Bayesian inference for partial orders from random linear extensions: power relations from 12th Century Royal Acta

Resumo Técnico: Inferência Bayesiana para Ordens Parciais a partir de Extensões Lineares Aleatórias

Enunciado do Problema
O artigo aborda o desafio estatístico de inferir uma hierarquia social em evolução temporal a partir de dados de ordem de classificação, onde a estrutura subjacente não é necessariamente uma ordem completa (total). Os autores analisam 371 listas de testemunhas de Acta Reais ingleses e normandos do século XII (documentos legais), registrando a ordem em que 67 bispos foram listados. Historiadores hipotetizam que essa ordenação reflete uma hierarquia social baseada em status, antiguidade e influência política. No entanto, os dados são ruidosos, incompletos (subconjuntos de bispos aparecem em cada lista) e a hierarquia subjacente pode conter pares de atores incomparáveis (uma ordem parcial), em vez de uma única classificação linear. Modelos existentes para dados de classificação, como Mallows e Plackett-Luce, geralmente assumem uma ordem total ou probabilidades independentes do contexto, o que pode ser inadequado para este contexto histórico onde a transitividade é esperada, mas a ordem é parcial.

Metodologia
Os autores propõem um Modelo Oculto de Markov (HMM) Bayesiano onde o estado latente é uma ordem parcial (poset) em evolução e os dados observados são extensões lineares aleatórias desse poset.

1. Parametrização da Variável Latente:

   • O poset no tempo $t$, denotado $h(t)$, é gerado a partir de uma matriz de status latente $Z(t)$ de dimensão $K$.
   • Para cada bispo $j$, um vetor de autoridade latente $U^{(t)}_j$ evolui ao longo do tempo como uma regressão vetorial autoregressiva (VAR) de ordem 1.
   • Um efeito de covariável $\beta_{s_{t,j}}$ baseado na antiguidade é adicionado ao vetor de autoridade para formar o vetor de status: $Z^{(t)}_j = U^{(t)}_j + \mathbf{1}_K \beta_{s_{t,j}}$.
   • O poset $h(t)$ é definido pela interseção de $K$ ordens totais derivadas das colunas de $Z(t)$. O bispo $i$ precede $j$ no poset se e somente se $Z^{(t)}_{i,k} > Z^{(t)}_{j,k}$ para todo $k=1,\dots,K$.
   • A dimensão $K$ é escolhida como $\lfloor D/2 \rfloor$ (onde $D$ é o número máximo de bispos ativos), garantindo que o modelo possa representar qualquer poset possível (propriedade de representação universal).

2. Modelo de Observação (Pulo de Fila):

   • As listas observadas são modeladas como extensões lineares "ruidosas" do poset verdadeiro.
   • Os autores introduzem um mecanismo de "pulo de fila": com probabilidade $p$, o próximo ator na lista é escolhido uniformemente ao acaso (ignorando as restrições do poset); caso contrário, o ator é escolhido de acordo com uma extensão linear aleatória da sub-ordem restante.
   • Isso permite "ruído" onde a ordem observada contradiz a hierarquia subjacente, mantendo a restrição de que extensões lineares válidas são mais prováveis.
   • O modelo lida com listas incompletas (subconjuntos de bispos) condicionando-se à sub-ordem induzida pelos atores presentes.

3. Prioris e Consistência:

   • A prioris sobre o processo de poset é construída para ser consistentemente marginal, o que significa que a distribuição de uma sub-ordem (induzida por um subconjunto de atores) é consistente com a distribuição da ordem completa. Isso é alcançado usando uma prioris específica sobre os vetores latentes $U$ e o parâmetro de correlação $\rho$.
   • Um hiperparâmetro $\rho$ controla a "profundidade" do poset (o comprimento da cadeia mais longa). A prioris é projetada para ser não informativa quanto à profundidade, evitando a concentração em posets de profundidade 3 observada em prioris uniformes sobre todos os posets.
   • Os efeitos de antiguidade $\beta$ são constrangidos a serem ordenados ($\beta_1 > \beta_2 > \dots$) para refletir expectativas históricas de que a antiguidade correlaciona-se com o status, embora modelos sem restrições também sejam testados.

