamma-Weight Model (GWM): $w = (\gamma(t)/\gamma(1))^{p-1}$ (veralgemening van de ratio-aanpak, waarbij het gewicht gekoppeld is aan de Poisson-component).
• Exposure-Weighted Model (EWM): $w = t^{p-1}$, maar met een flexibele middelfunctie $\gamma(t)$.

3. Opzegboete Structuur en Beperkingen
Om de modellen operationeel te maken, wordt een opzegboete $\rho(t)$ gedefinieerd als het verschil tussen de modelgebaseerde premie en de traditionele pro rata terugbetaling:
$$\rho(t) = \pi_{Flex}(\gamma(t) - t)$$
Om actuariële coherentie en gedragsneutraalheid te garanderen, worden twee constraints opgelegd aan de functie $\gamma(t)$:

• C1 (Monotonie): $\gamma(t)$ moet stijgend zijn in $t$ (de terugbetaling neemt af naarmate de contractduur toeneemt).
• C2 (Niet-negativiteit): De boete $\rho(t)$ moet niet-negatief zijn, zodat de premie voor een gedeeltelijke periode nooit lager is dan de traditionele pro rata premie.

4. Modelselectie en Validatie
De modellen worden vergeleken op basis van:

• Deviance: Een statistisch maatstaf voor modelfit.
• ABC (Area Between Curves): Afgeleid van concentratie- en Lorenz-curven om lokale balans te beoordelen.
• Murphy Diagrams: Gebaseerd op Bregman-dominantie om de voorspellende kwaliteit over een breed scala aan verliesfuncties te evalueren.

Kernresultaten

De analyse is uitgevoerd op een dataset van meer dan 2 miljoen autoverzekeringcontracten van een Canadese verzekeraar (Ontario).

1. Superieure Prestaties van Flexibele Modellen:
   De flexibele modellen (CWM, GWM, EWM) presteren significant beter dan de traditionele lineaire aanpak, zowel op de trainings- als de testset (lagere deviance). Het Exposure-Weighted Model (EWM) levert de beste statistische prestaties.

2. Niet-lineariteit van Blootstelling:
   De geschatte functie $\gamma(t)$ toont aan dat de relatie tussen blootstelling en schadekosten niet lineair is. Vooral bij korte looptijden is het risico per eenheid tijd hoger dan de lineaire aanname suggereert.

3. Effect van Beperkingen (Constraints):
   Wanneer de constraints C1 en C2 worden opgelegd om een realistische boete te garanderen, blijft het model robuust. De analyse toont aan dat het opleggen van een stijgende boete leidt tot een betere risicoselectie.

   • De opgelegde boete zorgt ervoor dat verzekeraars ongeveer 15% meer premie kunnen innen van klanten die tussentijds opzeggen (XO-groep) vergeleken met de traditionele methode.
   • Dit extra bedrag fungeert als een indirecte compensatie voor de zware schadegevallen die vaak leiden tot opzegging.

4. Concurrentievoordeel:
   Door de extra inkomsten uit de opzegboete te gebruiken, kan de verzekeraar de jaarpremie voor klanten die het contract volledig volmaken (XX-groep) verlagen. De simulaties tonen aan dat dit kan leiden tot premieverlagingen tot wel 25% voor bepaalde profielen, terwijl de totale dekking voor de verzekeraar behouden blijft. Dit creëert een concurrentievoordeel op de markt.

5. Risicoprofiel en BMS:
   Verdere analyse toont aan dat de boetestructuur verschilt per Bonus-Malus Systeem (BMS) niveau. Nieuwe klanten of die met recente claims (hoger risico) hebben een andere gevoeligheid voor opzegging dan veilige bestuurders. Het toepassen van groepspecifieke splines (gebaseerd op BMS) verbetert de voorspellende nauwkeurigheid verder.

Bijdragen en Significantie

De belangrijkste bijdragen van dit paper zijn:

• Theoretische Generalisatie: Het paper breekt met de traditionele aanname van lineaire evenredigheid tussen premie en blootstelling. Het introduceert een wiskundig onderbouwd raamwerk waarbij de blootstelling via een flexibele functie de verwachte kosten beïnvloedt.
• Actuariële Innovatie: Het koppelt de statistische modellering van schadekosten direct aan een strategische prijsstrategie voor tussentijdse opzeggingen. Dit lost het probleem op dat verzekeraars vaak te veel terugbetalen aan risicovolle klanten die opzeggen na een grote schade.
• Praktische Toepasbaarheid: Het paper biedt een concrete methode om "strafpremies" voor opzeggingen te modelleren die actuarieel coherent zijn (niet-negatief en monotoon) en die kunnen worden geoptimaliseerd via een gladheidsparameter ($a$).
• Commerciële Implicatie: Het toont aan dat een meer agressieve aanpak van tussentijdse opzeggingen niet alleen de winstgevendheid verbetert, maar ook de concurrentiepositie versterkt door lagere jaarpremies te kunnen bieden aan loyale klanten.

Conclusie:
De auteurs concluderen dat het gebruik van gewogen Tweedie-modellen met flexibele blootstellingsfuncties een krachtig instrument is om de complexiteit van tussentijdse opzeggingen in autoverzekeringen beter te modelleren. Dit leidt tot een eerlijkere risicodifferentiatie, een verbeterde financiële balans voor de verzekeraar en een aantrekkelijker aanbod voor de consument die een volledig jaar verzekering afsluit.