Next-to-leading order QCD and relativistic corrections to $Z \to J/\psi+\Upsilon(nS)$

In dit artikel berekenen de auteurs de vervalbreedtes en vertakkingsverhoudingen voor $Z \to J/\psi+\Upsilon(nS)$ bij toekomstige super $Z$-factoren, waarbij wordt vastgesteld dat zowel relativistische als QCD-correlaties van de volgende-to-leiding orde groot en negatief zijn, wat leidt tot een aanzienlijke reductie van de resultaten ten opzichte van de leidende orde en het essentieel maakt deze correcties te includeren voor betrouwbare schattingen.

De kern

Deel 1: De "Super-Deeltjesmachine" en de Zeldzame Dans

Stel je voor dat je een gigantische, superkrachtige danszaal hebt waar miljarden deeltjes tegen elkaar botsen. In deze zaal is er een speciale, zware gast genaamd de Z-boson. Deze gast is een beetje als een zware, onstabiele danser die na een korte dans (een fractie van een seconde) uit elkaar valt in andere, lichtere deeltjes.

De wetenschappers in dit artikel kijken naar een heel specifieke, bijna onmogelijke dansstijl: wat gebeurt er als de Z-boson uit elkaar valt in twee zware, gebonden paren?

1. Een paar genaamd J/ψ (gemaakt van twee 'charme'-deeltjes).
2. Een paar genaamd Υ (gemaakt van twee 'bodem'-deeltjes).

Het is alsof je een zware koffer (de Z-boson) opent en er springen precies twee zware, gekoppelde koffers uit: één met rode ballen en één met blauwe ballen. Dit gebeurt extreem zelden. Het is als het winnen van de loterij, maar dan met de allerzeldzaamste prijs.

Deel 2: De Rekenfouten die we hebben gecorrigeerd

Voorheen hadden wetenschappers een ruwe schatting gemaakt van hoe vaak deze dans zou plaatsvinden. Ze gebruikten een simpele formule (de "eerste orde" berekening). Maar net zoals een simpele schets van een gebouw niet rekening houdt met de windkracht of de zwaartekracht, was deze simpele formule niet nauwkeurig genoeg.

De auteurs van dit artikel hebben twee belangrijke dingen toegevoegd aan hun berekening om het "echte" antwoord te krijgen:

1. De QCD-correliatie (De "Kleefkracht"):
   De deeltjes in deze dans worden bij elkaar gehouden door de "sterke kernkracht" (QCD). De auteurs hebben gekeken naar hoe deze kracht precies werkt op een heel klein niveau. Ze ontdekten dat deze kracht de kans op deze dans verkleint. Het is alsof je dacht dat twee dansers makkelijk samenkomen, maar er blijkt een sterke wind te zijn die ze uit elkaar duwt.

2. De Relativistische Correctie (De "Snelheidsfactor"):
   De deeltjes bewegen niet stil; ze dansen razendsnel. De simpele formule negeerde dit. De auteurs hebben berekend wat er gebeurt als je rekening houdt met deze hoge snelheden. Ook dit bleek de kans op de dans te verkleinen.

Het Resultaat: Een Grote Verassing

Toen ze allebei deze correcties samenpakten, gebeurde er iets verrassends:

• De oude, simpele berekening zei: "Dit gebeurt vaak."
• De nieuwe, precieze berekening zei: "Nee, dit gebeurt veel minder vaak dan we dachten."

De twee correcties werken samen als een dubbele rem. Ze trekken het getal flink naar beneden. Zonder deze correcties zou je denken dat je dit fenomeen makkelijk kunt zien in een experiment, maar in werkelijkheid is het veel zeldzamer.

Deel 3: Waarom is dit belangrijk voor de toekomst?

Je zou kunnen denken: "Als het zo zeldzaam is, waarom doen we het dan?"
Het antwoord ligt in de toekomst. Er worden enorme nieuwe deeltjesaccelerators gebouwd (zoals de CEPC of FCC-ee). Deze machines zullen miljarden Z-bosons produceren.

