Kerroll black holes

Este artigo constrói soluções de buracos negros rotativos na gravidade de Carroll por meio de duas abordagens distintas: uma que produz uma solução intrinsecamente carrolliana ao vestir um buraco negro de Schwarzschild com carga rotacional, e outra que deriva um buraco negro "Kerroll" como um análogo carrolliano da solução de Kerr por meio de uma expansão em potências ímpares da relatividade geral na velocidade da luz.

O essencial

Imagine o universo como um tecido gigante e flexível. No nosso mundo cotidiano, esse tecido comporta-se de acordo com a Relatividade Geral de Einstein, onde espaço e tempo estão entrelaçados, e nada pode viajar mais rápido que a velocidade da luz ($c$).

Este artigo explora o que acontece a esse tecido se imaginarmos um universo onde a velocidade da luz é efetivamente zero. Isso é chamado de "gravidade Carroll". Neste mundo estranho, tempo e espaço desacoplam-se completamente. O tempo torna-se um relógio rígido e universal que tiqueta o mesmo para todos, enquanto o espaço torna-se uma folha congelada e degenerada, onde não se pode mover de um ponto a outro da maneira usual.

Os autores deste artigo enfrentam um grande problema: Como ter um buraco negro em rotação em um universo onde nada pode se mover?

Na física normal, um buraco negro em rotação (como o famoso buraco negro de Kerr) arrasta o espaço consigo. Mas em um universo Carroll "congelado", a matemática usual diz que a rotação é impossível. Os autores encontraram duas "brechas" engenhosas para criar buracos negros em rotação neste mundo congelado. Eles chamam esses novos objetos de buracos negros "Kerroll" (um trocadilho entre Kerr e Carroll).

Eis como eles fizeram isso, usando duas abordagens diferentes:

Abordagem 1: Vestir o Buraco Negro Congelado com Rotação "Fantasma"

Pense num buraco negro Carroll padrão, não rotativo, como uma estátua. É pesado, tem um horizonte, mas está perfeitamente imóvel.

Na física padrão, a rotação é uma propriedade da forma do próprio espaço. Mas neste tipo específico de gravidade Carroll (chamada "magnética"), os autores perceberam que a rotação não precisa estar na forma do espaço; pode estar escondida nas "regras" de como as coisas se conectam.

• A Analogia: Imagine um lago congelado (o espaço). Normalmente, se o lago está plano, ele não está girando. Mas imagine que você pode pintar "correntes" invisíveis ou "instruções" no gelo que dizem a um patinador como virar, mesmo que o gelo em si não esteja se movendo.
• O Resultado: Eles pegaram um buraco negro Carroll padrão e congelado e o "vestiram" com essas regras de conexão invisíveis. O buraco negro parece estático, mas carrega uma carga oculta de "momento angular". É como uma estátua que secretamente segura um pião girando. Isso é uma invenção puramente Carrolliana; não tem equivalente no nosso universo normal e de movimento rápido.

Abordagem 2: A Expansão de "Potência Ímpar" (O Buraco Negro Kerroll)

A segunda abordagem é mais como pegar um filme de um buraco negro em rotação de Kerr e reproduzi-lo em câmera superlenta, quadro a quadro, para ver o que acontece quando a velocidade da luz cai para zero.

• O Problema: Quando os físicos normalmente desaceleram a velocidade da luz até zero, eles só olham para os passos "pares" (como $c^2$, $c^4$). Eles descobriram que, se você olhar apenas para esses passos pares, a rotação desaparece completamente. O buraco negro para de girar.
• A Descoberta: Os autores perceberam que estavam perdendo os passos "ímpares" ($c^1$, $c^3$). É como uma dança onde a rotação acontece nas contagens "e" (os contratempos) em vez dos batimentos principais.
• O Resultado: Ao incluir esses passos "ímpares" em sua matemática, eles encontraram um novo tipo de buraco negro: o buraco negro Kerroll.
  • Nesta versão, a rotação não é uma característica da forma principal do espaço. Em vez disso, a rotação é um "eco sutil" ou um "fantasma" que aparece nos detalhes de ordem inferior da expansão.
  • É como se o buraco negro estivesse girando, mas a rotação é tão tênue e escondida nas camadas "ímpares" da realidade que você precisa olhar muito de perto para vê-la.

O Que Isso Significa para os Buracos Negros?

