$p$-adic Linear Regression for Random Sampling with Digitwise Noise

Dit artikel stelt een nieuw probabilistisch algoritme voor voor $p$-adische lineaire regressie bij willekeurige steekproeven met cijfergewijze ruis, wat ook een nieuwe methode voor lineaire regressie modulo $p$ omvat.

De kern

De "P-adische" Liniaal: Hoe je een lijn tekent in een wiskundig spiegelbeeld

Stel je voor dat je een statistiekles volgt. Je hebt een hoop punten op een vel papier en je wilt een rechte lijn trekken die het beste door die punten gaat. In de echte wereld noemen we dit lineaire regressie. Meestal gebruiken we daarvoor de "kleinste kwadraten-methode": je zoekt de lijn waarbij de totale afstand van de punten tot de lijn zo klein mogelijk is.

Maar wat als je niet in de echte wereld leeft, maar in een vreemd, wiskundig universum genaamd $p$-adische getallen? Hier werken de regels anders. De "afstand" tussen twee getallen wordt niet bepaald door hoe ver ze uit elkaar liggen op een getallenlijn, maar door hoe veel ze gemeenschappelijke delers hebben.

Het probleem? De bekende methoden (zoals het minimaliseren van afstanden) werken hier niet. Het is alsof je probeert een auto te repareren met een hamer die alleen werkt als je hem met de kop slaat, maar in dit universum moet je hem met de steel slaan.

De oplossing van Mihara:
Tomoki Mihara heeft een nieuwe, slimme manier bedacht om deze lijnen te vinden, zelfs als je data "ruis" (fouten) bevat. Hij doet dit in twee stappen, alsof je een geheim ontcijfert, letter voor letter.

Stap 1: De "Modulo $p$" Regeling (Het Kiezen van de Goede Steekproef)

Stel je voor dat je een grote groep mensen hebt. Sommige mensen zeggen de waarheid, maar een klein percentage liegt (de "ruis"). Je wilt weten wat de echte mening is, maar je weet niet wie liegt.

In de echte wereld zou je misschien naar het gemiddelde kijken. Maar in de $p$-adische wereld werkt dat niet. In plaats daarvan gebruikt Mihara een loterij-strategie:

1. De Gok: Hij pakt willekeurig een klein groepje mensen (data-punten) en zegt: "Laten we aannemen dat deze groep de waarheid spreekt."
2. De Test: Hij kijkt of deze groep een logisch patroon vormt (een rechte lijn).
3. De Controle: Als het patroon klopt, kijkt hij of de rest van de mensen (de grote groep) hier ook bij past. Als de meeste mensen in de grote groep ook in dit patroon passen, dan was je gok goed! Als er te veel mensen buiten vallen, was het een slechte gok en probeert hij een ander groepje.

Dit is wat het papier Algorithm 6 noemt. Het is een slimme manier om de "ruis" te filteren door te gokken op een schone subset van de data en te checken of dat werkt. Het is als het zoeken naar de juiste sleutel in een bos van sleutels: je probeert er eentje, en als het slot opengaat en de rest van het huis past erbij, heb je de juiste.

Stap 2: De "Digit-voor-Digit" Oplossing (Het Bouwen van het Getal)

Nu we weten hoe we de lijn vinden in het simpele universum (modulo $p$, oftewel de "laatste cijfers" van de getallen), moeten we de volledige lijn vinden in het complexe universum.

Stel je voor dat je een geheim getal moet raden, maar je mag alleen één cijfer per keer raden.

• Eerst raden we het laatste cijfer (de eenheden).
• Dan gebruiken we dat antwoord om het tweede cijfer (de tientallen) te raden.
• Dan het derde, en zo verder.

Dit is wat Algorithm 8 doet. Het is een trapsgewijze aanpak:

1. De Laatste Cijfers: Hij gebruikt de methode uit Stap 1 om de lijn te vinden voor de getallen "modulo $p$". Dit geeft hem de laatste cijfers van zijn antwoord.
2. De Volgende Cijfers: Hij trekt dit antwoord af van de oorspronkelijke data en kijkt wat er overblijft. Dit "restant" is eigenlijk een nieuw probleem, maar dan één stap "dieper" in de getallen.
3. Herhaling: Hij herhaalt het proces. Elke keer lost hij een nieuw, iets kleiner probleem op om het volgende cijfer van zijn antwoord te vinden.

