{\alpha}-Fair Insurance Pricing: A Fairness Continuum

Technische Samenvatting: $\alpha$-Fair Verzekeringsprijsstelling

Probleemstelling
Verzekeringsprijsstelling staat voor een fundamentele spanning tussen twee concurrerende opvattingen van rechtvaardigheid: actuariële rechtvaardigheid en solidariteitsrechtvaardigheid. Actuariële rechtvaardigheid dicteert dat premies de individuele verwachte verliezen moeten weerspiegelen, wat vaak wordt bereikt door fijnmazige risicoclassificatie. Solidariteitsrechtvaardigheid benadrukt daarentegen sociale pooling, waarbij risico's over groepen worden gedeeld om betaalbaarheid en toegang te waarborgen, wat vaak kruisgesubsidieerdheid vereist.

In moderne, datagestuurde omgevingen maakt de beschikbaarheid van fijnmazige gegevens een steeds nauwkeurigere risicodifferentiatie mogelijk, wat de verschillen in premies kan vergroten en zorgen over betaalbaarheid en sociale uitsluiting kan aanwakkeren. Tegelijkertijd beperken regelgevers (bijv. de EU-genderrichtlijn, Colorado SB 21-169) steeds vaker het gebruik van gevoelige attributen (zoals geslacht, ras of sociaaleconomische proxies) in de prijsstelling. Bestaande literatuur behandelt deze concepten vaak als binair of richt zich op voorspellende rechtvaardigheid in machine learning (bijv. demografische pariteit), waarbij het niet faalt om de specifieke economische allocatie van financiële lasten in de verzekeringssector of de cruciale operationele vereiste van solvabiliteit (het waarborgen dat premies de verwachte verliezen dekken) te adresseren.

Methodologie
De auteurs stellen het $\alpha$-Fair Individual Solvent Premium ($\alpha$-FISP) framework voor, dat verzekeringsprijsstelling modelleert als een geoptimaliseerd probleem onder restricties.

1. Definities en Metrieken:

   • Actuarieel Rechtvaardige Premie ($\mu(X, D)$): Het verwachte verlies $E[Y|X, D]$, waarbij volledig wordt gedifferentieerd naar niet-gevoelige ($X$) en gevoelige ($D$) attributen.
   • Solidariteitsrechtvaardige Premie ($\mu(X)$): Het verwachte verlies $E[Y|X]$, waarbij risico's binnen een niet-gevoelige risicocategorie worden gepoold.
   • $\alpha$-Rechtvaardigheid: Een prijsfunctie $f$ is $\alpha$-rechtvaardig als, voor twee individuen met identieke niet-gevoelige attributen ($x = x'$), de ratio van hun premies ten minste $\alpha$ is (waarbij $\alpha \in [0, 1]$). Specifiek: $\min(f(x, d)/f(x, d'), f(x, d')/f(x, d)) \geq \alpha$.
     • $\alpha = 0$: Zuivere actuariële rechtvaardigheid (volledige differentiatie).
     • $\alpha = 1$: Zuivere solidariteitsrechtvaardigheid (uniforme prijsstelling binnen de risicocategorie).
   • Individuele Solvabiliteit: Een restrictie die vereist dat, voor elk vastgesteld niet-gevoelig attribuut $x$, het gewogen gemiddelde van de premies over de gevoelige groepen het gewogen gemiddelde van hun verwachte verliezen dekt. Dit voorkomt kruisgesubsidieerdheid tussen heterogene risicocategorieën ($x \neq x'$).

2. Optimalisatieformulering:
   Het probleem wordt geformuleerd als het minimaliseren van de Gemiddelde Kwadratische Fout (MSE) tussen de voorspelde premie en het gerealiseerde verlies, onderhevig aan:

   • $\alpha$-Rechtvaardigheidsrestricties: Lineaire ongelijkheden die ervoor zorgen dat de ratio van premies binnen een risicocategorie tussen $[\alpha, 1/\alpha]$ blijft.
   • Solvabiliteitsrestricties: Het waarborgen dat de premie-inkomsten op groepsniveau de verwachte verliezen op groepsniveau dekken.

   De oplossing, $\alpha$-FISP, wordt afgeleid als de unieke minimizer van dit geoptimaliseerde risicominimalisatieprobleem.

