An example of universal braiding in Links--Gould topological quantum computation

In de zoektocht naar het bouwen van een kwantumcomputer zoeken wetenschappers naar manieren om fragiele informatie te beschermen tegen de ruis van de buitenwereld. Een veelbelovende aanpak houdt in dat men de vreemde regels van de kwantummechanica gebruikt om gegevens niet op te slaan in statische deeltjes, maar in de manier waarop die deeltjes in ruimte en tijd met elkaar zijn verweven. Stel u een verzameling snaren voor die om elkaar heen gevlochten kunnen worden; het specifieke patroon van de vlecht verandert de toestand van het systeem, maar omdat de informatie is opgeslagen in de vorm van de knoop zelf, is deze van nature beschermd tegen kleine verstoringen. Dit concept, bekend als topologische kwantumcomputatie, rust op exotische deeltjes die anyonen worden genoemd. Wanneer deze deeltjes rond elkaar worden bewogen, voeren ze berekeningen uit simpelweg door de regels van hun vlechtpaden te volgen. De uitdaging is altijd geweest om een fysiek systeem te vinden waar deze vlechten elke mogelijke berekening die nodig is voor een computer kan uitvoeren, een eigenschap die universaliteit wordt genoemd, zonder dat de informatie verloren gaat door fouten of "lekkage" naar ongewenste toestanden.

Een team van onderzoekers heeft nu aangetoond dat een specifiek wiskundig kader dat gebruikmaakt van kwantumsupergroepen dit doel kan bereiken. Zij richtten zich op een systeem dat is opgebouwd uit objecten die zij "neglectons" noemen, speciale soorten kwantumrepresentaties die zich op een manier gedragen die afwijkt van de meer gangbare, eenvoudigere modellen. Door deze neglectons in een specifieke sequentie te ordenen en ze te vlechten, construeerden de onderzoekers een computationele ruimte die in staat is informatie vast te houden die gelijkstaat aan een set kwantumbits, of qubits. Hun werk bewijst dat men, door deze deeltjes op een precieze manier rond elkaar te bewegen, elke gewenste kwantumoperatie met extreme nauwkeurigheid kan benaderen. Cruciaal is dat zij lieten zien dat hoewel de computationele ruimte niet strikt gesloten is onder de vlechtgroep-actie — wat betekent dat lekkage theoretisch mogelijk is — het proces gecontroleerd kan worden om ervoor te zorgen dat eventuele lekkage naar andere, nutteloze toestanden willekeurig klein wordt gemaakt, mits aan bepaalde wiskundige voorwaarden met betrekking tot de parameters van het systeem wordt voldaan.

De onderzoekers bouwden hun systeem met behulp van een wiskundige structuur die geassocieerd is met een kwantumsupergroep, een complex algebraïsch object dat de vertrouwde regels van symmetrie in de natuurkunde uitbreidt. Binnen deze structuur selecteerden zij specifieke bouwstenen, die zij neglectons noemden, om te dienen als de fundamentele eenheden van hun berekening. Deze neglectons zijn niet eenvoudig; ze bezitten de unieke eigenschap dat hun gecombineerde gedrag een rijke, niet-semisimpel structuur creëert, wat betekent dat hun interacties complexer zijn dan die in standaardmodellen. Het team richtte zich op een scenario waarbij een specifieke parameter, die de kwantumnatuur van het systeem controleert, op een cirkel in het complexe vlak ligt maar geen eenvoudige breuk van een volledige draai is. Deze keuze zorgt ervoor dat het systeem in een "typische" toestand blijft, waardoor wiskundige singulariteiten die de berekening anders zouden breken, worden vermeden.

Om een werkende computer te creëren, moesten de onderzoekers een ruimte definiëren waarin informatie kon worden opgeslagen en gemanipuleerd. Zij construeerden deze ruimte door een startpunt te nemen en dit te fuseren met een lange keten van de neglecton-deeltjes. De resulterende structuur maakte het mogelijk om een specifieke subset van paden, of sequenties van fusies, te identificeren die overeenkwamen met een set qubits. Voor een systeem met een bepaald aantal deeltjes vormde deze subset een ruimte met een dimensie die verdubbelde bij elk extra deeltje, wat exact overeenkomt met de vereisten voor een kwantumcomputer met meerdere bits. Zij bewezen vervolgens dat deze ruimte stabiel en goed gedefinieerd was, en over een wiskundige eigenschap beschikte die hen in staat stelde om afstanden en hoeken tussen toestanden zonder ambiguïteit te meten, een noodzaak voor elke betrouwbare berekening.

De kern van hun ontdekking ligt in de manier waarop zij deze deeltjes bewogen. Door de neglectons rond elkaar te vlechten, toonden de onderzoekers aan dat het systeem elke single-qubit operatie kan uitvoeren, wat effectief betekent dat de toestand van een individuele bit naar elke gewenste positie kan worden geroteerd. Zij gingen verder door te demonstreren dat door twee naburige qubits te vlechten, zij een "verstrengelingspoort" (entangling gate) konden creëren, een krachtige operatie die de toestanden van twee bits aan elkaar koppelt op een manier die onmogelijk is met klassieke fysica. De combinatie van deze single-bit rotaties en de twee-bit verstrengelingspoorten is wiskundig voldoende om elke berekening uit te voeren die een kwantumcomputer ooit nodig zou kunnen hebben. Zij verifieerden dit door aan te tonen dat de verzameling operaties die gegenereerd wordt door hun vlechtpatronen dicht is in de groep van alle mogelijke unitaire transformaties, wat betekent dat elke doeloperatie tot een willekeurig hoge graad van precisie kan worden benaderd door een sequentie van vlechten.

Een belangrijk aspect van hun werk was de methode die werd gebruikt om deze resultaten te bewijzen. In tegenstelling tot veel eerdere benaderingen die het vereisten van het berekenen van complexe tussenwaarden bekend als F-matrices, die rekentechnisch overweldigend en foutgevoelig kunnen zijn, ontwikkelde dit team een directe methode. Zij berekenden de vlechtmatrices door expliciet te traceren hoe de deeltjes werden opgenomen in en geprojecteerd uit de fusieketens. Deze aanpak stelde hen in staat om de meest moeilijke delen van de algebraïsche machinerie te vermijden, door te vertrouteren op expliciete inclusies en projecties die de integriteit van het systeem behielden. Zij stelden ook vast dat de wiskundige koppeling die gebruikt werd om de toestanden te meten positief en goed gedefinieerd bleef, wat garandeerde dat de computationele ruimte geen "ghost"-toestanden bevatte die de informatie zouden kunnen corrumperen.

De onderzoekers bevestigden dat hun constructie werkt voor een willekeurig aantal qubits, mits de parameters van het systeem binnen een specifiek bereik blijven. Zij toonden aan dat de vlechtoperaties op een enkele qubit of op een paar aangrenzende qubits onafhankelijk gecontroleerd kunnen worden, een kenmerk dat bekend staat als lokaliteit, wat essentieel is voor het opschalen van het systeem. Door te bewijzen dat het systeem universeel is voor één en twee qubits, en door gebruik te maken van de natuurlijke eigenschappen van het vlechten om deze resultaten uit te breiden naar grotere ketens, stelden zij vast dat het gehele kader in staat is tot universele kwantumcomputatie. Hun bevindingen suggereren dat dit specifieke type topologische systeem, gebaseerd op de Links–Gould invarianten en de unrolled quantum group, een robuust en wiskundig solide pad biedt naar de bouw van een fouttolerante kwantumcomputer, die in staat is om de lekkageproblemen die andere theoretische modellen hebben geteisterd, te minimaliseren.