Topological Data Analysis combined with Machine Learning for Predicting Permeability of Porous Media

Technische Samenvatting: Topologische Data-analyse gecombineerd met Machine Learning voor het Voorspellen van Permeabiliteit van Poreuze Media

Probleemstelling
Het voorspellen van de permeabiliteit van poreuze media is een kritieke uitdaging op gebieden variërend van grondwaterfiltratie tot oliewinning. Traditionele methoden vertrouwen op laboratoriumexperimenten of het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen (PDV's) via numerieke simulaties (bijvoorbeeld met behulp van de Stokes-vergelijkingen). Hoewel deze PDV-gebaseerde simulaties nauwkeurig zijn, zijn ze rekenkundig intensief, vereisen ze fijnmazige netten en aanzienlijke verwerkingstijd, met name voor grote of structureel complexe monsters. De auteurs stellen dat de toenemende beschikbaarheid van gedigitaliseerde representaties van poreuze media dit probleem goed geschikt maakt voor datagedreven benaderingen, specifiek Machine Learning (ML), om de rekenkosten van directe simulatie te omzeilen terwijl de voorspellende nauwkeurigheid behouden blijft.

Methodologie
De studie stelt een workflow op om een ML-model te trainen voor het voorspellen van permeabiliteit met behulp van geometrische, topologische en op netwerken gebaseerde beschrijvers afgeleid van synthetische poreuze structuren.

1. Datageneratie:

   • De auteurs genereerden 1.000 synthetische 3D-poreuze structuren met behulp van de Porous Microstructure Analysis (PuMA)-software.
   • Deze structuren bestaan uit willekeurig verdeelde vaste bollen (diameters 5–15 voxels) binnen een domein van $50 \times 50 \times 50$ voxels, met als doel een porositeit van 0,5.
   • Ground Truth: De permeabiliteit voor elke structuur werd direct berekend met behulp van de ingebouwde mogelijkheden van PuMA door de Stokes-vergelijkingen op te lossen en de diagonale componenten van de permeabiliteitstensor te middelen.

2. Feature-extractie:
   De auteurs extraheren drie categorieën van features om als invoervariabelen voor het ML-model te dienen:

   • Structurele Features: Meetbare kenmerken van de geometrie van de holle ruimte, waaronder boldiameters, diffusiviteit van de holle ruimte, specifieke oppervlakte en tortuositeit. Deze werden berekend met behulp van de ingebouwde functies van PuMA.
   • Topologische Features: Afgeleid met behulp van Topological Data Analysis (TDA), specifiek Persistent Homology (PH). Twee methoden werden toegepast:
     • Alpha Complex-benadering: Een puntwolk werd gemaakt door holle pixels te subsamplen. $\alpha$-complexen werden geconstrueerd en Persistentie-diagrammen (PD's) werden gegenereerd om de geboorte en dood van verbonden componenten (dimensie-0) en lussen (dimensie-1) bij te houden.
     • Euclidische Afstandstransformatie (EDT)-benadering: De gewone Euclidische afstand van elke holle pixel tot de dichtstbijzijnde vaste grens werd berekend. Superlevel-filtratie werd toegepast op deze waarden om PD's te genereren.
     • Scalar Conversie: De PD's werden geaggregeerd tot scalar features, specifiek Total Persistence (TP), wat de levensduren (dood minus geboorte) van alle topologische features optelt.
   • Netwerk-features: De poreuze structuren werden vereenvoudigd tot porienetwerken met behulp van het SNOW2-algoritme (geïmplementeerd in PoreSpy). Dit algoritme identificeert holle centra (knopen) en verbindende halsjes (randen). Beschrijvers omvatten netwerkconnectiviteit (gesloten triaden, paden van lengte twee, aantal randen) en netwerkaustralingsmetrieken (lengte van randen, afstanden tussen buren, centraliteit van nabijheid).