• De Analogie: Stel je voor dat je een munt gooit. Als je 10 keer gooit, zie je misschien geen enkele keer "kop". Maar als je 10 miljard keer gooit, zie je het wel.
• Dankzij de nieuwe, precieze berekening weten de wetenschappers nu precies hoeveel "koppen" ze moeten verwachten. Ze zeggen: "Bij de nieuwe machines zullen we ongeveer 70 van deze zeldzame dansen zien."

Conclusie

Kortom, deze paper is als het maken van een super-nauwkeurige voorspelling voor een heel zeldzaam fenomeen.

• Ze hebben laten zien dat eerdere schattingen te optimistisch waren.
• Ze hebben de "rekenregels" aangescherpt met twee belangrijke correcties (kracht en snelheid).
• Ze geven nu een betrouwbaar kompas voor de toekomstige super-machines: "Kijk hier, hier en hier, en je zult deze zeldzame dansen vinden."

Dit helpt de experimentatoren om hun zoektocht te plannen en te weten wat ze kunnen verwachten als ze de deuren van de toekomstige deeltjeslabo's openen.

Technische samenvatting

Titel: Next-to-leading order QCD en relativistische correcties voor $Z \to J/\psi + \Upsilon(nS)$

Auteurs: Guang-Yu Wang, Xu-Chang Zheng en Guang-Zhi Xu.

---

1. Het Probleem en de Context

De Z-boson, een fundamenteel elektroweak deeltje in het Standaardmodel, biedt een strikte testomgeving voor perturbatieve QCD (pQCD) en niet-perturbatieve dynamica van zware quarks. Hoewel er reeds theoretische studies en experimentele grenswaarden bestaan voor Z-boson verval naar same-flavor quarkoniumparen (zoals $Z \to J/\psi + J/\psi$ of $Z \to \Upsilon + \Upsilon$), ontbreekt er een volledige theoretische behandeling voor het gemengde smaak-kanaal $Z \to J/\psi + \Upsilon(nS)$ (waarbij $n = 1, 2, 3$).

Dit specifieke kanaal is ideaal omdat het de productie van twee verschillende zware quarkoniumtoestanden ($c\bar{c}$ en $b\bar{b}$) in één exclusief proces combineert, wat een schone test van zware quarkoniumdynamica over verschillende energieschalen mogelijk maakt. Met de komst van toekomstige super Z-fabrieken (zoals CEPC, FCC-ee en een Super Z-fabriek) die enorme aantallen Z-bosons zullen produceren, is een nauwkeurige voorspelling van de vervalsnelheden en vertakkingsverhoudingen voor dit zeldzame kanaal essentieel om deze processen experimenteel te kunnen detecteren.

2. Methodologie

De auteurs berekenen de vervalsbreedtes en vertakkingsverhoudingen binnen het kader van Niet-relativistische QCD (NRQCD). De berekening omvat correcties tot de volgende orde:

• Leading Order (LO): De basisbijdrage.
• Next-to-Leading Order (NLO) QCD: Correcties van orde $O(\alpha_s)$.
• Relativistische correcties: Correcties van orde $O(v^2)$, waarbij $v$ de relatieve snelheid van de zware quarks is.

Technische details van de berekening:

• Factorisatieformalisme: De vervalsamplitude wordt uitgedrukt als een product van perturbatief berekenbare korte-afstandscorrecties (SDC's) en universele niet-perturbatieve lange-afstandsmatrixelementen (LDME's).
• Feynman-diagrammen: De berekening omvat 4 boomdiagrammen en 21 one-loop diagrammen voor het proces $Z \to Q_1\bar{Q}_1[^3S_1^{(1)}] + Q_2\bar{Q}_2[^3S_1^{(1)}]$.
• Regularisatie en Renormalisatie:
  • Dimensionale regularisatie ($D = 4 - 2\epsilon$) wordt gebruikt voor UV- en IR-divergenties.
  • On-shell renormalisatiecondities worden toegepast voor de zware quarkvelden en massa's.
  • Voor de $\gamma_5$-matrix wordt de Larin-prescriptie gebruikt om de axiale stroom Ward-identiteit te herstellen.
• Rekensoftware: FeynArts (diagramgeneratie), FeynCalc (sporen van Dirac en kleur), Apart (partiële breuken), FIRE (reductie van integraal tot master-integrals) en LoopTools (numerieke evaluatie).
• Expansie: De amplitude wordt ontwikkeld in een Taylorreeks rond de relatieve impuls $q=0$ tot op orde $O(v^2)$, gevolgd door een hoekgemiddelde over de richtingen van de relatieve impuls.

