Level statistics of the disordered Haldane-Shastry model with $1/r^\alpha$ interaction

Dit onderzoek toont aan dat in het ongeordende Haldane-Shastry-model met $1/r^\alpha$-interacties enkelvoudige positiestoornis of willekeurige magnetische velden geen Poisson-statistiek opleveren, maar dat hun gecombineerde aanwezigheid leidt tot de verschijning van Poisson-statistiek en daarmee veeldeeltjeslokalisatie (MBL), waarbij de sterkte van de positiestoornis een cruciale rol speelt bij het breken van de $SU(2)$-symmetrie.

De kern

Stel je voor dat je een enorme, ingewikkelde danszaal hebt vol met dansers. In de wereld van de quantumfysica zijn deze dansers deeltjes (in dit geval kleine magnetische deeltjes, of "spins") en de muziek die ze volgen is de wet van de natuur (de interacties tussen hen).

De wetenschappers in dit paper, Vengatesan Ganapathy, Pranay Patil en Ajit C. Balram, hebben gekeken naar wat er gebeurt als je deze danszaal een beetje "verstoort". Ze wilden weten: Blijven de dansers in een chaotische, thermische dans (waar ze alles vergeten), of worden ze vastgepind op hun plek en vergeten ze nooit hoe de dans begon? Dit laatste fenomeen noemen ze Many-Body Localization (MBL).

Hier is de uitleg van hun ontdekkingen, vertaald naar alledaagse taal:

1. De Danszaal en de Muziek (Het Model)

Normaal gesproken hebben de dansers in dit experiment een heel specifieke muziek: ze houden van elkaar op een afstand die afneemt met de afstand. Als ze ver uit elkaar staan, is het contact nog steeds voelbaar, maar zwakker. Dit is het Haldane-Shastry model.

• De parameter $\alpha$: Dit is als het volume of het type muziek.
  • Bij een laag volume ($\alpha$ klein) horen ze elkaar allemaal even goed (lange afstand).
  • Bij een hoog volume ($\alpha$ groot) horen ze alleen hun directe buren (korte afstand).

2. De Storingen (Het Chaos)

Nu gooien de onderzoekers twee soorten "chaos" in de zaal om te zien of de dansers vastlopen:

1. Verstoorde stoelen (Positiedisorder): De stoelen waar de dansers op staan, worden een beetje verschoven. Ze staan niet meer perfect in een rij, maar een beetje willekeurig.
2. Willekeurige windstoten (Willekeurige magnetische velden): Er waait een onvoorspelbare wind door de zaal die de dansers probeert om te draaien.

3. Wat Vonden Ze? (De Resultaten)

Scenario A: Alleen verstoorde stoelen
Als je alleen de stoelen verschuift, gebeurt er iets vreemds. De dansers worden niet echt vastgepind. Ze blijven nog steeds een beetje "chaotisch" dansen, zelfs als de stoelen erg willekeurig staan. Het systeem weigert om volledig stil te vallen. De symmetrie van de dans (het feit dat ze allemaal op dezelfde manier kunnen draaien) houdt ze te losjes aan elkaar.

Scenario B: Alleen de willekeurige wind
Als je alleen de wind laat waaien, maar de stoelen perfect laat staan, gebeurt er ook niets. De dansers blijven in hun chaotische, thermische dans. De wind is niet sterk genoeg om ze allemaal tegelijk te bevriezen.

Scenario C: De Gouden Combinatie (De "Aha!"-moment)
Hier komt het spannende deel. Als je BEIDE dingen tegelijk doet (verstoord stoelen + willekeurige wind), dan gebeurt er iets magisch:

• De dansers worden plotseling vastgepind. Ze vergeten niet meer hoe de dans begon. Ze blijven in hun eigen hoekje hangen.
• Dit is het MBL-fenomeen: het systeem wordt "gevangen" in zijn eigen geschiedenis.

4. De Magische Formule ($\alpha \times \delta$)

De onderzoekers ontdekten een verrassende regel. Het maakt niet uit hoeveel je de stoelen verschuift ($\delta$) of hoe ver de interactie reikt ($\alpha$). Wat telt, is hun product.

• Stel je voor dat $\alpha$ de "stijfheid" van de dans is en $\delta$ de "ruis" in de zaal.
• Als je de ruis verhoogt, heb je minder stijfheid nodig om de dansers vast te pinnen.
• Als je de stijfheid verhoogt, heb je minder ruis nodig.
• Het is alsof er één enkele "knop" is die bepaalt of de zaal chaotisch blijft of vastloopt. Als je deze knop ($\alpha \times \delta$) op de juiste stand zet, krijg je precies hetzelfde resultaat, ongeacht hoe je de instellingen individueel hebt gedaan.

