🤖 AI

Case study: proving sqrt(2) irrational with LPTP and an LLM

Dit artikel presenteert een casestudy die aantoont hoe een LLM, gestuurd door basisdefinities van logisch programmeren en geverifieerd door de LPTP-bewijsvoerder, succesvol een volledig, voor mensen leesbaar formeel bewijs kan genereren van de irrationaliteit van de wortel van 2.

Oorspronkelijke auteurs: Fred Mesnard, Étienne Payet, Wim Vanhoof

Gepubliceerd 2026-07-24

📖 6 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Fred Mesnard, Étienne Payet, Wim Vanhoof

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

Stel je voor dat je een detective bent die een mysterie probeert op te lossen dat mensen al meer dan tweeduizend jaar voor raadsels stelt: is de vierkantswortel van 2 een "rationaal" getal? In de wereld van de wiskunde is een rationaal getal als een perfect stuk taart, een nette breuk (zoals 3/4 of 5/2). Een irrationaal getal is een slordige, eindeloze reeks decimalen die nooit als een eenvoudige breuk geschreven kan worden. De vierkantswortel van 2 is de lengte van de diagonaal van een vierkant met zijden van lengte 1, en oude wiskundigen bewezen dat het slordig is—het kan geen breuk zijn.

Stel je nu voor dat je twee zeer verschillende hulpmiddelen hebt om je te helpen dit mysterie op te lossen. Het eerste is een superstrikte, robotachtige scheidsrechter genaamd LPTP. Hij spreekt een zeer precieze, logische taal (gebaseerd op Prolog) en accepteert een bewijs alleen als elke stap wiskundig perfect is. Als je zelfs maar een klein foutje maakt, slaat hij met de hamer en zegt: "Nee, ongeldig." Het tweede hulpmiddel is een Large Language Model (LLM), wat een soort superintelligente, creatieve student is die bijna alles heeft gelezen wat ooit geschreven is. Deze student is erg goed in het raden van de volgende stap in een verhaal of een wiskundig probleem, maar soms "hallucineert" hij, waarbij hij feiten verzint die goed klinken maar eigenlijk onjuist zijn.

De grote vraag voor wetenschappers vandaag de dag is: kunnen we deze twee combineren? Kunnen we de creatieve student het zware werk laten doen van het schrijven van het bewijs, terwijl de strikte scheidsrechter elke zin controleert om te verzekeren dat de student niet liegt? Dit artikel onderzoekt precies die samenwerking, waarbij het eeuwenoude mysterie van de vierkantwortel van 2 als testgeval wordt gebruikt.

De Grote Bewijs-Check Samenwerking

In dit artikel zetten de auteurs zich scharpe om te zien of ze een moderne AI (specifiek een model genaamd Claude) kunnen gebruiken om te helpen bewijzen dat de vierkantswortel van 2 irrationaal is, maar met een twist: het bewijs moest geschreven worden in een zeer specifere, strikte vorm die de robotachtige scheidsrechter (LPTP) kon begrijpen en verifiëren. Ze wilden niet alleen dat de AI zou zeggen "het is waar"; ze wilden dat de AI de eigenlijke stapsgewijze logica zou schrijven, die de scheidsrechter vervolgens zou beoordelen.

Het verhaal begint met een eenvoudig idee. Om te bewijzen dat de vierkantswortel van 2 irrationaal is, neem je meestal het tegenovergestelde aan: dat het wel een breuk is van twee gehele getallen, $p$ en $q$ , die geen gemeenschappelijke delers hebben (ze zijn "copriem"). Als je de berekening uitvoert, kom je uiteindelijk uit op een tegenspraak waarbij beide getallen even moeten zijn, wat betekent dat ze wel een deler delen (2). Dit breekt de regel dat ze copriem waren, wat bewijst dat de oorspronkelijke aanname onjuist was.

De auteurs probeerden de AI dit bewijs in de strikte taal van LPTP te laten schrijven. In het begin was de AI als een student die het verhaal kent, maar de vereiste essay niet in het juiste formaat kan schrijven. De AI probeerde stappen over te slaan of logische sprongen te maken die de scheidsrechter niet zou accepteren.

Hier vond de samenwerking plaats. De auteurs zetten een feedbackloop op:

De AI probeert een stap van een bewijs te schrijven.
De scheidsrechter (LPTP) controleert het.
Als de scheidsrechter een fout vindt, wijst hij de exacte regel aan waar de logica brak.
De auteurs tonen deze fout aan de AI.
De AI probeert het opnieuw en corrigeert de specifieke fout.

Dit proces was als een spelletje "warm en koud". De scheidsrechter zei niet alleen "fout"; hij zei: "Je maakte een fout in stap 4," waardoor de AI zijn koers kon corrigeren.

De Resultaten: Een Gedeeltelijke Overwinning

Het experiment was een succes, maar met enkele kanttekeningen. De AI was in staat om veel van de kleinere, makkelijkere onderdelen van de puzzel zelfstandig te bewijzen. Het slaagde bijvoorbeeld in het bewijzen van "als een getal even is, dan is het kwadraat even" of "2 keer een getal is even". De auteurs noemen dit "lemma's" (kleine hulpbewijzen). De AI kreeg deze goed, en bedacht soms zelfs nieuwe hulpideeën waar de mensen nog niet aan hadden gedacht.

