🤖 AI

Symbolic Informalization: Fluent, Productive, Multilingual

Dit artikel introduceert het Informath-project, dat een symbolisch informalisatie-framework gebruikt dat is gebouwd op een Dedukti-hub en Grammatical Framework om formele bewijzen uit systemen zoals Agda, Lean en Rocq betrouwbaar om te zetten in vloeiende, precieze en meertalige natuurlijke taal.

Oorspronkelijke auteurs: Aarne Ranta

Gepubliceerd 2026-06-16

📖 7 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Aarne Ranta

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

Het Grote Idee: De "Vertaler" voor Math-Robots

Stel je voor dat je een briljante, supersnelle robot-wiskundige hebt. Deze robot spreekt een zeer strikte, precieke taal die Formele Logica wordt genoemd (zoals Agda, Lean of Rocq). De robot kan stellingen bewijzen met 100% nauwkeurigheid, maar de output ziet eruit als een muur van code: forall (a : Int), odd a -> even (a + 1).

Voor een mens is dit onleesbaar. Het is alsof je probeert een boek te lezen waarin elk woord een geheim wachtwoord is.

Informalisatie is het proces van het vertalen van die strikte robotcode terug naar Natuurlijke Taal (Engels, Frans, Duits, enzovoort), zodat mensen het daadwerkelijk kunnen lezen en begrijpen.

Het artikel betoogt dat we wel heel goed zijn geworden in het leren van wiskunde aan robots (door middel van AI via menselijke boeken), maar dat we nog niet zo goed zijn in het leren van de robots om hun werk aan ons uit te leggen op een manier die klinkt alsof een mens het geschreven heeft. Dit artikel introduceert een systeem genaamd Informath om dat op te lossen.

De Drie Doelen: De "Vloeiende, Productieve, Meertalige" Trio

De auteur zegt dat een goed vertaalsysteem drie dingen nodig heeft, die hij de "Heilige Drie-eenheid" van dit project noemt:

Vloeiend (Klinkt Natuurlijk):
- Het Probleem: Oude vertalers waren als slechte robots die zeiden: "De verzameling van gehele getallen is een verzameling." Ze waren stijf en robotachtig.
- Het Doel: Het nieuwe systeem moet klinken als een wiskundig tekstboek. Het moet weten wanneer het "Laat $x$ ..." moet zeggen in plaats van "Veronderstel dat $x$ ... is", en het moet weten hoe het zinnen vloeiend kan combineren (bijv. " $x$ en $y$ zijn even" in plaats van " $x$ is even en $y$ is even").
- Analogie: Denk aan het verschil tussen een GPS die zegt: "Sla linksaf. Rij daarna 500 meter. Sla daarna rechtsaf" versus een mens die de weg beschrijft: "Ga naar links, loop een blokje, en sla dan rechtsaf." Beiden brengen je er, maar de één is veel makkelijker te volgen.
Productief (Eenvoudig te Bouwen):
- Het Probleem: Het bouwen van deze vertalers was vroeger also kind als het met de hand uithakken van elk woord uit een woordenboek. Het duurde eeuwig en vereiste een taalkundige én een informaticus die samenwerkten.
- Doel: Zorgen dat een wiskundige gewoon een paar aantekeningen bij zijn code kan voegen, en dat het systeem de rest uitzoekt.
- Analogie: In plaats van een huis steen voor steen vanaf nul op te bouwen, gebruik je een "Lego-kit" (de Resource Grammar Library). Je klikt de stukjes gewoon in elkaar en het systeem handelt de complexe techniek (zoals grammatica regels) voor je af.
Meertalig (Spreekt Veel Talen):
- Het Probleem: Meestal, als je een vertaler voor het Engels wilt, bouw je er een. Als je Frans wilt, bouw je een totaal andere.
- Doel: Eén "brein" bouwen dat elke taal kan spreken.
- Analogie: Stel je een universele wereldstekker voor. Je plugt de wiskunde-code in het midden, en het kan output genereren in het Engels, Frans, Duits of Zweeds door simpelweg de "stekkerkop" te verwisselen. Je hoeft niet de hele machine opnieuw te bouwen voor elk land.

Hoe het Werkt: Het "Hub en Spoke"-Systeem

Het artikel beschrijft een slimme architectuur om deze doelen te bereiken. Denk aan een druk vliegveld als een centrale hub.