Het is alsof je een Russische pop (Matroesjka) opent. Je opent de buitenste laag (de laatste cijfers), en daar zit een kleinere pop in (de volgende cijfers), die je ook weer moet openen. Door dit te blijven doen, bouw je het volledige, precieze antwoord op, cijfer voor cijfer.

Waarom is dit belangrijk?

In de computerwetenschap en kunstmatige intelligentie (zoals neurale netwerken) worden deze $p$-adische getallen steeds belangrijker. Ze kunnen helpen bij het groeperen van data of het vinden van patronen die in de gewone wereld onzichtbaar zijn.

Het probleem was echter: hoe leer je een computer om een lijn te trekken in dit vreemde universum als de standaard methoden falen?

Mihara's paper geeft het antwoord: Gebruik geen zware wiskunde om afstanden te minimaliseren, maar gebruik slimme gokken en bouw je antwoord stap voor stap op.

Samenvatting in één zin

Het papier beschrijft een slim algoritme dat een rechte lijn tekent door eerst willekeurig te gokken welke data-punten betrouwbaar zijn (in een simpele versie van de getallen) en vervolgens die kennis te gebruiken om het antwoord stap voor stap, cijfer voor cijfer, op te bouwen tot een volledig en nauwkeurig resultaat.

Technische samenvatting

Titel: p-adic Lineaire Regressie voor Willekeurige Steekproeven met Cijfergewijze Ruis

Auteur: Tomoki Mihara
Onderwerp: Probabilistische algoritmen, p-adische getallen, lineaire regressie, optimalisatie.

---

1. Het Probleem

Het paper adresseert de uitdaging om lineaire regressie uit te voeren in de context van p-adische getallen ($\mathbb{Q}_p$ en $\mathbb{Z}_p$), specifiek wanneer de data onderhevig is aan ruis (fouten).

• Achtergrond: In de reële wereld ($\mathbb{R}$) is de methode van de kleinste kwadraten (least squares) de standaard voor lineaire regressie. Deze methode minimaliseert de som van de kwadraten van de fouten.
• De p-adische uitdaging: In de p-adische wereld werkt de methode van de kleinste kwadraten niet. Vanwege de niet-Archimedische eigenschap van p-adische getallen is het minimaliseren van de som van kwadraten niet equivalent aan het minimaliseren van de individuele fouttermen. Bovendien zijn differentiaalrekening en gradiëntgebaseerde methoden (zoals in machine learning gebruikelijk) vaak niet toepasbaar of nuttig, omdat verliesfuncties in p-adische ruimten lokaal constant kunnen zijn op bijna elk punt.
• Ruismodel: De auteurs beschouwen een scenario waarbij een subset van de steekproeven "ruisvrij" is (volgt de onderliggende lineaire relatie), terwijl een andere subset willekeurige ruis bevat. Het doel is om de onderliggende lineaire relatie (het affiene subruimte) te schatten ondanks deze ruis.

2. Methodologie

De auteurs stellen een nieuwe probabilistische algoritme voor dat gebaseerd is op een hiërarchische aanpak: van regressie modulo $p$ naar volledige p-adische regressie.

A. Basis: Lineaire Regressie Modulo $p$ (Hoofdstuk 2)

De kern van de methode is het oplossen van het regressieprobleem over het eindige veld $\mathbb{F}_p$ (integers modulo $p$).

• Detectie van ruisvrije loci: Het algoritme probeert een subset van de data ($I'$) te vinden die volledig op een affiene subruimte $V$ ligt.
• Probabilistische criterium: Als een subset $I'$ een ruisvrije locus is, dan zal de affiene huls $W$ van deze subset een deel zijn van de ware subruimte $V$. Het algoritme schat de kans dat $W \subset V$ door te kijken naar het aantal steekproeven dat voldoet aan de vergelijkingen gedefinieerd door $W$.
  • Als $W = V$, dan voldoet een groot deel van de data (ongeveer $1-r$) aan de vergelijking.
  • Als $W \neq V$, dan voldoet slechts een fractie ($p^{-k}$) van de data aan de vergelijking.
• Algoritmen:
  • Algorithm 1 & 2: Gebruiken een dynamische variant van Gauss-eliminatie om te controleren of een nieuwe steekproef consistent is met een bestaande lineaire vergelijking.
  • Algorithm 3: Detecteert of een subset $I'$ een ruisvrije locus is.
  • Algorithm 6: Een recursieve procedure die random subsets uitbreidt totdat een volledige basis van $D+1$ punten is gevonden die een ruisvrije lijn/vlak definieert.