Echter, voor het lastigste deel van het bewijs—de specifieke logica die laat zien waarom de vierkantswortel van 2 geen breuk kan zijn—liep de AI vast. Het kon niet in staat om op eigen kracht het juiste pad te vinden. Daarom moesten de menselijke auteurs ingrijpen en de AI een "hint" geven of zelfs de hoofdstructuur van het bewijs zelf schrijven, waarbij ze de AI vroegen de kleinere gaten in te vullen.

Uiteindelijk produceerden ze een volledig, formeel bewijs dat de vierkantswortel van 2 irrationaal is. Dit bewijs werd gedeeltelijk geschreven door de AI en volledig gecontroleerd door de robotachtige scheidsrechter. De scheidsrechter gaf het een voldoende, waarmee werd bevestigd dat de logica klopte.

Wat Dit Betekent

Het artikel beweert niet dat AI nu alle wiskundige problemen zelfstandig kan oplossen. Sterker nog, de auteurs laten expliciet zien dat de AI het niet alleen kan; zonder de menselijke begeleiding en de strikte controle van de scheidsrechter, zou de AI waarschijnlijk een vals of gebroken bewijs hebben geproduceerd.

In plaats daarvan suggereert het artikel een nieuwe manier van werken: AI als conceptschrijver, mensen als redacteurs, en formele tools als factcheckers. De AI is snel en creatief en genereert ideeën en vult details in, terwijl het formele hulpmiddel (LPTP) fungeert als een onvermoeibaar oog dat hallucinaties en fouten opmerkt.

De auteurs testten ook andere geautomatiseerde wiskundige tools (genoemd ATP's) om te zien of ze het werk sneller konden doen. Deze tools waren snel en gratis, maar produceerden bewijzen die moeilijk leesbaar waren voor mensen en niet gemakkelijk toegevoegd konden worden aan de bibliotheek van geverifieerde wiskunde. De AI-aanpak, hoewel langzamer en met menselijke hulp, produceerde bewijzen die leesbaar waren en veilig opgeslagen konden worden voor toekomstig gebruik.

Kortom, dit artikel laat zien dat we niet hoeven te kiezen tussen menselijke intuïtie en machinale precisie. Door de AI het zware werk van het concept schrijven te laten doen en de strikte tools de beoordeling te laten doen, kunnen we een systeem bou�uren waarin AI ons helpt complexe wiskundige waarheden te bewijzen, zolang we een mens in de loop houden om het schip te sturen en een strikte scheidsrechter om de kaart te controleren. De vierkantswortel van 2 blijft irrationaal, maar nu hebben we een nieuwe, collaboratieve manier om het te bewijzen.

Technische Samenvatting: Casestudy het bewijzen van de irrationaliteit van $\sqrt{2}$ met LPTP en een LLM

Probleemstelling
Het artikel behandelt de uitdaging om formeel te bewijzen dat de vierkantswortel van 2 irrationaal is binnen de context van Logic Programming (LP). Specifiek beogen de auteurs te bewijzen dat er geen twee onderling relatieve natuurlijke getallen $p$ en $q$ bestaan waarvoor geldt dat $p^2 = 2q^2$ . Hoewel dit een klassiek wiskundig resultaat is, kunnen standaard op resolutie gebaseerde logic programming engines (zoals Prolog) geen negatief antwoord geven op de bijbehorende query omdat de zoekruimte over natuurlijke getallen oneindig is. De auteurs zoeken naar een manier om deze kloof te overbruggen door gebruik te maken van het LPTP (Logic Program Theorem Prover) systeem om een formeel bewijs te genereren, en evalueren in ho welke mate een Large Language Model (LLM) kan assisteren bij het construeren van dit bewijs.

Methodologie
De auteurs hanteren een hybride aanpak waarbij het LPTP formeel verificatiesysteem wordt gecombineerd met een LLM (specifiek Claude Opus 4.5 van Anthropic).

