Resumo Técnico: Testes de Projeção de Wasserstein: Assintótica de Ordem Superior e Conexões com o Verossimilhança Empírica

1. Formulação do Problema

O artigo aborda a construção e análise de testes de hipóteses para restrições de momentos. Dada uma distribuição empírica $Q_n$ derivada de observações i.i.d. $X_1, \dots, X_n$ e um modelo nulo $\mathcal{P}_0 = \{P : E_P[h(X)] = 0\}$ definido por uma função de momento $h: \mathbb{R}^{d_X} \to \mathbb{R}^{d_h}$, o objetivo é testar $H_0: P_\star \in \mathcal{P}_0$ versus $H_1: P_\star \notin \mathcal{P}_0$.

Os autores focam no teste de Projeção de Wasserstein (WP). Diferente da Verossimilhança Empírica (EL), que projeta a lei empírica sobre $\mathcal{P}_0$ através do reponderamento dos átomos observados, o WP realiza essa projeção transportando massa dentro do espaço amostral. O estatístico de teste é definido como o custo mínimo de transporte necessário para alinhar a distribuição empírica com a restrição de momento nula:
$$R_n(h) = \inf_{P \in \mathcal{P}_0} W_c(Q_n, P)$$
onde $W_c$ é o custo de transporte ótimo com um custo de base Mahalanobis ao quadrado $c(\bar{x}, x) = \|\bar{x} - x\|_\Sigma^2$. O teste rejeita $H_0$ para valores grandes do estatístico escalonado $n R_n(h)$.

Embora a teoria existente estabeleça que $n R_n(h)$ converge para uma forma quadrática sob a nulidade (fornecendo um teste assintoticamente válido de primeira ordem), essa primeira ordem falha em:

1. Quantificar a distorção do tamanho da amostra finita (erro de cobertura).
2. Distinguir o poder do WP em relação aos seus competidores (EL e Hotelling's $T^2$) quando eles compartilham a mesma função de poder local limite (especificamente no caso de momento escalar, $d_h=1$).

2. Metodologia

O artigo desenvolve uma análise assintótica de ordem superior para abordar essas lacunas. A metodologia baseia-se na derivação de expansões estocásticas do estatístico de WP sob a hipótese nula e sob alternativas locais do tipo Pitman.

Etapas Técnicas Principais:

• Representação Dual: Os autores utilizam uma representação dual escalonada exata da distância de projeção. O estatístico é expresso como um supremo sobre uma variável dual $\zeta$:
  $$n R_n(h) = \sup_{\zeta \in \mathbb{R}^{d_h}} \left\{ -\zeta^\top H_n - M_n(\zeta) \right\}$$
  onde $H_n$ é o momento empírico escalonado e $M_n(\zeta)$ é uma função convexa envolvendo o custo de base e a função de momento.
• Expansão Estocástica: Ao expandir $M_n(\zeta)$ em torno da origem usando séries de Taylor e controlando os termos de resto via limites de alta probabilidade sobre quantidades empíricas (Jacobianos, Hessianos e envelopes de momentos), os autores derivam uma expansão do estatístico em potências de $n^{-1/2}$.
• Teoria de Edgeworth: A expansão é traduzida em expansões de Edgeworth para a distribuição do estatístico. Isso permite quantificar erros de tamanho (desvio dos níveis de confiança nominais) e correções de poder local.
• Correções do tipo Bartlett: Ao estender a expansão para a ordem $n^{-1}$, os autores identificam o erro de calibração líder e constroem correções do tipo Bartlett para melhorar a precisão da cobertura.
• Computação Certificada: Reconhecendo que a projeção muitas vezes carece de uma forma fechada, o artigo desenvolve um "algoritmo dual localizado certificado". Este algoritmo reformula a decisão do teste como um problema de otimização robusta à distribuição (DRO), localiza as variáveis duais em uma caixa compacta onde a convexidade/concavidade forte ocorre, e fornece limites rigorosos sobre o erro numérico para garantir que a decisão do teste seja estatisticamente válida.