B. Uitbreiding: Cijfergewijze Lineaire Regressie (Hoofdstuk 3)

Om de regressie over de volledige ring van p-adische integers $\mathbb{Z}_p$ uit te voeren, wordt de methode recursief toegepast op de cijfers (digits) van de getallen.

• Principe: Een p-adisch getal wordt voorgesteld als een rij cijfers $(a_0, a_1, a_2, \dots)$. Het algoritme schat eerst het laatste cijfer (modulo $p$), en gebruikt dit resultaat om de data te "corrigeren" en het volgende cijfer te schatten.
• Iteratief proces (Algorithm 8):
  1. Schatting van het laatste cijfer: Pas het modulo $p$ algoritme toe op de data gereduceerd modulo $p$ om de coëfficiënten $\vec{c} \pmod p$ te vinden.
  2. Data-transformatie: Bereken de residuen (fouten) en deel deze door $p$. Dit transformeert het probleem naar het schatten van het volgende cijfer van de coëfficiënten.
  3. Filtering: Houd alleen de steekproeven die consistent zijn met de tot nu toe geschatte cijfers (de "ruisvrije" subset wordt kleiner naarmate we dieper in de cijfers gaan).
  4. Herhaling: Herhaal dit proces $E$ keer om de eerste $E$ cijfers van de p-adische coëfficiënten te schatten.

3. Belangrijkste Bijdragen

1. Nieuw Probabilistisch Algoritme: De introductie van een efficiënt algoritme (Algorithm 8) voor p-adische lineaire regressie dat werkt onder mildere aannames over de steekproefverdeling dan eerdere methoden voor p-adische polynoomregressie.
2. Modulo $p$ Benadering: Het oplossen van het complexe p-adische optimalisatieprobleem door het te reduceren tot een reeks eenvoudige problemen over eindige velden ($\mathbb{F}_p$), waar combinatorische en probabilistische methoden effectief zijn.
3. Omzeiling van Gradiëntproblemen: De methode maakt geen gebruik van differentiatie of gradiënten, wat een fundamentele barrière is in p-adische optimalisatie. In plaats daarvan wordt gebruik gemaakt van de discrete structuur van de p-adische expansie.
4. Theoretische Onderbouwing: Het paper legt een link met het "Maximal Feasible Subsystem" probleem over eindige velden, wat aantoont dat het probleem APX-compleet is en dus heuristische algoritmen vereist.

4. Resultaten en Experimenten

De auteurs hebben het algoritme getest met verschillende parameters:

• Parameters: Verschillende waarden voor de dimensie $D$ (van 20 tot 100), de modulaire basis $p=7$, en ruiswahrscheinlijkheid $r$ (0.01 en 0.03).
• Prestaties:
  • Het algoritme slaagt er in de meeste gevallen in om de juiste coëfficiënten te vinden.
  • De tabellen in het paper tonen het aantal pogingen ($c_0$ en $c_1$) dat nodig is om een geldige subset te vinden.
  • Beperkingen: De prestaties verslechteren als de ruis $r$ groot is of de dimensie $D$ zeer hoog is. Bijvoorbeeld, bij $D=100$ en $r=0.1$ faalt het algoritme vaak binnen een redelijk aantal iteraties, wat aangeeft dat de verwachte aantal pogingen exponentieel groeit met de dimensie en ruis.
  • De methode werkt goed zolang de ruiswahrscheinlijkheid $r$ klein is ($r \ll 2^{-1}$) en de steekproeven willekeurig genoeg zijn.

5. Betekenis en Toekomstperspectief

• Wetenschappelijke Impact: Dit werk vult een gat in de literatuur over p-adische optimalisatie en regressie. Het biedt een praktische oplossing voor een probleem waar traditionele methoden (zoals least squares) falen.
• Toepassingen: De techniek is relevant voor:
  • p-adische Neurale Netwerken: Waar optimalisatie in p-adische ruimtes nodig is.
  • Klustering en Data-analyse: Gezien de toepassing van p-adische getallen in dendrogrammen en clustering.
  • Cryptografie en Getaltheorie: Waar p-adische structuren centraal staan.
• Conclusie: Hoewel het algoritme probabilistisch is en niet altijd garandeert dat het stopt of het juiste antwoord geeft (afhankelijk van de ruis en dimensie), biedt het een robuust kader voor het schatten van lineaire relaties in p-adische data, wat een belangrijke stap is in de ontwikkeling van p-adische machine learning en data science.