Topologically Protected Edge States in One-Dimensional Quantum Walks

In de wereld van de moderne natuurkunde zijn wetenschappers gefascineerd geraakt door materialen die fungeren als perfecte snelwegen voor elektriciteit, waardoor er een stroom kan lopen langs hun randen zonder ooit te struikelen of energie te verliezen. Dit zijn zogenaamde topologische isolatoren. Stel je een weg voor waarbij het wegdek in het midden ruw is en vol kuilen zit, maar de bermen perfect glad en immuun voor schade zijn. In deze speciale materialen worden de "bermen" beschermd door de fundamentele geometrie van het systeem, waardoor de stroom van deeltjes robuust is tegen wanorde. Hoewel dit fenomeen voor het eerst werd ontdekt in vaste elektronische materialen, hebben natuurkundigen ingezien dat dezelfde regels kunnen worden toegepast op ingenieursystemen die helemaal niet uit atomen bestaan. Een dergelijk systeem is de kwantumwandeling (quantum walk), een proces dat nabootst hoe een deeltje door de ruimte beweegt, maar de vreemde, probabilistische regels van de kwantummechanica volgt in plaats van de voorspelbare wetten van de klassieke fysica.

Een kwantumwandeling is als een spel waarbij een deeltje, dat optreedt als een reiziger, beslist welke kant het op gaat op basis van een interne muntworp. In de klassieke versie van dit spel wordt een munt opgegooid, en als het kop is, zet de reiziger een stap naar rechts; als het munt is, een stap naar links. Na verloop van tijd verspreidt een klassieke reiziger zich in een rommelige, diffuse wolk. In de kwantumversie is de "munt" een interne eigenschap van het deeltje, vaak spin genoemd, die in een superpositie van toestanden kan zijn. Dit stelt de reiziger in staat om tegelijkertijd naar links en naar rechts te bewegen, wat een golfachtig patroon creëert dat veel sneller en efficiënter verspreidt. Wanneer wetenschappers deze kwantumwandelingen in specifieke patronen arrangeren, kan het systeem een topologische fase betreden, waardoor er beschermde toestanden ontstaan op de grenzen waar twee verschillende patronen elkaar ontmoeten. Deze randtoestanden zijn de "bermen" van de kwantumweg, immuun voor de chaos die de rest van het systeem zou kunnen verstoren.

Een team van onderzoekers aan de Texas Tech University heeft nu een nadere blik geworpen op deze kwantumwandelingen, waarbij ze specifiek een nieuwe klasse hebben ontworft waarin de reiziger stappen van variërende lengtes kan zetten. In de standaardversie van het spel beweegt de reiziger altijd precies één stap naar links of naar rechts. De onderzoekers hebben de reiziger echter de mogelijkheid gegeven om meerdere stappen tegelijk te zetten, afhankelijk van de staat van hun interne spin. Door deze flexibiliteit te introduceren, creëerden zij een meer veelzijdige speeltuin om te bestuderen hoe het aantal, de vorm en het gedrag van deze beschermde randtoestanden afhangen van de regels van de wandeling. Hun doel was niet alleen om te begrijpen dat deze toestanden bestaan, maar ook om precies te begrijpen hoe ze te controleren zijn, door hun ruimtelijke profiel en de oriëntatie van hun interne spin te voorspellen.

De onderzoekers ontdekten dat ze door de lengte van deze stappen en de hoeken van de spinrotaties aan te passen, systemen konden creëren die meerdere randtoestanden tegelijkertijd ondersteunen. In simpelere termen: in plaats van slechts één beschermde rijstrook aan de rand van de weg, konden ze meerdere rijstroken ontwerpen. Ze ontdekten dat het aantal van deze rijstroken direct verbonden is met de totale afstand die het deeltje in één volledige cyclus van de wandeling kan afleggen. Als de regels het deeltje toestaan om in een volledige cyclus in totaal vijf stappen naar rechts en vijf stappen naar links te zetten, kan het systeem vijf verschillende randtoestanden ondersteunen. Dit is een significante uitbreiding van eerder werk, dat zich voornamelijk richtte op systemen die slechts nul of één dergelijke toestand konden ondersteunen.