3. Contribuições Principais e Resultados

A. Expansões Assintóticas de Ordem Superior

O artigo deriva uma expansão estocástica para $n R_n(h)$ sob a nulidade e alternativas locais:
$$n R_n(h) = \langle V_n, \xi_n^{\otimes 2} \rangle + \frac{1}{\sqrt{n}} \langle K_n, \xi_n^{\otimes 3} \rangle + \varepsilon_n$$
onde $V_n$ e $K_n$ são tensores empíricos derivados do Jacobiano e do Hessiano de $h$, e $\xi_n$ é uma direção empírica escalonada. O termo de resto $\varepsilon_n$ é uniformemente limitado com alta probabilidade.

B. Implicações de Tamanho e Poder

• Precisão do Tamanho: A teoria de Edgeworth resultante mostra que o teste WP de substituição (plug-in) possui um erro de tamanho de ordem $\tilde{O}(n^{-1})$. Isso representa uma melhoria significativa sobre o erro de ordem $O(n^{-1/2})$ típico de aproximações de primeira ordem.
• Poder Local: Sob alternativas locais, o artigo identifica uma correção explícita de ordem $n^{-1/2}$ para o poder local.
• Comparação com EL e $T^2$: Para momentos escalares ($d_h=1$) sob deslocamentos locais de localização, WP, EL e Hotelling's $T^2$ compartilham o mesmo poder local de primeira ordem. No entanto, seu ranking de segunda ordem difere:
  • WP: A correção de poder é governada por um coeficiente de curvatura baseado em derivadas (envolvendo o Hessiano de $h$).
  • EL: A correção de poder é governada por um coeficiente de assimetria baseado em valores (envolvendo o terceiro momento de $h$).
  • $T^2$: Possui uma correção de segunda ordem nula neste regime específico de comparação.
    O artigo demonstra que o WP pode superar o EL e o $T^2$ quando a função de momento exibe uma curvatura de derivada favorável em relação à sua assimetria de valor.

C. Correções do tipo Bartlett

Os autores estendem a expansão para a ordem $n^{-1}$ para construir duas correções do tipo Bartlett para restrições de momento escalar. Essas correções removem o erro de calibração líder de ordem $O(n^{-1})$, melhorando a precisão da cobertura das regiões de confiança para $\tilde{O}(n^{-3/2})$.

D. Computação Certificada

O artigo propõe o Algoritmo 1, um esquema de otimização aninhado que:

1. Localiza o espaço de busca dual em uma caixa compacta onde os problemas internos são fortemente convexos.
2. Utiliza trissecção e ascensão de gradiente projetado para resolver o problema.
3. Fornece uma decisão certificada: o algoritmo controla o erro numérico de modo que a probabilidade de uma "rejeição falsa" ou "aceitação falsa" devido à imprecisão computacional seja negligenciável.
4. Atinge uma complexidade computacional total de $\tilde{O}(n)$ com alta probabilidade, igualando as garantias estatísticas do teste órfão (oracle) até $\tilde{O}(n^{-1})$.

4. Significância e Alegações

O artigo alega que sua análise de ordem superior é essencial para entender quando a natureza geométrica do transporte ótimo (especificamente a métrica de base e a variação local da função de momento) fornece vantagens de amostra finita sobre métodos baseados em reponderamento, como a Verossimilhança Empírica.

• Insight Teórico: O trabalho esclarece que a "geometria de transporte" do WP não é apenas uma ferramenta computacional, mas uma característica estatística que influencia o poder através da curvatura baseada em derivadas. Isso distingue o WP do EL, que depende de momentos baseados em valores.
• Utilidade Prática: As correções de Bartlett derivadas e o algoritmo certificado permitem inferências de amostra finita mais precisas e testes confiáveis em cenários onde soluções de forma fechada não estão disponíveis (ex: restrições de equidade não lineares).
• Contexto de Aplicação: Os autores ilustram essas descobertas usando um experimento de teste de equidade (fairness). Neste cenário, as restrições de momento codificam igualdade de oportunidade ou de chances. O experimento confirma a previsão teórica de que o WP, com uma métrica de transporte anisotrópica, pode alcançar maior poder do que o EL ou $T^2$ em regimes onde a curvatura de derivada da restrição de equidade é favorável.

O artigo conclui que, embora o WP, o EL e o $T^2$ sejam assintoticamente equivalentes em primeira ordem, a análise de ordem superior revela comportamentos distintos de amostra finita impulsionados pela interação entre a geometria da função de momento e a distribuição dos dados. O algoritmo certificado proposto garante que esses ganhos teóricos sejam acessíveis na prática sem comprometer a validade estatística.