3. Machine Learning-model:

   • Een feedforward-neuraal netwerk werd geïmplementeerd met TensorFlow.
   • Architectuur: Eén invoerlaag, drie dichte verborgen lagen (elk 128 knopen) en één outputlaag, in totaal ongeveer 50.000 parameters.
   • Training: De dataset werd opgesplitst in 700 trainings-, 150 validatie- en 150 testmonsters. Het model werd getraind voor 1.000 epochs met de Adam-optimizer en Mean Squared Error (MSE)-verlies. De Rectified Linear Unit (ReLU)-activeringsfunctie werd gebruikt om nonlineariteit in te voeren.
   • Doel: Het voorspellen van de logaritmische permeabiliteit ($\log_{10} k$) op basis van de geëxtraheerde feature-vectoren.

Belangrijkste Resultaten
De studie evalueerde de prestaties van het model met behulp van de Mean Absolute Percentage Error (MAPE) en de rekentijd voor verschillende feature-sets:

• Nauwkeurigheid:

  • Het gebruik van alle beschrijvers (structureel, topologisch en op netwerken gebaseerd) leverde een MAPE van 4,70% op.
  • Alleen structurele features bereikten een MAPE van 4,75%.
  • Topologische features (Total Persistence) bereikten een MAPE van 4,72% (voor $\alpha$-complex) en 6,31% (voor EDT).
  • Alleen netwerkconnectiviteitsfeatures resulteerden in een MAPE van 6,78%, terwijl netwerkaustralingsfeatures slecht presteerden met een MAPE van 11,60%.
  • De resultaten geven aan dat topologische en structurele features bijna optimale voorspellende kracht bieden, terwijl netwerkaustralingsmetrieken weinig bruikbare informatie bijdragen.

• Rekenefficiëntie:

  • Ground Truth-berekening: Het berekenen van de permeabiliteit voor 1.000 structuren via PuMA duurde 92.480 seconden.
  • ML-voorspelling: Eenmaal getraind, voorspelde het neurale netwerk de permeabiliteit voor 1.000 structuren in 4,7 seconden (met alle features).
  • Feature-extractie: Structurele feature-extractie duurde het langst (18.040 seconden), terwijl netwerk-feature-extractie het snelst was (820 seconden). Topologische feature-extractie (EDT) was opmerkelijk efficiënt met 312 seconden.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt dat Topological Data Analysis (TDA) een nuttige set van features biedt die, wanneer gecombineerd met ML, betekenisvolle resultaten opleveren voor permeabiliteitsvoorspelling. Specifiek:

• Validatie van TDA: De studie demonstreert dat persistentie-homologiemetingen geldige voorspellers van permeabiliteit zijn, met prestaties vergelijkbaar met traditionele structurele beschrijvers.
• Trade-off tussen Efficiëntie en Nauwkeurigheid: Hoewel structurele features de beste balans tussen fout en extractietijd bieden, bieden topologische features (met name via EDT) een "middenweg", waarbij nauwkeurige voorspellingen worden geleverd met aanzienlijk lagere rekenkosten dan volledige structurele analyse of directe simulatie.
• Onderwijsnut: De auteurs benadrukken dat het werk deze technieken op een toegankelijke manier presenteert met behulp van goed gedocumenteerde software, met als doel te dienen als bron voor docenten en onderzoekers die studenten introduceren in ML en TDA in de materiaalkunde.
• Beperkte Omvang: De auteurs merken op dat de huidige studie beperkt is tot synthetische data ($50 \times 50 \times 50$-domeinen) en dat de netwerkvereenvoudiging (SNOW2) enige verlies aan nauwkeurigheid met zich meebrengt. Zij suggereren dat, hoewel de huidige resultaten veelbelovend zijn, toekomstig werk grotere domeinen en experimentele datasets moet verkennen om statistische homogeniteit en generaliseerbaarheid te bevestigen.

Het artikel concludeert dat ML-modellen getraind op deze beschrijvers een zeer efficiënt alternatief bieden voor traditionele op simulatie gebaseerde methoden, wat de rekenkosten drastisch verlaagt terwijl betrouwbare permeabiliteitsschattingen worden geleverd.