De Hub (Dedukti):
- Dit is de centrale luchthaven. Alle verschillende "luchtvaartmaatschappijen" (Agda, Lean, Rocq) vliegen hier hun vliegtuigen (wiskundige bewijzen) naartoe.
- Dedukti is een eenvoudige, universele taal die als gemeenschappelijke grond dient. Het stript de specifieke eigenaardigheden van elke luchtvaartmaatschappij weg en zet alles om in een standaardformaat.
De Vertaling (Grammatical Framework - GF):
- Zodra de wiskunde in de hub is, moet deze worden omgezet in menselijke spraak. Dit is waar GF in beeld komt.
- GF is als de keuken van een meesterkok. Het heeft een "receptenboek" (de grammatica) dat weet hoe het de wiskundige ingrediënten moet koken tot een heerlijke zin in elke taal.
- Het regelt de lastige zaken: zorgen dat werkwoorden overeenkomen met onderwerpen, "is" veranderen in "zijn" voor meervoud, en het afhandelen van geslacht in talen zoals Frans of Duits.
Het Menu (Symbol Tables):
- Dit is het geheime ingrediënt. De wiskundige hoeft niet het hele receptenboek te herschrijven. Hij hoeft alleen een "menukaart" (symbol table) in te vullen die zegt:
  - "Wanneer je de code plus ziet, zeg dan 'som'."
  - "Wanneer je odd ziet, zeg dan 'oneven'."
- Dit maakt het mogelijk om het systeem eenvoudig aan te passen zonder de complexe grammatica eronder te breken.

De "Magie" van het Menselijk Klinken

Het artikel benadrukt dat het maken van natuurlijke wiskunde moeilijker is dan het lijkt. Dit zijn de trucs die Informath gebruikt:

Aggregatie (De "En"-truc):
- Robot: " $x$ is even. $x$ is deelbaar door 3."
- Mens: " $x$ is even en deelbaar door 3."
- Het systeem weet hoe het deze zinnen kan samenvoegen zodat ze beter stromen.
In Situ Quantificatie (De "Verborgen" Variabele):
- Robot: "Voor alle getallen $n$ , $n$ is even of $n$ is oneven."
- Mens: "Elk natuurlijk getal is even of oneven."
- Het systeem beseft dat je het woord "getal" niet elke keer hoeft te herhalen. Het verbergt de variabele waar dat overduidelijk is, precies zoals een mens zou doen.
Symbolisch vs. Verbaal:
- Soms is wiskunde het beste geschreven met symbolen (zoals $x + y = z$ ), en soms met woorden ("de som van $x$ en $y$ "). Het systeem weet wanneer welke vorm te gebruiken. Het kan zelfs automatisch LaTeX-code genereren (de standaard voor wiskundige typografie).

Wat het Artikel Eigenlijk Beweert (en Wat Niet)

Wat het WEL doet:

Het heeft succesvol een systeem gebouwd (Informath) dat formele wiskundige bewijzen kan nemen en deze kan omzetten in vloeiende, natuurlijk klinkende tekst in meerdere talen.
Het heeft bewezen dat je dit systeem "productief" (gemakkelijk te gebruiken) kunt maken door gebruik te maken van vooraf gebouwde grammatica-bibliotheken en eenvoudige symbol tables.
Het heeft aangetoond dat dit werkt voor wiskunde op bacheloruurniveau (arithmetica, algebra, topologie) en zelfs voor sommige geavanceerde onderwerpen (homotopie type theory), hoewel de geavanceerde zaken moeilijker zijn.
Het heeft aangetoond dat dit systeem gebruikt kan worden om data te genereren om AI-modellen (LLM's) te helpen de wiskunde beter te begrijpen.

Wat het NIET claimt (gebaseerd op de tekst):

Het claimt niet dat het systeem perfect is voor alle wiskunde. De auteur geeft toe dat het dekken van de "volledige gewone taal van de wiskunde" een enorme, voortdurende doelstelling is.
Het claimt niet dat het momenteel elk bewijssysteem perfect kan afhandelen. Systemen zoals Isabelle of Mizar worden genoemd als toekomstige uitdagingen omdat ze anders werken dan de momenteel ondersteunde systemen.
Het claimt niet dat dit systeem menselijke wiskundigen vervangt. Het is een hulpmiddel om mensen te helpen begrijpen wat de computer heeft gedaan.

De Kernboodschap

Het artikel concludeert dat informalisatie niet gemakkelijk is. Het is niet simpelweg het omgekeerde van formalisatie. Terwijl formalisatie (mens naar robot) automatisch op fouten kan worden gecontroleerd, is informalisatie (robot naar mens) lastig omdat "natuurlijk klinken" subjectief en complex is.

Echter, door een "hub"-systeem (Dedukti) en een "universele grammatica" (GF) te gebruiken, laat de auteur zien dat we een vertaler kunnen bouwen die betrouwbaar is (het verzint geen feiten), flexibel is (het spreekt vele talen) en efficiënt (het vereist geen team van taalkundigen om te bouwen). Het transformeert de koude code van de robot terug naar een warm, leesbaar verhaal.

