Bayesian structured additive quantile regression for inflated bounded data

Título: Regressão Quantílica Aditiva Estruturada Bayesiana para Dados Limitados Inflados

1. Problema e Motivação

Dados contínuos limitados ao intervalo unitário $[0, 1]$ são comuns em diversas áreas (medicina, ecologia, sociologia), como taxas de mortalidade, porcentagem de gordura corporal ou proporções de recursos. Frequentemente, esses dados apresentam uma proporção não desprezível de observações nas fronteiras (zeros e/uns), fenômeno conhecido como inflação de zeros e/ou uns.

A literatura existente oferece modelos de regressão inflada (ex: Beta inflado, Weibull unitário), mas a maioria foca na modelagem da média e precisão, assumindo distribuições paramétricas específicas. Além disso, abordagens anteriores de regressão quantílica para dados inflados geralmente:

• Limitam-se a preditores lineares simples.
• Não conseguem lidar simultaneamente com inflação de zeros e uns (geralmente tratam apenas um tipo).
• Não incorporam efeitos estruturados complexos (não lineares, espaciais, aleatórios).

O objetivo deste trabalho é preencher essas lacunas propondo uma classe de modelos flexíveis que capturem a heterogeneidade da distribuição condicional completa, sem depender de suposições paramétricas rígidas para a parte contínua.

2. Metodologia Proposta

Os autores propõem um modelo de Regressão Quantílica Aditiva Estruturada (STAR) dentro de uma abordagem Bayesiana, utilizando o framework de modelagem em duas partes:

• Parte Discreta (Inflação): Modela a probabilidade de observar valores nas fronteiras ($p_{0i} = P(y_i=0)$ e $p_{1i} = P(y_i=1)$).
  • Utiliza uma regressão multinomial (ou binomial para inflação unilateral) com preditores aditivos estruturados.
  • A probabilidade é conectada aos preditores via função de ligação logit (ou log para razão de probabilidades).
• Parte Contínua (Intervalo Aberto): Modela os quantis condicionais da resposta restrita ao intervalo $(0, 1)$.
  • Em vez de assumir uma distribuição completa (como Beta), utiliza-se a Distribuição Laplace Assimétrica (ALD) como modelo de trabalho para inferência Bayesiana.
  • A resposta transformada $h(y_i)$ (onde $h$ é uma função de ligação, ex: logit) é modelada como $h(y_i) \sim ALD(\eta_{2i}, \delta^2, \tau)$.
  • O parâmetro de localização $\eta_{2i}$ corresponde ao $\tau$-ésimo quantil desejado.

Preditores Aditivos Estruturados:
O modelo permite a inclusão de diversos tipos de efeitos nos preditores para ambas as partes (discreta e contínua):

• Efeitos lineares.
• Componentes suaves não paramétricos (splines).
• Efeitos espaciais (campos aleatórios de Markov Gaussianos).
• Efeitos aleatórios (para dados hierárquicos/repetidos).
• Coeficientes variáveis.

Inferência Bayesiana:

• A inferência é realizada via Cadeias de Markov Monte Carlo (MCMC).
• Utiliza-se a representação de mistura de escala-local da ALD para transformar o problema em uma regressão Gaussiana condicional, facilitando a amostragem.
• O software Liesel (framework de programação probabilística em Python) é utilizado para a implementação, aproveitando diferenciação automática (JAX) e amostradores NUTS (No-U-Turn Sampler).

3. Contribuições Principais

1. Flexibilidade Estrutural: É a primeira abordagem de regressão quantílica para dados inflados que integra preditores aditivos estruturados (não lineares, espaciais, aleatórios), superando as limitações de modelos puramente lineares.
2. Inflação Dupla: O modelo lida simultaneamente com inflação de zeros e uns, uma situação não abordada por modelos quantílicos anteriores.
3. Abordagem Semiparamétrica: Ao focar nos quantis condicionais e não na média, o modelo captura heterogeneidade, assimetria e efeitos de covariáveis que variam ao longo da distribuição, sem impor uma forma paramétrica específica para a densidade contínua.
4. Implementação Computacional Eficiente: A integração com o framework Liesel permite uma inferência Bayesiana robusta e escalável para modelos complexos.

4. Resultados e Validação

Estudos de Simulação:

• Foram realizados cenários com inflação de zeros e uns, variando o tamanho da amostra ($n=200, 500$) e a probabilidade de inflação.
• Cenário Especificado Corretamente (S1): Dados gerados a partir da ALD. O modelo recuperou com precisão os efeitos e quantis, com RMSE (Erro Quadrático Médio Raiz) próximo de zero para amostras maiores.
• Cenário de Especificação Incorreta (S2): Dados gerados a partir de uma distribuição GJS-t (diferente da ALD). O modelo ainda apresentou bom ajuste e baixos erros, demonstrando robustez à má especificação da verossimilhança.
• As taxas de cobertura dos intervalos de credibilidade (95%) foram próximas do nível nominal, exceto para quantis extremos em cenários de má especificação.

Aplicações em Dados Reais:

• Aplicação 1: Mortalidade por Trânsito no Brasil (5.499 municípios):

  • Objetivo: Analisar a proporção de mortes por acidentes de trânsito, considerando a inflação de zeros (municípios sem mortes).
  • Achados: O modelo revelou efeitos não lineares e espaciais complexos.
    • População: Maior população associa-se a menor proporção de mortes (efeito mais forte em quantis superiores).
    • Jovens (20-29 anos): Maior proporção de jovens associa-se a maior mortalidade.
    • Espacial: Regiões Norte e Nordeste apresentaram padrões espaciais distintos (maior probabilidade de zero mortes, mas maior mortalidade condicional em alguns estados como Roraima e Acre).
  • Comparação: O modelo quantílico capturou nuances que o modelo Beta inflado (focado na média) não conseguiu, especialmente na cauda superior da distribuição.

• Aplicação 2: Inteligibilidade de Fala em Implantes Cocleares:

  • Objetivo: Avaliar a proporção de morfemas reconhecidos sob diferentes algoritmos de processamento de som, com alta frequência de respostas extremas (0% ou 100% de acerto).
  • Achados: O modelo incluiu efeitos aleatórios para os sujeitos.
    • A variabilidade entre sujeitos foi mais pronunciada na probabilidade de falhas completas ou acertos perfeitos (parte discreta) do que na parte contínua.
    • Diferenças entre algoritmos de som foram identificadas em diferentes quantis e níveis de relação sinal-ruído (SNR), mostrando que o Algoritmo B é superior em condições difíceis (baixo SNR), enquanto o A é melhor em condições favoráveis.

5. Significado e Conclusão

Este trabalho estabelece um novo padrão para a análise de dados limitados e inflados. Ao combinar a flexibilidade da regressão quantílica com a estrutura aditiva e a inferência Bayesiana, os autores fornecem uma ferramenta poderosa para:

• Evitar a dependência de suposições de distribuição paramétrica rígida.
• Modelar efeitos complexos (espaciais, não lineares) que seriam ignorados por modelos lineares tradicionais.
• Fornecer uma visão mais completa da distribuição condicional da resposta, essencial para tomada de decisão em cenários onde a média não é suficiente (ex: análise de riscos extremos).

A metodologia é extensível para outros tipos de dados inflados (ex: dados contínuos positivos com inflação de zeros), sugerindo um impacto amplo na estatística aplicada.