3. Belangrijkste Bijdragen

• Eerste volledige berekening: Dit is de eerste studie die zowel NLO QCD-correcties als relativistische correcties combineert voor het gemengde kanaal $Z \to J/\psi + \Upsilon(nS)$.
• Kwantificering van correcties: De auteurs tonen aan dat zowel de QCD-correcties als de relativistische correcties groot en negatief zijn.
• Nieuwe benchmark: De resultaten bieden een nieuwe theoretische benchmark voor toekomstige experimentele zoektochten bij hoge-luminositeit $e^+e^-$-colliders.

4. Resultaten

De berekende vervalsbreedtes ($\Gamma$) en vertakkingsverhoudingen ($Br$) tonen een significante onderdrukking ten opzichte van de LO-resultaten:

• Invloed van correcties:

  • De LO-vervalsbreedtes liggen in de orde van $0.1 - 0.3$ eV.
  • De NLO QCD-correcties ($O(\alpha_s)$) zijn sterk negatief (bijvoorbeeld ca. -50% van de LO-bijdrage bij de centrale schaal $\mu_R = m_Z/2$).
  • De relativistische correcties ($O(v^2)$) zijn eveneens negatief en dragen ongeveer -38% tot -43% bij aan de LO-bijdrage.
  • Door deze grote negatieve correcties worden de totale vervalsbreedtes drastisch gereduceerd.

• Voorspelde waarden (bij centrale schaal $\mu_R = m_Z/2$):

  • $\Gamma(Z \to J/\psi + \Upsilon(1S)) \approx 35.77 \times 10^{-3}$ eV
  • $\Gamma(Z \to J/\psi + \Upsilon(2S)) \approx 14.52 \times 10^{-3}$ eV
  • $\Gamma(Z \to J/\psi + \Upsilon(3S)) \approx 9.14 \times 10^{-3}$ eV

• Vertakkingsverhoudingen (met theoretische onzekerheden):

  • $Br(Z \to J/\psi + \Upsilon(1S)) = 14.33^{+15.46}_{-14.33} \times 10^{-12}$
  • $Br(Z \to J/\psi + \Upsilon(2S)) = 5.82^{+8.03}_{-5.82} \times 10^{-12}$
  • $Br(Z \to J/\psi + \Upsilon(3S)) = 3.66^{+6.38}_{-3.66} \times 10^{-12}$

• Onzekerheidsanalyse: De grootste onzekerheid komt voort uit de keuze van de renormalisatieschaal ($\mu_R$), gevolgd door de massa's van de zware quarks en de LDME's. De totale theoretische onzekerheid is aanzienlijk, wat de noodzaak onderstreept van hogere-orde berekeningen voor betrouwbare voorspellingen.

5. Betekenis en Conclusie

De studie concludeert dat het negeren van hogere-orde correcties zou leiden tot een sterk overschatting van de vervalsnelheden. De grote onderdrukking door NLO QCD en relativistische correcties verklaart waarom deze zeldzame vervalmodi tot nu toe experimenteel niet zijn waargenomen.

Desondanks, gezien de enorme productiecapaciteit van toekomstige faciliteiten zoals de FCC-ee (die naar verwachting $\sim 5 \times 10^{12}$ Z-bosons zal produceren), zijn deze kanalen niet langer onbereikbaar. De auteurs schatten dat er bij de FCC-ee ongeveer 70 gebeurtenissen voor het kanaal $Z \to J/\psi + \Upsilon(1S)$ kunnen worden gegenereerd. Dit maakt het mogelijk om deze zeldzame decays in de toekomst experimenteel te detecteren, wat een cruciale test zal zijn voor de NRQCD-factorisatie en de dynamica van zware quarkonia.