Technische Samenvatting: Symbolische Informalizatie

Probleemstelling

Het artikel behandelt de uitdaging van symbolische informalizatie: de betrouwbare conversie van formele wiskunde (door machines gecontroleerde bewijzen en stellingen) naar vloeiende, natuurlijke taal zonder verlies van precisie. Hoewel neurale methoden (Large Language Models) de vooruitgang hebben versneld in autoformalizatie (van informeel naar formeel), lijden zij aan "hallucinaties" en kunnen zij niet garanderen dat de geformaliseerde stelling overeenkomt met de oorspronkelijke tekst. Omgekeerd is het proces van informalizatie — de inverse van formalisatie — hoewel de resultaten van formalisatie automatisch geverifieerd kunnen worden, vaak moeilijk te automatiseren op symbolisch niveau.

Eerdere pogingen tot symbolische informalizatie zijn bekritiseerd op drie hoofdredenen, die dit artikel identificeert als de kernvereisten voor een succesvol systeem:

Vloeiendheid: Outputs missen vaak de diversiteit en flexibiliteit van natuurlijke taal en komen rigide over.
Productiviteit: Systemen zijn moeilijk te ontwerpen en te implementeren.
Meertaligheid: Benaderingen slagen er vaak niet in om te schalen naar verschillende formele talen of natuurlijke talen.

Het artikel betoogt dat informalizatie niet louter een "eenvoudige" vertaling is, maar een complexe onderzoeksopgave die een balans vereist tussen semantische betrouwbaarheid (behoud van betekenis) en linguïstische volledigheid (dekking van het volledige bereik van wiskundige expressie).

Methodologie: Het Informath-systeem

Het artikel introduceert Informath, een systeem gebouwd op een interlinguale architectuur om de drie doelen van vloeiendheid, productiviteit en meertaligheid te bereiken.

1. Architectuur

Informath maakt gebruik van een tweestaps interlingua-aanpak:

Formele Interlingua (Dedukti): Dient als een hub tussen diverse bewijssystemen (Agda, Lean, Rocq). Dedukti is een minimalistisch logisch framework met afhankelijke typen en herschrijfregels. Het fungeert als de bron van waarheid voor de formele inhoud.
Linguïstische Interlingua (Grammatical Framework - GF): Behandelt de natuurlijke taalzijde. GF is een grammatica-formalisme gebaseerd op een logisch framework vergelijkbaar met Dedukti, ontworpen voor meertalige vertaling.

De workflow is: Bewijssysteem $\to$ Dedukti $\to$ GF Abstracte Syntaxis $\to$ Natuurlijke Taal.

2. Meertaligheid

Meertaligheid wordt bereikt door de Dedukti-abstracte syntaxis te mappen naar de GF-abstracte syntaxis, die vervolgens wordt lineair gemaakt in concrete natuurlijke talen.

Gedeelde Abstracte Syntaxis: De kern van de wiskundige concepten wordt gedefinieerd in een taalonafhankelijke abstracte syntaxisboom (AST) binnen GF.
Resource Grammar Library (RGL): Informath maakt gebruik van de GF RGL, die vooraf gedefinieerde linguïstische structuren (inflectie, overeenstemming, syntactische regels) biedt voor ongeveer 40 talen. Dit stelt het systeem in staat om dezelfde abstracte syntaxis correct te renderen in Engels, Frans, Duits, Zweeds, etc., waarbij grammaticale variaties (bijv. geslacht, naamval, getal) automatisch worden afgehandeld.

3. Productiviteit

Om de moeilijkheid van implementatie aan te pakken, gebruikt Informath een deployment stack die de complexiteit van GF en Haskell-code abstraheert voor eindgebruikers:

Symbooltabellen (.dkgf): De hoogste en meest toegankelijke laag. Gebruikers definiëren lexicale annotaties die Dedukti-constanten koppelen aan GF-functies of teksttemplates. Dit stelt niet-linguïsten in staat om het systeem uit te breiden met nieuwe wiskundige concepten zonder grammatica-regels te schrijven.
Smart Paradigmen: De RGL genereert inflectietabellen op basis van basiswoordvormen, wat de noodzaak voor handmatige lexicale invoer vermindert.
Modulaire Code: Het systeem scheidt de stabiele kern (MathCore, die semantische betrouwbaarheid afhandelt) van de uitbreidbare extensies (MathExtensions, die linguïstische volledigheid afhandelt).