4. Inferência:

   • A inferência posterior é realizada usando Cadeia de Markov Monte Carlo (MCMC) com atualizações Metropolis-Hastings.
   • A verossimilhança envolve a contagem de extensões lineares, um problema #P-completo. Os autores utilizam algoritmos de contagem recursiva (especificamente o pacote lecount) que são viáveis para o pequeno número de atores ($m \le 22$) neste conjunto de dados, mas limitam a escalabilidade a problemas maiores.

Principais Contribuições

• Nova Classe de Modelos: O artigo introduz um quadro geral para modelar dados de classificação em séries temporais onde a estrutura subjacente é uma ordem parcial, generalizando modelos existentes como Mallows e Plackett-Luce.
• Consistência Marginal: Os autores derivam e provam que sua prioris de variável latente para posets é consistentemente marginal, uma propriedade frequentemente violada em prioris ad-hoc para ordens parciais.
• Representação Universal: Eles demonstram que, com uma dimensão latente $K \ge \lfloor D/2 \rfloor$, o modelo pode representar qualquer série temporal de poset possível, garantindo nenhum viés estrutural contra hierarquias complexas.
• Aplicação Histórica: Esta é a primeira análise estatística de listas de testemunhas de Acta Reais do século XII para modelar explicitamente a hierarquia social como uma ordem parcial, separando os efeitos da antiguidade da autoridade pessoal.

Resultados

• Ajuste do Modelo: O modelo baseado em poset supera alternativas mais simples (ordens Vertex-Series-Parallel, Ordens de Balde) e um modelo de mistura de séries temporais Plackett-Luce em termos de ajuste (medido por Validação Cruzada Leave-One-Out e Fatores de Bayes).
• Antiguidade vs. Autoridade: A análise confirma uma forte dependência do status em relação à antiguidade, com o efeito da antiguidade diminuindo à medida que o número de classificação aumenta. No entanto, o modelo isola com sucesso a "autoridade" (desvios da antiguidade).
• Insights Históricos:
  • Bispos Normandos: O modelo detecta um declínio no status dos bispos normandos (por exemplo, de Avranches, Bayeux, Évreux) em relação aos bispos ingleses a partir do início do século XII, uma tendência não quantificada anteriormente.
  • Influência Política: O status de bispos específicos, como Henrique de Blois (irmão do Rei Estêvão) e Nigel de Ely, flutua de maneiras que correlacionam com favor ou desgraça política, independentemente de sua antiguidade.
  • Estrutura da Hierarquia: Os posets de consenso reconstruídos são relativamente rasos, consistindo tipicamente em alguns grupos de bispos de classificação média com um pequeno número de atores acima ou abaixo, em vez de uma hierarquia profunda e rígida.

Significado e Alegações
O artigo afirma que sua contribuição primária é o desenvolvimento de um método estatisticamente rigoroso para inferir ordens parciais em evolução a partir de dados de classificação ruidosos e incompletos. Ao aplicar isso a Acta históricos, os autores fornecem evidências quantitativas sobre como as hierarquias sociais funcionavam no século XII, distinguindo especificamente entre a antiguidade estrutural e a autoridade política fluida.

Os autores são modestos quanto à escalabilidade computacional de seu método, reconhecendo que a natureza #P-completa da contagem de extensões lineares limita o modelo a conjuntos de dados com pequenos números de atores (cerca de 20). Eles sugerem que, para conjuntos de dados maiores, classes restritas de posets (como VSP ou Ordens de Balde) podem ser compromissos necessários. Eles também observam que, embora seu modelo se ajuste bem aos dados, o modelo de "ruído" assume que os erros ocorrem em uma direção (pulo de fila), e trabalhos futuros poderiam explorar modelos de ruído bidirecionais.

Em última análise, o artigo argumenta que assumir uma ordem total (como em modelos de classificação padrão) é injustificado para este tipo de dado social e que modelos de ordem parcial oferecem uma representação mais precisa e interpretável das estruturas sociais históricas.