O artigo calcula como esses objetos se parecem e como se comportam:

1. São soluções reais: Não são apenas truques matemáticos; satisfazem todas as equações complexas deste tipo específico de gravidade.
2. Têm "cargas": Assim como um pião em rotação tem momento angular, esses buracos negros carregam uma "carga de rotação" mensurável.
3. São diferentes dos buracos negros normais:
   • Em um buraco negro em rotação normal, o espaço é "arrastado" ao redor (arrasto de referenciais). No buraco negro Kerroll, esse efeito de arrasto é diferente ou ausente de certas maneiras porque a natureza "congelada" do tempo altera as regras.
   • Os caminhos que as partículas percorrem (geodésicas) ao redor desses buracos negros são únicos. Por exemplo, na versão "vestida", a energia de uma partícula depende de sua rotação de uma maneira que não acontece no nosso universo normal.

Resumo

Os autores construíram com sucesso dois tipos de buracos negros em rotação em um universo onde a velocidade da luz é zero.

1. Um é um buraco negro de aparência estática que carrega uma carga de rotação oculta em suas regras de conexão.
2. O outro é um verdadeiro análogo do buraco negro de Kerr (o Kerroll), onde a rotação é revelada apenas ao observar as camadas sutis e "de números ímpares" da matemática que geralmente são ignoradas.

Eles chamam isso de buraco negro "Kerroll", um novo objeto que existe apenas no reino estranho e congelado da gravidade Carroll, provando que, mesmo em um mundo onde nada pode se mover, as coisas ainda podem girar.

Resumo técnico

Resumo Técnico: Buracos Negros Kerroll

Enunciação do Problema
A construção de soluções de buracos negros rotativos na gravidade carrolliana tem sido historicamente obstruída por um teorema de "não existência" [55], que afirma que toda solução estacionária e axialmente simétrica da gravidade carrolliana magnética em dimensões $D > 3$ deve ser estática. Essa limitação surge porque o limite carrolliano padrão da métrica de Kerr (derivado via uma expansão em potências pares da velocidade da luz, $c$) falha em satisfazer a restrição do escalar de Ricci espacial ($R[g_{ij}] \approx 0$) exigida pela gravidade carrolliana magnética, a menos que o parâmetro de rotação se anule. Consequentemente, os modelos existentes de buracos negros carrollianos, como a solução de Schwarzschild–Carroll, restringem-se a configurações não rotativas. O artigo aborda a questão de se geometrias rotativas podem existir na gravidade carrolliana e, caso afirmativo, como podem ser construídas sem violar as restrições da teoria.

Metodologia
Os autores empregam duas abordagens distintas para construir buracos negros carrollianos rotativos, ambas utilizando a formulação hamiltoniana da gravidade e a decomposição ADM:

1. Abordagem Canônica na Gravidade Carrolliana Magnética:
   Os autores analisam as simetrias assintóticas e as condições de contorno da gravidade carrolliana magnética. Eles exploram a liberdade inerente à conexão compatível com Carroll, a qual não é totalmente determinada apenas pelos dados da métrica. No formalismo hamiltoniano, os momentos canônicos $\pi_{ij}$ atuam como dados independentes (multiplicadores de Lagrange) em vez de serem solucionáveis em termos da métrica, ao contrário do que ocorre na Relatividade Geral. Os autores demonstram que, ao "vestir" uma solução estática de Schwarzschild–Carroll com momentos canônicos não nulos (especificamente $\pi_{r\phi}$), é possível induzir uma carga de momento angular não nula, mantendo a geometria da métrica estática. Essa rotação é codificada inteiramente nos graus de liberdade da conexão.

2. Expansão em Potências Ímpares da Relatividade Geral:
   Os autores propõem uma nova teoria gravitacional derivada de uma expansão da Relatividade Geral em potências ímpares da velocidade da luz ($c$), contrastando com as expansões em potências pares padrão usadas para derivar as gravidades carrollianas Elétrica e Magnética. A partir da ação ADM, eles expandem a métrica espacial $g_{ij}$, seu momento conjugado $\pi_{ij}$, a função de lapse $N$ e o vetor de shift $N^i$ em potências de $c$ (incluindo termos em $c^1$). Ao truncar essa expansão na ordem $O(c^2)$, mantendo os campos de potência ímpar, eles definem a "Gravidade Carrolliana Magnética Estendida". Essa teoria contém a gravidade carrolliana magnética como um subsector, mas possui graus de liberdade físicos adicionais associados aos campos de potência ímpar. Em seguida, aplicam esse arcabouço à métrica de Kerr, expandindo suas variáveis ADM para identificar uma solução que retém informações rotativas nos termos de potência ímpar subdominantes.