4. Vloeiendheid en Natural Language Generation (NLG)

Om vloeiendheid te bereiken, gaat Informath verder dan basis Controlled Natural Languages (CNLs) door een meerstaps NLG-pipeline te implementeren:

Content Determination & Text Planning: Beslissen wat er gezegd wordt en in welke volgorde.
Aggregatie: Het samenvoegen van atomaire feiten (bijv. het converteren van "x is even en x is priem" naar "x is even en priem").
Lexicale Keuze: Het selecteren van passende woorden via symbooltabellen.
Surface Realization: Het genereren van de uiteindelijke string met behulp van GF-linearisatie.
Ranking: Het systeem genereert duizenden varianten van een enkele formele stelling. Deze worden gerangschikt met een straffunctie gebaseerd op boomgrootte, diepte, tokenaantal en stilistische regels (bijv. het vermijden van zinnen die met symbolen beginnen). Dit zorgt ervoor dat de output compact en natuurlijk klinkend is.

De grammatica is verdeeld in MathCore (een minimale CNL die alle Dedukti-constructen dekt) en MathExtensions (die de volledige taal van de wiskunde benadert). Het systeem ondersteunt complexe functies zoals:

Variabele-bindende constanten: Het afhandelen van kwantoren en integralen via Higher-Order Abstract Syntax (HOAS).
In situ kwantificatie: Het plaatsen van kwantoren binnen predicaten (bijv. "elk natuurlijk getal is even").
Symbolische Notatie: Het genereren van LaTeX-macro's voor symbolische delen terwijl de verbale delen natuurlijk blijven.

Belangrijkste Bijdragen

Het Informath-systeem: Een werkende implementatie die aantoont dat symbolische informalizatie vloeiend, productief en meertalig kan zijn.
Interlinguale Architectuur: Een innovatief gebruik van Dedukti en GF als dubbele interlingua's om formele logica te ontkoppelen van linguïstische variatie.
Low-Code Extensie: Een mechanisme op basis van symbooltabellen waarmee gebruikers het systeem kunnen uitbreiden naar nieuwe wiskundige domeinen zonder de kern van de grammatica of de compilercode te wijzigen.
Omgaan met Ambiguïteit: Een strategie voor het beheren van de inherente ambiguïteit van natuurlijke taal (bijv. de reikwijdte van kwantoren, conjuncties) door meerdere varianten te genereren en deze te rangschikken via type-checking of ranking, in plaats van rigide, eenduidige regels af te dwingen die de vloeiendheid opofferen.

Resultaten

Het artikel rapporteert over de huidige staat van Informath:

Dekking: Het systeem dekt de undergraduate wiskunde (rekenkunde, verzamelingenleer, algebra, topologie) en is getest op het "100 theorems" project.
Meertalige Output: Het genereert succesvol vloeiende tekst in het Engels, Frans, Duits en Zweeds vanuit dezelfde Dedukti-bron.
Casestudies:
- Homotopie Type Theorie: Een casestudy over een HoTT-boek onthulde uitdagingen met externe vertalers (Agda naar Dedukti) die de codecomplexiteit doen exploderen door universe-niveaus. Echter, eenmaal geconverteerd, kon Informath de informalizatie succesvol afhandelen, inclus�ief complexe "propositions as types" scenario's.
- Synthetische Data: Informath werd gebruikt om synthetische data te genereren om een LLM (Qwen2.5-7B-Instruct) te finetunen, wat resulteerde in verbeterde autoformalizatie-prestaties vergeleken met de baseline.
Beperkingen: Het systeem is nog niet linguïstisch volledig (het dekt niet alle gewone wiskundige taal) en de informalizatie van bewijzen blijft een werk in uitvoering, met name wat betreft de ordening en het weglaten van bewijsstappen.

Betekenis en Claims

Het artikel claimt dat symbolische informalizatie een noodzakelijke aanvulling is op neurale autoformalizatie. Hoewel LLM's formele code kunnen genereren, kunnen zij de correctheid niet garanderen; symbolische informalizatie biedt een betrouwbare, verklaarbare brug die menselijke gebruikers in staat stelt om met formele systemen te interageren in natuurlijke taal zonder de onderliggende code te zien.

De auteurs concluderen bescheiden dat hoewel Informath een niveau van vloeiendheid bereikt dat boven basis CNLs ligt, volledige dekking van de gewone taal van de wiskunde een verre doelstelling blijft. De primaire openstaande uitdagingen zijn de rangschikking van het groeiende aantal gegenereerde varianten en de informalisatie van bewijzen. Het artikel benadrukt dat, in tegen tegenstelling tot formalisatie die automatisch geverifieerd kan worden, informalizatie inherente betrouwbaarheid en deskundige kennis vereist, wat de ontwikkeling van dergelijke instrumenten tot een belangrijke maar noodzakelijke onderneming maakt voor de toekomst van menselijk leesbare, door machines gecontroleerde wiskunde.