Dynamic sliding and rolling friction models for linear viscoelastic contact pairs

Resumo Técnico: Modelos Dinâmicos de Atrito de Deslizamento e Rolamento para Pares de Contato Viscoelásticos Lineares

Definição do Problema
A modelagem de atrito em aplicações de engenharia, que variam de sistemas de servomecanismo a interações roda-trilho, tradicionalmente distingue entre regimes de deslizamento e de rolamento. O atrito de deslizamento é tipicamente modelado utilizando sistemas de equações diferenciais ordinárias (ODEs) de dimensão finita, frequentemente baseados na premissa de que a advecção de material está ausente na interface de contato (por exemplo, um bloco macio deslizando sobre um plano rígido). Por outro via, o atrito de rolamento é formulado utilizando equações diferenciais parciais (PDEs) para contabilizar a advecção de forças e deformações através da mancha de contato, conforme preconizado por Kalker.

No entanto, essa dicotomia torna-se problemática ao lidar com pares de contato onde ambos os corpos são deformáveis ou possuem propriedades elásticas significativamente diferentes, particularmente na presença de viscoelasticidade (comum em polímeros como pneus). Em tais cenários, a premissa de que o atrito de deslizamento pode ser puramente concentrado (baseado em ODEs) falha porque as partículas de material e as variáveis de estado internas são advectadas a diferentes velocidades dependendo das propriedades reológicas dos corpos em contato. Os modelos existentes frequentemente têm dificuldade em unificar essas dinâmicas ou em lidar corretamente com o acoplamento cinemático em pares de contato viscoelásticos.

Metodologia
O artigo propõe um framework teórico unificado que combina reologias viscoelásticas lineares com modelos de atrito dinâmico não lineares. A metodologia procede da seguinte forma:

1. Modelagem Reológica: A interface de contato é modelada usando elementos do tipo "cerda" (bristle-like). O comportamento viscoelástico desses elementos é descrito por modelos de Kelvin-Voigt Generalizados (GKV), representados como sistemas de espaço de estados lineares estáveis. Isso permite a descrição de efeitos complexos de memória e histerese em uma ampla faixa de frequências.
2. Derivação Viscoelasto-Cinemática: Os autores derivam um conjunto de equações governantes acoplando as representações de espaço de estados reológicos com relações cinemáticas. Crucialmente, eles substituem as derivadas temporais padrão por derivadas materiais (Eulerianas) para contabilizar o transporte das variáveis de estado internas ($\zeta$) e das deformações das cerdas ($z$) através da área de contato.
3. Formulação de PDE: Ao integrar as leis constitutivas com as equações de transporte cinemático, os autores derivam um sistema de equações diferenciais parciais hiperbólicas semilineares. Estas equações governam a evolução da força de contato tangencial ($f$) e das variáveis de estado internas ($\zeta$) sobre o domínio de contato.
4. Análise Matemática: O sistema de PDEs resultante é analisado para provar seu caráter hiperbólico. Os autores demonstram que o sistema pode ser transformado em variáveis de Riemann, desacoplando as equações em equações de transporte ao longo de direções características determinadas pelo particionamento elástico do par de contato.
5. Condições de Contorno e Iniciais: Condições de contorno (BCs) apropriadas são formuladas com base nas arestas "líder", "neutra" e "seguinte" da área de contato, garantindo a dissipatividade e a bem-postura (well-posedness) do problema.

Principais Contribuições
O trabalho apresenta três contribuições primárias para o campo da mecânica de contato e modelagem de atrito:

• Extensão Sistemática para Frameworks Distribuídos: O trabalho estende os modelos de atrito viscoelástico dinâmico de formulações concentradas (ODE) para frameworks distribuídos (PDE). Demonstra que, mesmo no contato de deslizamento, se o substrato for complacente ou se ambos os corpos forem deformáveis, as equações governantes tornam-se naturalmente PDEs devido à advecção de material.
• Derivação de Equações Viscoelasto- Cinemáticas: Os autores derivam uma classe específica de equações que governam a evolução acoplada das forças de atrito, deformação de material e variáveis de estado interno para ambos os pares de contato de deslizamento e rolamento. Estas equações explicitamente contabilizam as diferentes velocidades de transporte dos dois corpos.
• Unificação das Dinâmicas de Deslizamento e Rolamento: A teoria revela que o atrito de deslizamento e de rolamento compartilham uma estrutura matemática comum: ambos são descritos por sistemas de PDEs hiperbólicas lineares ou semilineares. A distinção entre modelos de deslizamento baseados em ODE e modelos de rolamento baseados em PDE mostra-se dependente da reologia, e não intrínseca ao tipo de movimento.

Resultados
A teoria proposta é ilustrada através de exemplos representativos de contato de deslizamento e rolamento, utilizando uma extensão do modelo FrBD acoplado a elementos GKV:

• Contato de Deslizamento: No caso de um bloco deslizando sobre um substrato viscoelástico, o modelo recupera o comportamento clássico de ODE apenas no limite onde o substrato é rígido (sem advecção). Quando o substrato é viscoelástico, o modelo prevê forças de atrito e deformações de cerdas espacialmente variáveis. Os resultados mostram que a magnitude da força de atrito depende da razão de rigidez entre os corpos e do número de ramos dissipativos no modelo reológico. Modelos de ordem superior introduzem relaxação espacial, atenuando a força de atrito ao longo do comprimento de contato.
• Contato de Rolamento: Para o contato de rolamento, o modelo retém o caráter total de PDE, independentemente da razão de rigidez, uma vez que a advecção de material é inerente ao movimento de rolamento. A análise confirma que a natureza hiperbólica do sistema é preservada, e as velocidades características são determinadas pelos principais modos de interação elástica.
• Comportamento Transiente e de Estado Estacionário: Simulações demonstram que o sistema exibe comportamentos transientes distintos dependendo dos tempos de relaxação dos materiais viscoelásticos. No deslizamento em estado estacionário, a força de atrito é estritamente limitada pelo produto do coeficiente de atrito pela carga normal, limite este que é aproximado conforme a razão de rigidez favorece o corpo rígido.

Significância e Alegações
O artigo alega que seu framework fornece um cenário teórico geral aplicável a uma ampla classe de sistemas de atrito viscoelástico. A principal significância reside na resolução da ambiguidade conceitual entre modelos de atrito de deslizamento e de rolamento. Ao mostrar que ambos os fenômenos podem ser descritos pela mesma classe de PDEs hiperbólicas, o trabalho sugere que a separação tradicional desses problemas nos domínios de ODE e PDE é um artefato de suposições simplificadoras (especificamente, a premissa de um substrato rígido ou de cinemáticas desacopladas) e não uma distinção física fundamental.

Os autores enfatizam que sua abordagem lida corretamente com a cinemática das partículas de material em pares elasticamente dissimilar, um cenário onde modelos de escova anteriores introduziram dificuldades conceituais em relação às definições de slip (deslizamento) e spin (giro). A teoria é apresentada como uma extensão rigorosa de trabalhos anteriores sobre pares de contato elástico, incorporando agora a complexidade necessária para modelar materiais viscoelásticos encontrados em aplicações práticas como pneus. O artigo conclui que a formulação distribuída não é meramente uma alternativa, mas uma descrição necessária para a modelagem precisa do contato viscoelástico, oferecendo uma perspectiva unificada que une a lacuna entre as dinâmicas de deslizamento e rolamento.