Robust Receding Horizon Games with Additive Uncertainty

Resumo Técnico: Jogos de Horizonte Recuante Robustos com Incerteza Aditiva

Formulação do Problema
Este artigo aborda o desafio de controlar sistemas multiagentes operando em ambientes compartilhados e incertos. Os autores consideram um cenário com $N$ agentes, cada um controlando um sistema linear de tempo discreto sujeito a distúrbios aditivos limitados. Os agentes devem satisfazer tanto restrições privadas de estado/entrada quanto restrições de acoplamento compartilhadas que dependem dos estados e entradas de vizinhos.

Ao contrário do controle distribuído cooperativo, onde os agentes minimizam um objetivo global, este trabalho foca em Jogos de Horizonte Recuante (RHG - Receding Horizon Games). Aqui, cada agente é autointeressado e busca minimizar seu próprio custo de rastreamento (desvio de um alvo de estado estacionário) enquanto respeita as restrições. A dificuldade central reside no fato de que os agentes não podem revelar suas dinâmicas, custos ou restrições privadas aos outros, mas devem coletivamente satisfazer as restrições compartilhadas sob incerteza. O objetivo é projetar uma estrutura de controle distribuído que garanta a viabilidade recursiva para todas as realizações de distúrbios e garanta a convergência para um equilíbrio de teoria dos jogos.

Metodologia
A estrutura proposta integra o Controle Preditivo Baseado em Modelo (MPC) Baseado em Tubos com a teoria do Equilíbrio de Nash Generalizado (GNE). A metodologia procede através das seguintes etapas:

1. Decomposição Baseada em Tubos:
   O estado e a entrada previstos de cada agente são decompostos em uma trajetória nominal e um componente de erro ($x = s + e$, $u = v + K_p e$). A trajetória nominal é a variável de decisão, enquanto a dinâmica do erro é governada por um ganho de feedback pré-estabilizador $K_p$. Esta decomposição confina o estado real dentro de um "tubo" ao redor da trajetória nominal, definido por um conjunto Robusto Positivamente Invariante mínimo (mRPI) ($Z^\infty_i$).

2. Estreitamento de Restrições (Constraint Tightening):
   Para garantir a satisfação robusta das restrições apesar dos distúrbios, as restrições originais são estreitadas:

   • Restrições Privadas: Os conjuntos de estado e entrada são estreitados pelo conjunto mRPI e pelo ganho pré-estabilizador.
   • Restrições Compartilhadas: As restrições compartilhadas são estreitadas subtraindo a contribuição do pior caso dos termos de erro dos vizinhos. Crucialmente, isso é alcançado via um protocolo de preservação de privacidade onde os agentes transmitem apenas termos de estreitamento escalares (funções de suporte de seus conjuntos mRPI) em vez de suas dinâmicas completas ou funções de custo.

3. Elementos Terminais:
   Para garantir a viabilidade recursiva e a estabilidade, os autores constroem três componentes terminais específicos:

   • Um custo terminal derivado de uma Equação Algébrica de Riccati Discreta (DARE).
   • Uma lei de controle terminal baseada no ganho de feedback ótimo da DARE.
   • Um conjunto terminal desacoplado positivamente invariante. Para lidar com o acoplamento na restrição terminal sem exigir coordenação total, o limite compartilhado estreitado é dividido em cotas por agente. Cada agente impõe a cota mais restritiva exigida por sua participação em vários vizinhos.

4. Solução de Teoria dos Jogos:
   Em cada passo de tempo, os agentes resolvem um problema de otimização de horizonte finito (um GNEP) em paralelo. A função de custo é um custo de rastreamento em direção a um vGNE (Equilíbrio de Nash Generalizado Variacional) de estado estacionário pré-computado. O problema é resolvido usando algoritãos de divisão de operador distribuídos, aproveitando o fato de que o jogo é um jogo de potencial.

Principais Contribuições
O artigo apresenta três contribuições primárias:

1. Formulação de RHG Robusto: Formula um jogo de horizonte recuante robusto para sistemas lineares com distúrbios aditivos e restrições compartilhadas. Introduz um esquema de estreitamento de restrições baseado em tubos onde os agentes trocam apenas termos de estreitamento escalares, preservando a privacidade de suas dinâmicas e custos locais, ao contrário de esquemas cooperativos que trocam trajetórias.
2. Garantias de Viabilidade Recursiva: Os autores constroem um conjunto específico de elementos terminais (custo baseado em DARE, conjunto invariante desacoplado e esquema de alocação de recursos para restrições compartilhadas) que garantem rigorosamente a viabilidade recursiva para qualquer realização de distúrbio limitado.
3. Análise de Estabilidade e Convergência: Ao explorar a estrutura de jogo de potencial, o artigo estabelece que a função de potencial atua como uma função de Lyapunov conjunta. Isso prova a convergência assintótica da trajetória nominal de cada agente para o vGNE de estado estacionário. Além disso, mostra que a trajetória real converge para uma vizinhança do vGNE determinada pelo conjunto mRPI.

Resultos
A análise teórica confirma que:

• Se o estado inicial for viável, o problema de otimização permanece viável em todos os passos de tempo futuros para qualquer realização de distúrbios limitados (Viabilidade Recursiva).
• As trajetórias nominais de todos os agentes convergem assintoticamente para o vGNE de estado estacionário.
• As trajetórias reais de malha fechada convergem para uma vizinhança de erro robusto positivamente invariante (RPI) do vGNE de estado estacionário.
• Todas as restrições privadas e compartilhadas originais são satisfeitas de forma robusta para todas as realizações de distúrbios.

Significância e Alegações
Os autores posicionam este trabalho como a primeira investigação rigorosa de jogos de horizonte recuante sob incerteza com estas garantias específicas. Eles destacam que trabalhos anteriores sobre RHGs dependiam de modelos determinísticos ou restrições de igualdade terminal, enquanto a literatura existente de MPC multiagente robusto focava em configurações cooperativas.

O artigo alega significância ao preencher a lacuna entre o controle robusto e a teoria dos jogos para agentes não cooperativos. Demonstra que é possível alcançar a satisfação de restrições robustas e estabilidade em um ambiente distribuído e autointeressado sem exigir que os agentes compartilhem informações sensíveis de seus modelos. Os autores observam modestamente que estender estes resultados para custos econômicos gerais (onde os custos são acoplados) ou incorporar restrições de chance permanece um desafio aberto para pesquisas futuras.