Formeel Kader (LPTP):
- LPTP wordt gebruikt om eigenschappen van logic programma's te verifiëren op basis van eerste-orde logica en Clarks voltooiing (completion).
- Het systeem maakt onderscheid tussen succes, falen en terminatie van predicaten met behulp van specifieke operatoren ( $S$ , $F$ , $T$ ) en ondersteunt inductieschema's voor recursieve predicaten.
- De bewijstaal is gebaseerd op natuurlijke deductie, wat menselijke leesbaarheid garandeert.
- De auteurs definiëren het probleem met pure Prolog-predicaten voor natuurlijke getallen (Peano-rekenkunde), optelling, vermenigvuldiging en de grootste gemene deler (GCD).
LLM Integratiestrategie:
- In-Context Learning: De LLM krijgt de LPTP gebruikershandleiding (PDF) en twee basisbibliotheken (Peano-getallen en lijsten) die Prolog-code en bestaande bewijzen bevatten.
- Iteratieve Feedbackloop: De auteurs dienen lemma's in aan de LLM in LPTP-syntaxis (of natuurlijke taal). De LLM genereert een bewijsontwerp, dat onmiddellijk wordt ingevoerd in de LPTP-bewijschecker.
- Foutcorrectie: Als de LPTP-checker het bewijs afwijst, rapporteert deze de eerste incorrecte afleidingsstap. Deze specifieke fout wordt teruggekoppeld naar de LLM om het bewijs te verfijnen.
- Menselijk Toezicht: Een menselijke ontwikkelaar beheert de volgorde van de lemma's, besluit wanneer een niet-productieve loop moet worden gestaakt, en biedt hoogwaardige hints of de bewijsstructuur voor complexe stappen.
Auxiliaire Tools:
- De auteurs maakten ook gebruik van standaard First-Order Logic (FOL) Automated Theorem Provers (ATPs) zoals Vampire en E door de LPTP-axioma's te vertalen naar FOF-syntaxis. Deze werden gebruikt om lemma's onafhankelijk te verifiëren, hoewel hun op resolutie gebaseerde bewijzen niet direct geïntegreerd konden worden in de natuurlijke deductie-framework van LPTP.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

Bewijsconstructie: Het team heeft met succes een volledig, door machines gecontroleerd formeel bewijs van de irrationaliteit van $\sqrt{2}$ in LPTP geconstrueerd. Het bewijs werd gedeeltelijk gegenereerd door de LLM en volledig gevalideerd door de LPTP-checker.
Lemma Generatie:
- De LLM slaagde erin verschillende hulplemma's direct te bewijzen (bijv. $2^2=4$ , eigenschappen van even/oneven getallen) of na enkele iteraties van foutcorrectie (bijv. vereenvoudigingslemma's).
- Voor het meest complexe lemma, evenpp:evenp (bewijzen dat als het kwadraat van een getal even is, het getal zelf ook even is), faalde de LLM aanvankelijk. De auteurs boden een hint in natuurlijke taal aan die een bewijs door gevallen (even vs. oneven) schetste, waarna de LLM erin slaagde het formele bewijs te genereren.
- Het hoofdbewijs (sqrt2:irrational) vereiste dat de auteurs de bewijsstructuur (skeleton) aanboden; de LLM vulde vervolgens de noodzakelijke stappen en hulplemma's in.
ATP Vergelijking: Hoewel ATP's 9 van de 12 lemma's in de definitieve versie konden bewijzen, slaagden ze er niet in het hoofdbewijs te leveren binnen de tijdslimiet van 20 seconden, waarschijnlijk door de uitgebreide zoekruimte. Cruciaal is dat ATP-bewijzen niet direct konden worden omgezet naar de natuurlijke deductie-bewijzen die vereist zijn voor LPTP.
Dependency Management: Het artikel beschrijft de afhankelijkheidsgrafiek van de lemma's, waarbij wordt aangetoond hoe het vermogen van de LLM om eenvoudige eigenschappen te bewijzen (zoals nat:natsquare of sqr2:4) essentieel was voor het bewijzen van hogere-orde eigenschappen.

Betekenis en Claims
De auteurs stellen dat dit werk een van de eerste interacties tussen LPTP en een LLM vertegenwoordigt. Hun primaire bijdrage is het demonstreren van een semi-geautomatiseerde workflow waarbij:

De Bewijschecker Centraal Staat: De LPTP-checker fungeert als het kritische filter tegen hallucinaties van de LLM. Het biedt precieze feedback (de eerste foutieve stap), waardoor de LLM effectief kan zelfcorrigeren.
Complementaire Rollen: ATP's zijn snel en lokaal, maar produceren bewijzen in een formaat (resolutie/superpositie) dat incompatibel is met de natuurlijke deductie van LPTP. LLM's kunnen, geleid door de checker, bewijzen genereren in het juiste formaat, ho wellicht hebben ze menselijke begeleiding nodig voor complexe structurele stappen.
Haalbaarheid voor LP: De studie valideert dat LLM's effectief kunnen worden geïntegreerd in de verificatie van eigenschappen van Logic Programming, mits er een rigoureuze bewijscontrole-loop aanwezig is.

Het artikel sluit bescheiden af met de opmerking dat hoewel de LLM niet autonoom de volledige bewijsstructuur voor het hoofdbewijs kon genereren, het er wel in slaagde de fijnmazige logische stappen te behandelen zodra de structuur was gedefinieerd. Dit legt de weg vrij voor toekomstige AI-verbeterde benaderingen voor het bewijzen van Prolog-eigenschappen, waarbij de auteurs van plan zijn deze combinatie op een breder scala aan verificatieproblemen te evalueren.

De Grote Bewijs-Check Samenwerking

De Resultaten: Een Gedeeltelijke Overwinning

Wat Dit Betekent

Technische Samenvatting: Casestudy het bewijzen van de irrationaliteit van 2\sqrt{2}2​ met LPTP en een LLM

Meer zoals dit

Technische Samenvatting: Casestudy het bewijzen van de irrationaliteit van $\sqrt{2}$ met LPTP en een LLM