Een essentieel onderdeel van hun ontdekking betreft hoe het systeem zich gedraagt wanneer een specifieke symmetrie wordt doorbroken. In de natuurkunde zijn symmetrieën als regels die onveranderd blijven, zelfs als we het systeem vanuit een andere hoek bekijken of de tijd omdraaien. De onderzoekers toonden aan dat wanneer de wandeling een symmetrie respecteert die bekend staat als de deeltje-gat-symmetrie (particle-hole symmetry), maar de tijdsomkeersymmetrie doorbreekt, de manier waarop we deze beschermde toestanden tellen verandert. In plaats van een willekeurig geheel getal aan toestanden te kunnen hebben, wordt het systeem beperkt tot een eenvoudigere classificatie waarbij de toestanden ofwel aanwezig zijn, ofwel afwezig zijn op een specifieke manier. Deze verschuiving van een complex tellingssysteem naar een eenvoudiger systeem werd door de theorie voorspeld, maar de onderzoekers boden een concreet kader om precies te zien hoe dit gebeurt in deze kwantumwandelingen met variabele stappen.

Om de fysieke vorm van deze randtoestanden te begrijpen, ontwikkelde het team een wiskundig instrument genaand de transfermatrix. Beschouw dit als een set instructies die vertelt hoe de waarschijnlijkheid om een deeltje op één locatie te vinden gerelateerd is aan de waarschijnlijkheid om het op de volgende locatie te vinden. Door dit instrument te gebruiken, konden ze exact voorspellen hoe de randtoestand zou vervallen naarmate deze zich van de grens beweegt en het binnenste van het materiaal (de bulk) binnendringt. Ze ontdekten dat de "spin" van het deeltje — de richting van zijn interne munt — niet willekeurig was, maar vastgelegd was in een specifieke oriëntatie die bepaald werd door de staplengtes en rotatiehoeken. In sommige gevallen wees de spin in de ene richting, terwijl hij in andere gevallen roteerde naarmate het deeltje bewoog, wat een complex, ruimtelijk afhankelijk patroon creëerde.

De onderzoekers verifieerden hun theoretische voorspellingen met computersimulaties. Ze observeerden een kwantumwandelaar die door deze ontworde landschappen bewoog en zagen dat wanneer de wandelaar in een toestand begon die overeenkwam met de randmodus, deze op zijn plaats bleef, terwijl de rest van de golf weg bewoog. Dit bevestigde dat de randtoestand inderdaad een stabiele, stationaire functie van het systeem was. In een opvallende simulatie bereidden ze een wandelaar voor met een uniforme spin die niet overeenkwam met de natuurlijke oriëntatie van de randtoestand. Terwijl de wandeling vorderde, bewoog de mismatchende delen van de golf weg, waardoor een "gezuiverde" randtoestand achterbleef die zich in de juiste spinconfiguratie had genesteld. Dit toonde aan dat het systeem ongewenste toestanden op natuurlijke wijze filtert, wat de stabiliteit van de topologische bescherming versterkt.

De studie verbond deze discrete kwantumwandelingen ook met een beroemde oplossing in de natuurkunde bekend als de Jackiw-Rebbi-oplossing, die beschrijft hoe deeltjes zich gedragen in de aanwezigheid van een specifiek type defect in een continu veld. De onderzoekers toonden aan dat hun discrete, stap-voor-stap model gezien kan worden als een digitale versie van deze continue theorie. Wanneer de staplengtes gelijk waren, kwam het gedrag van hun kwantumwandeling perfect overeen met de continue oplossing. Echter, wanneer de staplengtes ongelijk waren, trad het systeem een andere fase binnen waarin de energiebanden geen volledige kloof (gap) hadden, maar nog steeds gelokaliseerde toestanden ondersteunden. Deze toestanden, hoewel niet zo perfect beschermd als die in de gapped systemen, vertoonden nog steeds veel van de even wenselijke eigenschappen, wat suggereert dat er een breder scala aan mogelijkheden is voor het ontwerpen van robuuste kwantumtoestanden.

Uiteindelijk biedt dit werk een routekaart voor het ontwerpen van kwantumsystemen met nauwkeurige controle over hun randtoestanden. Door de staplengtes en rotatiehoeken af te stemmen, kunnen wetenschappers nu niet alleen bepalen of een randtoestand bestaat, maar ook hoeveel er zijn, hoe ver ze zich in het materiaal uitstrekken en hoe hun interne spin is gerangschikt. Dit niveau van controle is essentieel voor toekomstige toepassingen, zoals het bouwen van kwantumcomputers die bestand zijn tegen fouten of het creëren van nieuwe soorten sensoren. De onderzoekers zijn verder gegaan dan het louter observeren van deze fenomenen; ze hebben ze actief vormgegeven, en bieden hiermee een duidelijk pad voor ingenieurs die de kracht van topologische bescherming in kunstmatige kwantumsystemen willen benutten. De bevindingen suggereren dat de complexiteit van deze systemen geen barrière is, maar een hulpbron die kan worden afgestemd om precies het soort robuust, beschermd gedrag te creëren dat nodig is voor de volgende generatie kwantumtechnologieën.