Belangrijke Theoretische Eigenschappen
Het artikel stelt verschillende theoretische garanties vast voor het $\alpha$-FISP framework:

• Bestaan en Uniciteit: Onder standaard regulariteitsvoorwaarden (positieve verwachte verliezen, begrensde premies) bestaat er een unieke optimale oplossing.
• Begrensdheid: De resulterende premies liggen binnen de convexe hull van de actuarieel rechtvaardige premies voor een gegeven risicocategorie. Geen enkele premie wordt onder het minimale verwachte verlies geduwd of boven de maximale actuarieel rechtvaardige benchmark binnen die categorie opgepompt.
• Ordebehoud: De relatieve ordening van premies over gevoelige attributen wordt behouden. Als een groep actuarieel risicovoller is dan een andere, zal de $\alpha$-rechtvaardige premie voor de risicovollere groep niet lager zijn dan die van de minder risicovolle groep.
• Statistische Garanties: Het framework biedt excess risk bounds voor eindige steekproeven. De kosten van het afdwingen van rechtvaardigheid worden aangetoond als een additieve bias-term die afhangt van de heterogeniteit van de risico's en de gekozen $\alpha$. De convergentiesnelheid blijft minimax optimaal ($O(n^{-1/2})$).
• Solvabiliteit: Het framework garandeert expliciet individuele solvabiliteit, een eigenschap die vaak over het hoofd wordt gezien in rechtvaardigheid-gerichte prijsstudies.

Experimentele Resultaten
Numerieke experimenten werden uitgevoerd op synthetische datasets en een Amerikaanse dataset voor ziektekostenverzekeringen:

• Continuümgedrag: Naarmate $\alpha$ varieert van 0 naar 1, gaan de premies vloeiend over van actuarieel rechtvaardige niveaus naar solidariteitsrechtvaardige niveaus, wat het continuümconcept valideert.
• Ordebehoud: Simulaties bevestigden dat premies monotoniciteit behouden met betrekking tot risiconiveaus, zelfs wanneer $\alpha$ toeneemt, mits aan bepaalde voorwaarden met betrekking tot de massa van de laag-risicogroep wordt voldaan.
• Vergelijking met DFIP: Bij een vergelijking met de Discrimination-Free Insurance Pricing (DFIP) methode (Lindholm et al., 2022), behield $\alpha$-FISP consistent een positieve solvabiliteitsmarge. In contrast hiermee produceerde DFIP insolvente premies (negatieve solvabiliteitsmarge) over diverse rechtvaardigheidsbudgetten heen.
• Computationele Tractabiliteit: Het framework is computationeel efficiënt en oplosbaar via standaard technieken voor geoptimaliseerde restricties (bijv. Lagrangiaanse methoden met neurale netwerken).
• Regulatoire Afstemming: Het framework sluit aan bij de heterogene staat-specifieke regulatoire vereisten in de VS, waar verschillende jurisdicties verschillende niveaus van kruisgesubsidieerdheid kunnen eisen (gevangen door variërende $\alpha$).

Betekenis en Claims
Het artikel beweert de literatuur over rechtvaardigheid in zowel machine learning als actuariële wetenschappen vooruit te helpen door:

1. Een Rechtvaardigheidscontinuüm te Formaliseren: Het introduceren van $\alpha$-rechtvaardigheid als een instelbare parameter die expliciet de afweging tussen actuariële en solidariteitsrechtvaardigheid vastlegt, waarmee voorbij wordt gegaan aan binaire definities.
2. Solvabiliteit te Integreren: De eerste te zijn die een framework biedt dat expliciet individuele solvabiliteit garandeert terwijl het rechtvaardigheidsrestricties afdwingt, waarmee een kritieke operationele kloof in bestaande rechtvaardige prijsstudies wordt gedicht.
3. Structurele Allocatie versus Voorspelling: Rechtvaardigheid herformuleren, niet louter als een voorspellende restrictie (bijv. het minimaliseren van foutendispariteit), maar als een allocatiemechanisme dat reguleert hoe financiële lasten worden verdeeld. Dit overbrugt de kloof tussen traditionele actuariële principes en moderne algoritmische rechtvaardigheid.
4. Praktische Implementeerbaarheid: Het bieden van een computationeel tractabel, interpreteerbaar en regulatoir aanpasbaar proces dat besluitvormers in staat stelt een werkpunt ($\alpha$) te selecteren dat is afgestemd op specifieke strategische of regulatoire prioriteiten, zonder de modelstabiliteit of solvabiliteit op te offeren.