Principais Contribuições e Resultados

• Soluções Rotativas na Gravidade Carrolliana Magnética Padrão:
  Os autores constroem soluções rotativas na gravidade carrolliana magnética ao "vestir" o buraco negro de Schwarzschild–Carroll com uma carga rotativa.

  • Mecanismo: A rotação não se manifesta na métrica espacial $g_{ij}$ (que permanece estática e diagonal), mas é codificada nos momentos canônicos $\pi_{ij}$ e nos coeficientes de conexão associados.
  • Geodésicas e Simetrias: Eles calculam as geodésicas e os campos de Killing para essas soluções. Embora o potencial efetivo para as geodésicas permaneça semelhante ao caso não rotativo (carecendo de órbitas circulares estáveis), a relação de energia para a translação temporal adquire um termo dependente do momento angular. Crucialmente, eles mostram que os efeitos de arrasto de referenciais, presentes nas geodésicas de Kerr lorentzianas, estão ausentes nessa construção carrolliana.
  • Natureza da Solução: Essas soluções são intrinsecamente carrollianas; não possuem análogo conhecido na gravidade de Einstein, pois a rotação é carregada exclusivamente pela conexão, uma característica específica da estrutura de métrica degenerada do espaço-tempo carrolliano.

• O Buraco Negro "Kerroll":
  Os autores introduzem uma nova solução, o "buraco negro Kerroll", surgindo do arcabouço da Gravidade Carrolliana Magnética Estendida.

  • Construção: Essa solução é obtida tomando o limite $c \to 0$ da métrica de Kerr dentro da expansão em potências ímpares. O parâmetro rotativo $a$ (relacionado ao momento angular $J$) aparece no vetor de shift $N^i$ e no momento canônico $\rho_{ij}$ na ordem $O(c)$.
  • Graus de Liberdade: A teoria estendida possui mais graus de liberdade do que a gravidade carrolliana magnética padrão (por exemplo, 5 graus de liberdade em $D=4$). A rotação é um "efeito intrinsecamente de potência ímpar", explicando por que as expansões padrão em potências pares falham em capturar limites rotativos da métrica de Kerr.
  • Cargas: Os autores calculam as cargas de contorno para o buraco negro Kerroll. A carga de momento angular $J$ aparece como uma carga de contorno subdominante associada ao gerador de difeomorfismos subdominantes, escalando como $J \sim c J^{(1)}$. A carga de massa/energia escala como $E \sim c^2 M$.

• Perspectiva Termodinâmica:
  O artigo discute brevemente as implicações termodinâmicas. Para o buraco negro Kerroll, os autores sugerem que uma primeira lei da termodinâmica deve emergir da expansão do contraparte lorentziano, consistente com o truncamento em $O(c^2)$. Eles propõem relações para as expansões de entropia, temperatura e velocidade angular, mas observam que uma derivação independente dentro da teoria estendida permanece uma tarefa em aberto.

Significado
O artigo afirma resolver a aparente contradição entre a existência de buracos negros rotativos na gravidade lorentziana e os teoremas de não existência para a gravidade carrolliana magnética.

1. Rotação Carrolliana Intrínseca: Demonstra que a rotação na gravidade carrolliana pode ser realizada sem um análogo lorentziano, utilizando os graus de liberdade independentes da conexão, desafiando a noção de que a estaticidade é um requisito estrito para todas as soluções carrollianas.
2. Novo Sector Gravitacional: Estabelece a "Gravidade Carrolliana Magnética Estendida" como uma teoria consistente capaz de acomodar o limite carrolliano da métrica de Kerr. Isso fornece um arcabouço teórico onde a informação rotativa é preservada através de expansões em potências ímpares, oferecendo uma imagem mais completa do limite carrolliano da Relatividade Geral.
3. Relevância Holográfica e Cosmológica: Ao construir soluções rotativas, o trabalho abre caminhos para o estudo de buracos negros rotativos no contexto da holografia em espaço plano e da cosmologia carrolliana, áreas onde as simetrias carrollianas são cada vez mais relevantes.

Os autores concluem que, embora suas construções contornem com sucesso o teorema de não existência, investigações adicionais são necessárias para compreender plenamente as propriedades termodinâmicas (especificamente a primeira lei) e o comportamento dessas soluções em dimensões superiores.