5. Waarom is dit belangrijk?

Vroeger dachten wetenschappers dat als je genoeg ruis toevoegt, alles wel vast zou lopen. Dit paper laat zien dat bij systemen met langeafstandsinteracties (waar de deeltjes elkaar "van ver" voelen), het veel lastiger is om ze te bevriezen. Je hebt een specifieke combinatie van storingen nodig.

Kortom:
Stel je voor dat je een groep vrienden probeert te laten stoppen met praten en te laten zwijgen.

• Als je ze alleen een beetje verplaatst (stoelen verschuiven), blijven ze praten.
• Als je ze alleen een beetje afleidt (wind), blijven ze praten.
• Maar als je ze beide doet (verplaatsen én afleiden), worden ze plotseling stil en kijken ze naar hun eigen schoenen. Ze zijn "gelocaliseerd".

De onderzoekers hebben bewezen dat in deze specifieke quantum-wereld, je die twee verstoringen allebei nodig hebt om die stilte (de lokale bevriezing) te bereiken, en ze hebben een simpele formule gevonden om te voorspellen wanneer dat gebeurt.

Technische samenvatting

Titel: Niveaustatistieken van het verstoord Haldane-Shastry-model met $1/r^\alpha$ interactie

Auteurs: Vengateshan Ganapathy, Pranay Patil en Ajit C. Balram
Datum: 17 april 2026

---

1. Probleemstelling en Context

Het begrijpen van hoe interactiebereik en verschillende soorten wanorde (disorder) de niveaustatistieken van veeldeeltjes-kwantumsystemen beïnvloeden, en hoe dit leidt tot het ontstaan van Many-Body Localization (MBL), is een uitdagend open vraagstuk.

• Ergodische fase: Volgt de Eigenstate Thermalization Hypothesis (ETH), waarbij niveaus elkaar afstoten (level repulsion) en statistieken vertonen die overeenkomen met Random Matrix Theory (RMT), zoals het Gaussian Orthogonal Ensemble (GOE).
• MBL-fase: Eigenstates zijn exponentieel gelokaliseerd, er is geen level repulsion, en de statistieken volgen een Poisson-verdeling.
• Het specifieke probleem: De Haldane-Shastry (HS) model is een integrabel model met lange-afstand interacties ($1/r^2$) en een hoge symmetrie (Yangian $Y(sl_2)$ en $SU(2)$). Dit leidt tot enorme ontaarding (degeneracy) in het spectrum, waardoor de niveaustatistieken afwijken van zowel RMT als Poisson. De vraag is of het introduceren van wanorde deze ontaarding opheft en of het systeem overgaat naar een MBL-fase, en welke rol het bereik van de interactie ($\alpha$) hierin speelt.

2. Methodologie

De auteurs bestuderen een variant van het spin-1/2 Haldane-Shastry-model met interacties die afhangen van de afstand $r$ als $1/r^\alpha$, waarbij $\alpha \geq 0$ het bereik van de interactie controleert.

• Hamiltoniaan:
  • Schoon systeem: $H_0$ met all-to-all interacties op een eenheidscirkel.
  • Positiewanorde ($\delta$): Spins worden willekeurig verplaatst van hun roosterposities, wat de interactiestraken randomiseert.
  • Magnetische veldwanorde ($h$): Een longitudinaal willekeurig magnetisch veld wordt toegevoegd, wat de $SU(2)$-symmetrie breekt tot $U(1)$.
  • Gecombineerd: $H = H_\delta + H_h$.
• Numerieke Techniek:
  • Exacte Diagonalisatie (ED): Gebruikt voor systemen tot $N=22$ (schoon) en $N=16$ (verstoord).
  • Symmetrie-resolutie: Analyse in sectoren met totale magnetisatie ($m$) en pseudo-impuls ($k$).
  • Statistische Maatstaf: Berekening van de gemiddelde verhouding van opeenvolgende energiekloven, $\langle \tilde{r} \rangle$.
    • $\langle \tilde{r} \rangle \approx 0.536$ (GOE/chaotisch).
    • $\langle \tilde{r} \rangle \approx 0.386$ (Poisson/gelokaliseerd).
  • Thermodynamische limiet: Extrapolatie naar $N \to \infty$ via schaalvergroting ($1/N$).

3. Belangrijkste Resultaten

A. Schoon Systeem (Geen wanorde)

• Er is een overgang van GOE-statistieken (voor $\alpha < 1$, lange-afstand) naar Poisson-achtige statistieken (voor $\alpha > 1$, korte-afstand).
• Anomalieën bij $\alpha=0$ en $\alpha=2$:
  • Bij $\alpha=0$ (all-to-all) en $\alpha=2$ (standaard HS-model) vertoont het spectrum enorme ontaarding door symmetrieën.
  • Zelfs na het verwijderen van ontaarde niveaus (alleen unieke energieën behoudend), vertonen deze punten afwijkende statistieken die niet overeenkomen met de Berry-Tabor-conjectuur of standaard RMT-ensembles. Dit suggereert een fundamenteel andersoortige integrabiliteit.

