Dynamical Phase Transitions in Periodically Driving 1D Ising Model

Resumo Técnico: Transições de Fase Quânticas Dinâmicas no Modelo de Ising 1D Periodicamente Acionado

Declaração do Problema
As Transições de Fase Quânticas Dinâmicas (DQPTs) representam um análogo fora do equilíbrio às transições de fase de equilíbrio, caracterizadas por não analiticidades na energia livre dinâmica (função de taxa) e saltos quantizados em parâmetros de ordem topológica. Embora as DQPTs tenham sido extensivamente estudadas no contexto de quenches súbitos (mudanças instantâneas nos parâmetros do Hamiltoniano), seus mecanismos em sistemas periodicamente acionados permanecem menos compreendidos. Especificamente, não está claro como o acionamento periódico — distinto de quenches súbitos — induz DQPTs, particularmente no que diz respeito aos papéis da frequência de acionamento, amplitude e da posição do sistema em relação aos pontos críticos de equilíbrio. Este trabalho investiga DQPTs em um modelo de Ising unidimensional com campo transversal submetido a um campo transversal modulada periodicamente, visando elucidar os mecanismos subjacentes que governam essas transições.

Metodologia
Os autores analisam um modelo de Ising 1D com Hamiltoniano $\hat{H} = -\frac{J}{2} \sum_{j} [\hat{\sigma}^z_j \hat{\sigma}^z_{j+1} + \lambda(t)\hat{\sigma}^x_j]$, onde o campo transversal é modulado como $\lambda(t) = \lambda + \lambda' \cos(\omega t)$. O estudo emprega duas abordagens complementares:

1. Simulação Numérica: A equação de Schrödinger dependente do tempo é resolvida numericamente para obter a evolução temporal exata do estado do sistema $|\psi(t)\rangle$ partindo do estado fundamental $|G\rangle$. Observáveis chave incluem a amplitude de Loschmidt $G(t) = \langle G|\psi(t)\rangle$, a função de taxa $r(t) = -\frac{1}{\pi} \int_0^\pi dk \ln |G_k(t)|^2$ e o parâmetro de ordem topológico dinâmico (número de enrolamento) $\nu(t)$.
2. Teoria de Perturbação Dependente do Tempo: Para obter insights analíticos, os autores aplicam a teoria de perturbação no regime de acionamento fraco ($\lambda' < 1$). Isso permite a derivação de leis de escala relacionando o tempo de início das DQPTs à força de acionamento, modos críticos e lacunas de energia.
3. Análise de Floquet: O Hamiltoniano efetivo de Floquet é derivado para explorar a natureza topológica das fases acionadas, ligando as DQPTs ao número de enrolamento do vetor de Floquet.

O estudo considera três protocolos de acionamento baseados no valor instantâneo de $\lambda(t)$ em relação ao ponto crítico $\lambda_c = 1$: (i) acionamento inteiramente dentro da fase ferromagnética (FM), (ii) acionamento inteiramente dentro da fase paramagnética (PM) e (iii) acionamento que cruza o ponto crítico.

Principais Contribuições e Resultados

1. Acionamento Ressonante Dentro de uma Única Fase:
   Ao contrário dos quenches súbitos, que não podem induzir DQPTs se o sistema permanecer dentro de uma única fase de equilíbrio, os autores demonstram que o acionamento periódico pode desencadear DQPTs dentro da mesma fase, desde que a frequência de acionamento $\omega$ seja ressonante com as transições de níveis de energia do sistema.

   • Condição de Ressonância: Uma DQPT ocorre se e somente se a frequência de acionamento cair dentro da região ressonante $2|\lambda - 1| < \omega < 2|\lambda + 1|$. Fora dessa faixa, o sistema permanece próximo ao seu estado inicial e nenhuma DQPT ocorre.
   • Conexão Topológica: Esta DQPT ressonante está intrinsecamente ligada a fases topológicas de Floquet. O Hamiltoniano efetivo de Floquet adquire um número de enrolamento não trivial precisamente quando a frequência de acionamento entra na região ressonante. A DQPT é identificada como a manifestação dinâmica dessa estrutura topológica subjacente (uma "DQPT de Floquet").
   • Lei de Escala: A escala de tempo $\tau$ para o início da primeira DQPT é governada pela força da perturbação $\lambda'$, pelo modo crítico $k_c$ e pela sua lacuna de energia $\Delta_{k_c}$. Os autores derivam a relação de escala:
     $$\tau \propto \Delta_{k_c} \lambda'^{-1} \csc k_c$$
     Isso indica que perturbações mais fortes levam a transições mais rápidas, enquanto o modo crítico específico (determinado por $\omega$ e $\lambda$) dita o fator prévio.

2. Acionamento Através do Ponto Crítico:
   Quando o acionamento periódico faz com que o sistema cruze o ponto crítico de equilíbrio ($\lambda_c = 1$), o comportamento depende criticamente da frequência de acionamento:

   • Regime de Baixa Frequência: Acionamentos de baixa frequência (mesmo que fora de ressonância) induzem DQPTs. Isso é atribuído ao mecanismo de Kibble-Zurek: à medida que o sistema cruza lentamente o ponto crítico onde a lacuna de energia desaparece, a adiabaticidade se rompe, excitando inevitavelmente o sistema e criando defeitos topológicos coerentes. Esses defeitos interferem destrutivamente em tempos específicos, fazendo com que o eco de Loschmidt desapareça.
   • Regime de Alta Frequência: Em contraste, acionamentos de alta frequência suprimem fortemente a ocorrência de DQPTs. Embora o acionamento de alta frequência crie uma alta densidade de defeitos, as excitações são incoerentes e carecem de relações de fase ordenadas. Essa incoerência, combinada com a supressão da dinâmica coerente pelo acionamento rápido, impede a interferência quântica global necessária para uma DQPT.

Significância
O artigo afirma fornecer uma compreensão mais profunda da dinâmica fora do equilíbrio de cadeias de spins quânticos, distinguindo os mecanismos de DQPTs em sistemas periodicamente acionados daqueles em sistemas com quench.

• Estabelece que o acionamento periódico oferece um mecanismo de controle refinado para DQPTs, onde a frequência de acionamento atua como um interruptor: frequências ressonantes induzem DQPTs via transições topológicas de Floquet dentro de uma única fase, enquanto a frequência em relação ao ponto crítico determina se o acionamento entre fases leva a DQPTs (baixa frequência) ou as suprime (alta frequência).
• O trabalho esclarece o papel da coerência quântica, mostrando que ela é essencial para o surgimento de DQPTs tanto em cenários ressonantes quanto de interfase de baixa frequência, enquanto o acionamento de alta frequência destrói a coerência necessária para essas transições.
• A lei de escala derivada para o tempo de início da DQPT fornece uma estrutura quantitativa para prever escalas de tempo de transição com base nos parâmetros do sistema e na força de acionamento.

Os autores concluem que perturbações periódicas oferecem uma plataforma versátil para explorar e controlar transições de fase quânticas dinâmicas, estendendo a compreensão de fenômenos fora do equilíbrio além das limitações dos protocolos de quench súbito.