Unbalanced Optimal Transport and Density Control for Discrete-Time Linear Systems

Resumo Técnico: Transporte Ótimo Desbalanceado e Controle de Densidade para Sistemas Lineares de Tempo Discreto

Enunciado do Problema
Este trabalho aborda as limitações do Transporte Ótimo (TO) clássico, que exige que as distribuições tenham massa total igual, tornando-o inadequado para cenários envolvendo criação, dissipação de massa ou dados ausentes. Os autores investigam o Transporte Ótimo Desbalanceado (TOD), que relaxa a restrição de conservação de massa penalizando desvios em relação a medidas de referência usando a divergência de Kullback–Leibler (KL). Além disso, o artigo estende essa estrutura para o Controle de Densidade Desbalanceado (CDD) em sistemas lineares de tempo discreto. No CDD, o objetivo é direcionar a distribuição do estado de um sistema de uma medida inicial para uma medida alvo, minimizando o esforço de controle e equilibrando os custos de transporte contra a fidelidade às distribuições de referência, tudo isso sem assumir a preservação da massa total de probabilidade.

Metodologia
O artigo foca no caso em que as medidas de referência são Gaussianas e a dinâmica do sistema é linear. A contribuição metodológica central é a derivação de formulações convexas de dimensão finita e globalmente ótimas tanto para o TOD quanto para o CDD.

1. Restrição a Medidas Gaussianas:
   Os autores provam que, tanto para o TOD quanto para o CDD, existe uma solução ótima onde as distribuições marginais (e as medidas de estado no caso de controle) são Gaussianas.

   • Para o TOD: Eles demonstram que, para massa, média e covariância fixas, o custo de transporte é minimizado quando as marginais são Gaussianas (Proposição 1), e o termo de divergência KL também é minimizado por medidas Gaussianas sob as mesmas restrições (Proposição 2). Isso permite reduzir o problema variacional de dimensão infinita para uma otimização sobre a massa ($c$), a média ($m$) e a covariância ($\Sigma$) das marginais.
   • Para o CDD: Da mesma forma, eles mostram que, para qualquer processo viável, pode-se construir uma medida de estado Gaussiana e uma política de feedback Gaussiana-affine que correspondem aos primeiros e segundos momentos do processo original, enquanto produzem um valor objetivo menor ou igual (Teorema 5).

2. Separação da Otimização:
   Os problemas de dimensão finita resultantes não são conjuntamente convexos em todas as variáveis (especificamente massa e momentos). No entanto, os autores exploram a estrutura do problema para separar a otimização:

   • Formulação do TOD: O problema reduz-se à minimização de uma função de massa e momentos. Os autores propõem um algoritmo (Algoritmo 1) que primeiro resolve um subproblema convexo para as médias e covariâncias (produzindo um valor ótimo $p^*$) e, em seguida, calcula a massa ótima $c^*$ em forma fechada com base em $p^*$.
   • Formulação do CDD: O problema de controle é formulado como uma otimização sobre a massa, a trajetória de média, a trajetória de covariância e os parâmetros de feedback. Ao aplicar a reparametrização padrão de direção de covariância (Balci e Bakolas, 2022), as restrições não convexas de covariância são transformadas em restrições afins e Desigualdades Matriciais Lineares (LMIs) via complemento de Schur. Isso reduz o subproblema a um Programa Semidefinido (SDP). Assim como no TOD, a massa é atualizada em uma etapa de forma fechada após resolver o SDP para as trajetórias.

Principais Contribuições

• TOD Gaussiano: A derivação de uma formulação convexa de dimensão finita e um algoritmo globalmente ótimo para Transporte Ótimo Desbalanceado entre medidas Gaussianas.
• CDD Gaussiano: A formulação do Controle de Densidade Desbalanceado para sistemas lineares de tempo discreto e a proposta de um algoritmo globalmente ótimo baseado em SDP.
• Redução Teórica: A prova de que restringir o espaço de busca a medidas Gaussianas e acoplamentos/políticas afins não sacrifica a optimalidade global para essas classes específicas de problemas.

Resultados

• Eficiência Algorítmica: Os métodos propostos convertem problemas variacionais complexos em problemas de otimização convexa tratáveis (especificamente SDPs para o caso de controle) que podem ser resolvidos globalmente.
• Ilustração Numérica: Um experimento numérico unidimensional demonstra o comportamento da solução do TOD. Os resultados mostram que, à medida que o parâmetro de penalidade $\gamma$ aumenta, a solução converge para o plano de TO balanceado padrão, e as marginais ótimas alinham-se mais estreitamente com as medidas de referência. Por outro lado, para $\gamma$ pequeno, a solução prioriza a minimização do custo de transporte (concentrando-se perto da diagonal) em detrimento de corresponder às distribuições de referência, permitindo efetivamente que a massa seja criada ou destruída para reduzir a distância de transporte.

Significado e Alegações
O artigo alega que, ao estender a teoria de direção de covariância para o cenário desbalanceado, fornece uma estrutura rigorosa para controlar densidades de probabilidade em sistemas onde a massa não é conservada. O significado reside na capacidade de lidar com "massa incompatível" causada por perda de dados ou dissipação dentro de uma estrutura teórica de controle. Os autores posicionam este trabalho como um passo fundamental, observando que uma versão significativamente expandida com provas completas e experimentos adicionais está disponível em uma publicação separada (Nakashima et al., 2026). Eles afirmam explicitamente que trabalhos futuros abordarão medidas de referência não Gaussianas, escolhas alternativas de divergência e aplicações a sistemas dinâmicos do mundo real, indicando que o trabalho atual é uma prova de conceito teórica e algorítmica para o caso linear Gaussiano.