Perfect fluids revisited: an action principle approach

Resumo Técnico: Fluidos perfeitos revisitados: uma abordagem pelo princípio da ação

Definição do Problema
O princípio variacional para fluidos perfeitos relativísticos tem sido historicamente formulado ou através de uma abordagem de Lagrangiana (mundo de partículas), que obscurece a covariância, ou através de uma abordagem Euleriana covariante (ex: Schutz), que frequentemente trata a corrente de partículas como a variável fundamental. Esta última abordagem torna-se degenerada quando o fluxo do fluido é nulo, pois a densidade de partículas não pode ser recuperada a partir da norma de uma corrente nula. Além disso, formulações padrão frequentemente obscurecem os dados de contorno específicos necessários para um princípio de ação bem posto. Este artigo aborda a necessidade de uma formulação manifestamente covariante baseada em formas diferenciais que trate fluxos temporais e nulos de forma uniforme, lide explicitamente com termos de contorno e esclareça as restrições dinâmicas impostas a fluidos nulos.

Metodologia
O autor utiliza uma formulação geométrica usando formas diferenciais em uma variedade lorentziana quadridimensional $(M, g)$ com assinatura $(-,+,+,+)$.

1. Variáveis Independentes: Diferente de tratamentos padrão que derivam velocidade e densidade a partir de uma corrente de partículas, este trabalho trata a velocidade do fluido $u$, a densidade de número de partículas $n$ e a densidade de entropia $s$ como variáveis escalares independentes sujeitas a restrições.
2. Coordenadas Lagrangianas: O fluxo do fluido é descrito usando rótulos Lagrangianos $a_i$ (constantes ao longo das linhas de fluxo) e um parâmetro $\tau$ (satisfazendo $\mathcal{L}_u \tau = 1$). O Teorema 1 estabelece a existência local dessas coordenadas para campos vetoriais causais.
3. Princípio da Ação: A ação é construída usando formas diferenciais para impor restrições via multiplicadores de Lagrange. A densidade Lagrangiana total é:
   $$\mathcal{L} = -[\star(\rho + A) + C \wedge \star u^\flat]$$
   onde $A$ impõe a condição de normalização $g(u,u)=c$ (com $c=-1$ para temporal e $c=0$ para nulo), e $C = n d\Phi + s d\Theta + b_i da_i$ impõe leis de conservação e a constância dos rótulos Lagrangianos. Aqui, $\Phi, \Theta$ são potenciais de velocidade, e $b_i$ são multiplicadores para os rótulos.
4. Análise Variacional: A ação é variada em relação a todos os campos não-métricos ($u, n, s, a_i, \Phi, \Theta, b_i$) e o co-frame $e^\alpha$. A análise rastreia explicitamente os termos de contorno para determinar os dados de Dirichlet necessários (fixando potenciais e rótulos na fronteira).
5. Derivação do Tensor Energia-Momento: O tensor energia-momento é derivado ao variar o co-frame em vez da métrica diretamente, permitindo que o formalismo se aplique a teorias de gravidade de primeira ordem e não-métricas (ex: Einstein-Palatini).

Principais Contribuições e Resultados

• Bem-posto e Dados de Contorno: A formulação demonstra que o problema variacional corresponde a um problema de Dirichlet onde os potenciais de velocidade ($\Phi, \Theta$) e os rótulos Lagrangianos ($a_i$) são fixados na fronteira. Isso esclarece as condições de contorno necessárias para um princípio de ação consistente.
• Simetrias e Leis de Conservação: A ação possui simetrias internas correspondentes ao reetiquetamento de potenciais internos e rótulos Lagrangianos. Estas simetrias geram correntes de Noether da forma $J_X = F \star u^\flat$, onde $F$ é uma função geradora da redefinição.
• Fluxos Temporais: Para $c=-1$, as equações de movimento reproduzem o princípio de ação de Schutz padrão. O sistema resulta na conservação do número de partículas e da entropia, a decomposição de Clebsch da velocidade e o tensor energia-momento padrão de um fluido perfeito $T_{\alpha\beta} = P g_{\alpha\beta} + (\rho+P)u_\alpha u_\beta$.
• Fluxos Nulos: Para $c=0$, a extensão do princípio variacional revela uma restrição dinâmica significativa. As equações de movimento forçam a densidade de entalpia a desaparecer:
  $$\rho + P = 0$$
  Consequentemente, o tensor energia-momento decompõe-se em um termo do tipo energia de vácuo com pressão variável e uma contribuição de poeira nula:
  $$T_{\alpha\beta} = P g_{\alpha\beta} - f u_\alpha u_\beta$$
  A pressão é constante ao longo do fluxo ($\mathcal{L}_u P = 0$), e o gradiente de pressão mede a obstrução para que o fluxo seja geodésico pré-geodésico. Se $dP=0$, o modelo reduz-se ao princípio de ação para poeira nula (Bicak e Kuchar).
• Acoplamento com Gravidade Generalizada: Como a ação da matéria é formulada independentemente das equações de campo gravitacional (via variação do co-frame), a construção é aplicável a teorias de gravidade não-métricas e de primeira ordem, não apenas à Relatividade Geral.

Significância
O artigo afirma que a obstrução para estender ingenuamente ações de fluidos perfeitos para fluxos nulos é dinâmica e não cinemática. Enquanto abordagens anteriores falharam devido à degeneração cinemática de definir velocidade a partir de uma corrente nula, esta formulação mostra que mesmo com variáveis independentes, o próprio princípio da ação força a entalpia a zero para fluxos nulos.

A significância deste trabalho reside em:

1. Clareza Geométrica: Fornecer uma reformulação manifestamente covariante, baseada em formas diferenciais, do princípio de Schutz que lida explicitamente com termos de contorno.
2. Estrutura Unificada: Permitir que um único ansatz variacional cubra tanto fluxos temporais quanto nulos sem degenerar a definição de velocidade.
3. Insight Físico: Identificar que um "fluido perfeito nulo" não é um fluido genérico, mas um sistema altamente restrito com entalpia vanishing (nula), interpolando entre uma fonte de constante cosmológica e poeira nula.
4. Ampla Aplicabilidade: Estabelecer uma ação de matéria adequada para acoplar a uma ampla classe de teorias de gravidade, incluindo aquelas com torção e não-metricidade.