LDDMM stochastic interpolants: an application to domain uncertainty quantification in hemodynamics

Título: Interpolantes Estocásticos LDDMM Condicionais: Uma Aplicação à Quantificação de Incerteza de Domínio em Hemodinâmica

1. Problema e Motivação

As simulações numéricas de sistemas físicos, como a hemodinâmica (fluxo sanguíneo), dependem criticamente da definição precisa do domínio computacional (a geometria dos vasos sanguíneos). No entanto, a obtenção dessas geometrias a partir de imagens médicas (MRI, CT) introduz incertezas aleatórias e epistêmicas devido a ruídos de medição, erros de segmentação e variabilidade inter-paciente.

O desafio central é quantificar como essas variações geométricas afetam os biomarcadores clínicos (ex: velocidade, pressão, tensão de cisalhamento na parede). Métodos tradicionais de Quantificação de Incerteza (UQ) frequentemente falham em lidar com incertezas geométricas complexas em 3D, pois:

• As formas anatômicas não podem ser descritas por poucos parâmetros geométricos.
• Gerar amostras de domínios variados que preservem a topologia e a qualidade da malha computacional é computacionalmente custoso e tecnicamente difícil.
• A maioria dos modelos generativos existentes foca em imagens 2D/3D em grades cartesianas, não sendo diretamente aplicáveis a malhas não estruturadas ou superfícies complexas.

2. Metodologia Proposta

Os autores propõem um novo framework de modelagem generativa baseado em Interpolantes Estocásticos Condicionais (Conditional Stochastic Interpolants) combinados com o método de Mapeamento Métrico Diferenciável de Grande Deformação (LDDMM).

A. Interpolantes Estocásticos Condicionais (LDDMM SI)

• Conceito Base: O método conecta duas distribuições de probabilidade (geometrias diferentes) através de um processo estocástico contínuo no tempo $t \in [0,1]$.
• Inovação Chave: Diferente dos métodos padrão que operam em grades fixas (pixels), este framework utiliza mapas de registro LDDMM para lidar com variáveis aleatórias definidas em domínios físicos distintos.
• Mecanismo:
  1. Define-se uma geometria de referência (template) e um conjunto de geometrias alvo.
  2. Utiliza-se o ResNet-LDDMM (uma arquitetura de rede neural profunda baseada em ResNet) para calcular mapas de registro difeomórficos (ou homeomórficos bi-Lipschitz) entre o template e as alvos.
  3. Aprende-se um campo de velocidade condicional (drift) que guia a evolução estocástica da geometria do template para as formas alvo, dependendo de uma variável latente de condicionamento $C$.
  4. A variável de condicionamento $C$ é uma representação geométrica latente (coordenadas de pontos da linha central e raios de esferas inscritas).

B. Geração de Malhas e Extensão de Domínio

Um dos maiores desafios na dinâmica de fluidos computacional (CFD) é gerar malhas volumétricas de alta qualidade para as formas geradas.

• O método estende os mapas de deformação da superfície para o interior do domínio (volume) resolvendo iterativamente um problema de elasticidade linear não homogênea.
• Inclui etapas de suavização para evitar a degeneração de elementos da malha.
• Preserva a hierarquia de malhas hexaédricas aninhadas, essencial para o uso de pré-condicionadores multigrid geométricos no solver numérico (ExaDG).

C. Simulação Hemodinâmica

• As simulações resolvem as equações de Navier-Stokes incompressíveis usando o método de Galerkin Descontínuo (DG) de alta ordem.
• Condições de contorno incluem perfis de entrada e modelos de Windkessel (RCR) nas saídas para simular a resistência vascular periférica.

3. Contribuições Principais

1. Framework Generativo para Geometrias 3D: Extensão dos interpolantes estocásticos para dados geométricos em domínios variáveis, superando a limitação de grades cartesianas fixas.
2. Integração LDDMM-ML: Uso de mapas de registro LDDMM dentro do treinamento de redes neurais para definir o "drift" condicional, permitindo a geração de formas anatômicas realistas a partir de uma distribuição latente.
3. Pipeline Completo de UQ: Desenvolvimento de uma cadeia completa que vai desde a geração de geometrias perturbadas, passando pela geração de malhas volumétricas válidas, até a simulação CFD e análise estatística de biomarcadores.
4. Aplicação em Aorta: Validação prática em um dataset de 1.261 formas de aorta sintéticas (baseadas em dados reais de pacientes), demonstrando a capacidade de gerar variações controladas (ex: aumento/redução de raio) e interpolações suaves no espaço latente.

4. Resultados Numéricos

Os autores realizaram um estudo de incerteza de forma em 30 geometrias de teste, gerando múltiplas perturbações para cada uma (variação de raio de $\pm 30\%$).

• Geração de Formas: O modelo conseguiu gerar superfícies válidas e malhas hexaédricas de alta qualidade para a maioria dos casos. Algumas geometrias com redução extrema de raio resultaram em malhas inválidas e foram excluídas.
• Biomarcadores Analisados:
  • Velocidade máxima e média.
  • Queda de pressão ($\Delta P$).
  • Tensão de cisalhamento na parede (WSS).
  • Índice de Cisalhamento Oscilatório (OSI).
  • Grau de Fluxo Secundário (SFD) e Deslocamento de Fluxo Normalizado (NFD).
• Principais Achados:
  • Sensibilidade Geométrica: Geometrias com raios menores (estreitamento) apresentaram maior sensibilidade e variabilidade nas pressões e velocidades.
  • Correlação: Houve uma correlação clara entre a redução do raio e o aumento da pressão e da velocidade.
  • Estabilidade: O estudo de tamanho de amostra mostrou que, para estimativas de médias e variâncias de biomarcadores, um tamanho de amostra menor ($N=10$) já capturava bem a distribuição estatística em comparação com amostras maiores ($N=100$), sugerindo eficiência do método.
  • Limitações: O modelo tem dificuldade em gerar deformações locais muito específicas (ex: um aneurisma localizado) sem dados de treinamento que contenham tais variações locais, tendendo a aplicar mudanças globais nos raios.

5. Significado e Impacto

Este trabalho representa um avanço significativo na interseção entre Aprendizado de Máquina Generativo e Simulação Numérica de Fluidos.

• Para a Medicina: Oferece uma ferramenta robusta para quantificar como erros de segmentação de imagens médicas ou variabilidade anatômica natural impactam os diagnósticos baseados em simulação (ex: risco de ruptura de aneurisma).
• Para a Computação Científica: Resolve o problema "gargalo" de gerar malhas computacionais válidas para domínios deformados, permitindo a realização de estudos de incerteza em larga escala que antes eram computacionalmente proibitivos.
• Metodológico: Estabelece um novo paradigma para modelagem generativa em 3D, onde a topologia e a física do domínio são preservadas através de operadores de "pull-back" e "push-forward" derivados de métodos de registro difeomórfico.

Em resumo, o método proposto permite a geração eficiente de cenários anatômicos realistas e a avaliação rigorosa da incerteza em parâmetros hemodinâmicos críticos, facilitando a transição de simulações computacionais para aplicações clínicas de precisão.