Excitation spectra and rank tomography of linear matrix product tangent spaces

Resumo Técnico: Espectros de excitação e tomografia de rank de espaços tangentes de matrizes produto lineares

Definição do Problema
Os Estados de Produto de Matrizes (MPS) fornecem uma descrição variacional eficiente para os estados fundamentais de sistemas de muitos corpos unidimensionais. Embora o método do espaço tangente de MPS seja estabelecido para reconstruir espectros de excitação de baixa energia, sua aplicação a sistemas finitos, não uniformes, com condições de contorno abertas (OBC), requer uma formulação rigorosa que considere a estrutura algébrica subjacente. Além disso, a expressividade e a precisão do método do espaço tangente não são totalmente compreendidas em termos de como a estrutura interna do estado fundamental controla as direções disponíveis no espaço tangente. Especificamente, não está claro como a dimensão de ligação (bond dimension) sozinha dita a capacidade de capturar excitações em setores específicos de número de partículas, particularmente próximo a transições de fase onde as propriedades do estado fundamental mudam abruptamente.

Metodologia
Os autores formulam o espaço variacional de MPS como uma variedade algébrica definida por restrições de rank em achatamentos (flattenings) de tensores. Ao focar na variedade de rank total suave, eles derivam uma representação explícita do espaço tangente que separa direções físicas das geradas pela liberdade de calibre (gauge).

1. Formulação Algébrica: A variedade MPS é definida como o fechamento de Zariski da imagem de um mapa de contração polinomial. Os autores utilizam a parametrização canônica à esquerda para definir o espaço de parâmetros como um produto de variedades de Stiefel e um espaço projetivo. O espaço tangente é decomposto em componentes verticais (calibre) e horizontais (físicas). O espaço tangente horizontal é caracterizado por condições de Hermiticidade em produtos de matrizes de variações de tensores específicos.
2. Método de Excitação Linearizado: Baseando-se no Princípio Variacional Dependente do Tempo (TDVP), os autores derivam um método linearizado para espectros de excitação. Ao considerar perturbações lineares em torno de um estado fundamental variacional, eles projetam o Hamiltoniano efetivo sobre o espaço tangente horizontal. Isso leva a um problema de autovalor generalizado $Bx = \omega Ax$, onde $A$ é a matriz de sobreposição e $B$ é o Hamiltoniano projetado. O método envolve a compressão da base para remover dependências lineares, resultando em um problema de autovalor Hermítico reduzido.
3. Tomografia de Rank: Para analisar a expressividade do método, os autores introduzem a "tomografia do espaço tangente". Isso envolve:
   • Deficiência Paramétrica: Definir a deficiência $\delta^M_{par}$ em cada setor de número de partículas $M$ como a diferença entre a dimensão alvo do setor e a dimensão do espaço tangente projetado.
   • Rank de Schmidt Resolvido por Partícula (PRSR): Refinar a dimensão de ligação padrão decompondo o achatamento do tensor do estado fundamental em blocos correspondentes a números de partículas específicos em ambos os lados de um corte. Isso gera uma distribuição $r_\ell(m)$ que captura a estrutura interna do MPS.
   • Estrutura de Blocos: Mostrar que, enquanto os tensores do estado fundamental obedecem a uma regra de seleção de número de partículas ($m' = m + n$), as variações de tangente se decompõem em blocos que conectam todos os setores não nulos, gerando excitações do tipo partícula e lacuna (hole).

Resultos Principais
O método é testado utilizando o modelo de Bose–Hubbard em uma cadeia aberta de $N=10$ sítios.

• Reconstrução Espectral: O método de espaço tangente linear de MPS reproduz com precisão os espectros de excitação de baixa energia obtidos via diagonalização exata. Isso é válido tanto para Hamiltonianos que conservam o número de partículas ($\eta=0$) quanto para aqueles com quebra explícita de simetria $U(1)$ ($\eta \neq 0$).
• Precursores de Tamanho Finito: O método captura com sucesso o amolecimento (softening) do modo do tipo partícula próximo ao precursor de tamanho finito da transição de isolante de Mott para superfluido.
• Precisão e Dimensões de Ligação: A precisão da reconstrução depende da dimensão de ligação $D$. Enquanto dimensões de ligação pequenas fornecem aproximações com menor custo computacional, um $D$ maior aumenta as direções disponíveis no espaço tangente, melhorando a reconstrução espectral.
• Perfis de Rank e Descontinuidades: O estudo revela que a precisão do espectro reconstruído não é determinada unicamente pela dimensão de ligação bruta, mas pelo perfil de rank resolvido por partícula. Mesmo quando o padrão da dimensão de ligação permanece constante, uma mudança na configuração do número de partículas do estado fundamental (por exemplo, a transição de $M_0=10$ para $M_0=11$) altera a distribuição do PRSR. Essa mudança modifica o rank de tangente em setores específicos, levando a saltos discretos no erro de aproximação. Por exemplo, em setores onde o rank de tangente coincide com a dimensão alvo, o espectro é recuperado exatamente; onde ele é insuficiente (deficiência paramétrica), surgem erros.

Significância e Alegações
O artigo afirma fornecer uma fundação algebro-geométrica rigorosa para o método do espaço tangente de MPS aplicável a sistemas finitos e não uniformes com OBC. Suas principais contribuições são:

1. Construção Explícita: Derivação do espaço tangente e da associação do Hamiltoniano efetivo projetado para sistemas não uniformes, lidando explicitamente com a redundância de calibre.
2. Análise de Expressividade: Introdução da tomografia de rank (PRSR e deficiência paramétrica) para quantificar as direções independentes "faltantes" no espaço tangente para setores específicos de partículas. Isso explica por que estados com dimensões de ligação idênticas podem exibir diferentes precisões espectrais.
3. Utilidade Prática: Demonstração de que o método é uma ferramenta viável para calcular espectros de excitação de baixa energia, desde que os ranks dos setores relevantes sejam suficientemente grandes. Os autores sugerem que as limitações observadas (deficiência paramétrica) decorrem da natureza de primeira ordem do ansatz e propõem que a extensão para perturbações de segunda ordem (espaço tangente duplo de MPS) poderia abordar essas deficiências.

O trabalho não pretende resolver o problema de muitos corpos geral além do escopo do ansatz MPS, mas sim esclarecer as limitações estruturais e as capacidades dos métodos de espaço tangente linear dentro desse framework.