B. Alleen Positiewanorde ($\delta > 0, h=0$)

• De $SU(2)$-symmetrie blijft behouden.
• Het systeem vertoont geen overgang naar Poisson-statistieken, zelfs niet bij sterke wanorde. De waarden van $\langle \tilde{r} \rangle$ satureren rond 0.399 (iets hoger dan de Poisson-limiet).
• Conclusie: De $SU(2)$-symmetrie is incompatibel met de vorming van een conventionele MBL-fase die voldoet aan de area-law voor entanglement. Het systeem lokaliseert niet puur door positiewanorde.

C. Alleen Magnetische Veldwanorde ($\delta=0, h > 0$)

• De $SU(2)$-symmetrie wordt gebroken tot $U(1)$.
• Voor $h/J_{NN} < 1$ blijft het systeem ergodisch (GOE-statistieken).
• Voor $h/J_{NN} \gtrsim 1$ (sterk veld) verschuiven de statistieken naar Poisson, wat wijst op Anderson-localisatie (enkeldeeltjes).
• Opmerkelijk: Ondanks het breken van de tijdreversie-symmetrie door het veld, blijft de statistiek GOE-type vanwege een "onconventionele" tijdreversie-symmetrie ($e^{i\pi S_x}T_0$).

D. Gecombineerde Wanorde (Positie + Magnetisch Veld)

• Dit is het cruciale scenario voor MBL.
• Wanneer zowel positiewanorde ($\delta$) als magnetische veldwanorde ($h$) aanwezig zijn (en $h/J_{NN} < 1$), treedt er een duidelijke overgang op van GOE naar Poisson-statistieken naarmate $\alpha$ toeneemt.
• Schaalvergelijking (Scaling Collapse): De overgangspunt $\alpha$ waar $\langle \tilde{r} \rangle$ afwijkt van GOE, is omgekeerd evenredig met de sterkte van de positiewanorde $\delta$.
• De auteurs introduceren een effectieve parameter $\alpha\delta$. Als $\langle \tilde{r} \rangle$ wordt uitgezet tegen $\alpha\delta$, collapseert de data voor verschillende $\delta$ en $N$ ongeveer op één universele curve.
• Interpretatie: Positiewanorde speelt een sleutelrol in het lokaliseren van het systeem, maar alleen nadat de $SU(2)$-symmetrie door het magnetische veld is gebroken.

4. Belangrijkste Bijdragen

1. MBL in Lange-afstand Systemen: Het paper toont aan dat in lange-afstand interactie systemen (HS-model), noch puur positiewanorde noch puur magnetische veldwanorde voldoende is om MBL te induceren. Beide moeten aanwezig zijn.
2. Rol van Symmetrie: Het bevestigt dat de $SU(2)$-symmetrie een barrière vormt voor MBL. Het breken hiervan is noodzakelijk, maar niet voldoende; de interactiebereik ($\alpha$) en de sterkte van de positiewanorde ($\delta$) bepalen de overgang.
3. Nieuwe Schaalparameter: De identificatie van de gecombineerde parameter $\alpha\delta$ als de drijvende kracht voor de overgang van ergodisch naar gelokaliseerd in dit specifieke model.
4. Anomalieën bij Integrabele Punten: Gedetailleerde analyse van de afwijkende statistieken bij $\alpha=0$ en $\alpha=2$, zelfs na correctie voor ontaarding, wat suggereert dat deze punten buiten het standaard RMT-kader vallen.

5. Significance en Toekomstperspectief

De studie biedt een dieper inzicht in de voorwaarden waaronder Many-Body Localization optreedt in systemen met lange-afstand interacties, een gebied dat minder goed begrepen is dan kortafstands systemen. De bevinding dat symmetriebreking essentieel is, maar dat de combinatie van wanordetypes de lokale integrals of motion (LIOMs) kan stabiliseren, is fundamenteel voor de theorie van niet-ergodische fases.

Toekomstig werk zou zich moeten richten op:

• Het bestuderen van entanglement entropy en dynamische eigenschappen om de MBL-fase verder te karakteriseren.
• Het uitbreiden van het onderzoek naar hogere spins ($S > 1/2$), waar het $\alpha \to \infty$ punt niet langer integrabel is.
• Het analyseren van het Inozemtsev-model, dat een continue interpolatie biedt tussen HS en XXX modellen.

Conclusie: Het paper demonstreert dat in het regime waar spin-spin interacties domineren, de emergentie van MBL in het Haldane-Shastry-model een subtiel evenwicht vereist tussen het breken van symmetrieën en de combinatie van verschillende wanordetypes, gekarakteriseerd door de schaalparameter $\alpha\delta$.