Non-linear visco-elasto-plastic rheology of a viscous vertex model

Título: Reologia não-linear visco-elasto-plástica de um modelo de vértices viscoso

1. O Problema

O entendimento do comportamento mecânico de tecidos biológicos é fundamental para a biologia do desenvolvimento, engenharia de tecidos e metástase do câncer. No entanto, a relação entre a mecânica em escala celular e o comportamento macroscópico do tecido permanece um desafio.

• Limitações de Modelos Anteriores: A maioria dos estudos anteriores sobre o modelo de vértices (uma representação comum de tecidos epiteliais como mosaicos poligonais) focou na reologia linear ou em propriedades elásticas.
• Falta de Dissipação Realista: Muitos modelos utilizam atrito com um substrato externo, o que viola a invariância de Galileu (a física não deve mudar se o tecido estiver em movimento constante ou girando). Tecidos reais, como agregados de células-tronco 3D, dissipam energia internamente através de processos viscosos entre células, e não através de um substrato.
• Complexidade Não-Linear: A resposta de tecidos a grandes deformações envolve regimes elásticos não-lineares, relaxamento visco-plástico (devido a rearranjos celulares, conhecidos como transições T1) e tensões ativas geradas por mecanismos celulares. Uma teoria unificada que conecte esses regimes, incluindo a forma celular explícita, estava ausente.

2. Metodologia

Os autores desenvolveram um modelo de vértices 2D com dinâmica explícita de atrito interno e validaram-no através de simulações numéricas.

• Modelo de Vértices com Atrito Interno:
  • O modelo descreve o tecido como um mosaico de polígonos.
  • Dissipação: Diferente de modelos anteriores, introduziram forças de atrito que dependem apenas de diferenças de velocidade (invariância translacional e rotacional de Galileu). O atrito é implementado em três escalas: áreas celulares, perímetros celulares e comprimentos das interfaces célula-célula.
  • Atividade: Incluíram dois mecanismos de estresse ativo anisotrópico: (a) tensões de interface anisotrópicas e (b) forças de "rastejamento" (crawling) ativas.
• Decomposição de Deformação:
  • Utilizaram um framework baseado em triangulação para decompor a taxa de cisalhamento do tecido ($\tilde{v}$) em duas partes:
    1. Reversível: Mudança na forma celular ($\dot{Q}$).
    2. Irreversível: Rearranjos celulares via transições T1 ($R$).
  • A equação fundamental é: $\dot{Q} = \tilde{v} - R(Q, \tilde{v})$.
• Simulações:
  • Realizaram simulações de cisalhamento puro oscilatório de pequena amplitude (para regime linear) e de taxa de cisalhamento constante (para regime não-linear).
  • Mediram a tensão de cisalhamento ($\tilde{\sigma}$), a forma celular média ($Q$) e a contribuição de rearranjo ($R$).

3. Principais Contribuições

• Constituição de uma Relação Constitutiva de Campo Médio: Derivaram relações matemáticas que ligam a tensão de cisalhamento à forma celular e à taxa de deformação, separando os efeitos elásticos, viscosos e plásticos.
• Invariância de Galileu: Demonstraram como construir um modelo de vértices que respeita rigorosamente a conservação de momento linear e angular sem depender de um substrato externo, tornando-o aplicável a tecidos livres de substrato.
• Dependência da Viscosidade do Estado do Tecido: Identificaram que a viscosidade efetiva do tecido não é uma constante, mas depende se a deformação é puramente elástica (mudança de forma) ou plástica (envolvendo rearranjos T1).
• Generalidade: A abordagem proposta é suficientemente geral para ser aplicada a qualquer variante de modelo baseado em células.

4. Resultados Chave

• Regime Linear: Para pequenas deformações, o modelo exibe um comportamento viscoelástico padrão, com um módulo de cisalhamento ($G_0$) e uma viscosidade ($\eta_0$) constantes em baixas frequências.
• Regime Elástico Não-Linear: A tensão elástica não é linear com a forma celular. Os dados foram ajustados a uma função polinomial ímpar (cúbica e quintic), indicando que a resistência do tecido aumenta mais rapidamente do que o previsto por modelos lineares à medida que as células se deformam.
• Viscosidade e Rearranjos (T1):
  • Ao comparar simulações com e sem rearranjos, descobriram que a viscosidade aumenta drasticamente (aproximadamente 3x) quando ocorrem transições T1.
  • Isso sugere que o relaxamento das formas celulares logo após um rearranjo gera um estresse viscoso adicional significativo.
• Efeitos da Atividade:
  • Tanto as tensões de interface anisotrópicas quanto as forças de rastejamento alteram a tensão de cisalhamento de forma linear em relação à intensidade da atividade, mas com coeficientes diferentes.
  • A atividade modifica a forma celular de estado estacionário, podendo até inverter a orientação das células em relação à direção do cisalhamento em certas condições.
• Previsão de Comportamento Dinâmico:
  • O modelo de campo médio foi capaz de prever com sucesso a evolução temporal da forma celular e da tensão sob cisalhamento oscilatório de grande amplitude, validando a decomposição proposta.

5. Significado e Impacto

Este trabalho estabelece uma ponte quantitativa robusta entre a mecânica celular microscópica e a reologia macroscópica de tecidos.

• Avanço Teórico: Fornece a primeira descrição sistemática da reologia não-linear visco-elasto-plástica de um modelo de vértices com dissipação interna realista.
• Aplicabilidade Experimental: Ao incluir a forma celular ($Q$) como uma variável central nas equações constitutivas, o modelo facilita a comparação com dados experimentais, onde a forma celular é frequentemente mais fácil de medir do que a tensão interna direta.
• Implicações Biológicas: Os resultados sugerem que a dissipação de energia em tecidos vivos é altamente dependente da dinâmica de rearranjo celular. Isso é crucial para entender processos como a morfogênese, onde tecidos sofrem grandes deformações e rearranjos contínuos, e para projetar materiais bio-inspirados com propriedades mecânicas controladas.

Em resumo, o artigo oferece um novo framework matemático para descrever como tecidos biológicos fluem e se deformam, destacando a importância crítica dos rearranjos celulares e da dissipação interna na determinação das propriedades mecânicas globais.