Millisecond-Scale Neural Operator Surrogates for Double-Null Free-Boundary Grad-Shafranov Equilibria

Resumo Técnico: Surrogates de Operador Neural em Escala de Milissegundos para Equilíbrios Grad–Shafranov de Fronteira Livre de Duplo Nulo

Definição do Problema
A equação de Grad–Shafranov (GS) governa o equilíbrio magnetohidrodinâmico (MHD) ideal em plasmas axissimétricos de tokamaks. A avaliação precisa e rápida desses equilíbrios é crítica para a análise de estabilidade, modelagem de transporte e controle de forma do plasma. No entanto, em cenários de fronteira livre — onde a fronteira do plasma não é conhecida a priori, mas deve emergir de forma autoconsistente a partir de perfis de plasma e campos externos — resolver a equação GS requer algoritmos numéricos iterativos não lineares (especificamente a iteração de Picard). Esses solvers, como o FREEGS, exibem latência de convergência dependente da amostra e altos custos computacionais. Isso os torna proibitivos para configurações de múltiplas consultas, incluindo quantificação de incerteza, otimização de loop externo, modelagem integrada e fluxos de trabalho de controle em tempo real, onde os equilíbrios devem ser avaliados repetidamente através de famílias de pontos de operação sem o benefício de iterações com warm-start. Embora o aprendizado de máquina (ML) tenha sido aplicado aos equilíbrios GS, trabalhos anteriores focaram amplamente na reconstrução inversa a partir de diagnósticos ou formulações de fronteira fixa, em vez de aprender um mapa direto para problemas de design de fronteira livre restritos.

Metodologia
O autor propõe um Operador de Rede Neural de Fourier (FNO) condicionado à geometria para aprender uma representação computacionalmente eficiente de um mapa direto restrito. O modelo aprende o mapeamento de:

1. Coordenadas espaciais $(R, Z)$.
2. Parâmetros operacionais escalares: pressão axial ($P_{axis}$), corrente do plasma ($I_p$) e um fator de campo toroidal de vácuo ($f_{vac}$).
3. Localizações de pontos X prescritas (superior e inferior).

Para o campo de fluxo poloidal completo $\psi(R, Z)$.

Geração de Dados:

• Solver: Os dados foram gerados usando o solver de código aberto FREEGS para uma única geometria de máquina fixa (FreeGS TestTokamak).
• Configuração: Uma família controlada de equilíbrios de fronteira livre de duplo nulo restritos. Os alvos dos pontos X foram fixados em $(1.1, \pm 0.6)$ m com aplicação de jitter geométrico simétrico para preservar a topologia.
• Parâmetros: Os parâmetros operacionais foram extraídos uniformemente de intervalos definidos ($P_{axis} \in [200, 3000]$ Pa, $I_p \in [5\times10^4, 4\times10^5]$ A, $f_{vac} \in [0.5, 3.0]$).
• Dataset: Um pool base de 5.000 equilíbrios convergidos foi gerado. Estudos de escala utilizaram subconjuntos aninhados ($N_{train} \in \{500, 1000, 2000, 5000\}$). Uma taxa de aceitação de 100% foi alcançada em um total de 6.000 candidatos (treino, validação e teste).

Arquitetura do Modelo:

• Entrada: Nove canais em uma grade de $65 \times 65$: coordenadas espaciais, parâmetros escalares transmitidos (broadcast) e coordenadas de pontos X transmitidas.
• Arquitetura: Um FNO 2D com quatro camadas de Fourier, retendo 16 modos por dimensão e uma largura de canal oculto de 64 (aprox. 4,77M de parâmetros).
• Treinamento: Treinado usando AdamW com erro quadrático médio em campos de fluxo normalizados. O encerramento antecipado (early stopping) e o escalonamento da taxa de aprendizado foram baseados no erro relativo de $L_2$ de validação.

Principais Contribuições e Resultados

• Acurácia: O melhor modelo ($N_{train}=5000$) alcançou um erro relativo médio de $L_2$ de 0,052% e um RMSE físico de $1,54 \times 10^{-5}$ Wb.
• Escalabilidade: O erro de teste seguiu uma lei de potência empírica $\epsilon_{rel} \propto N^{-0,68}$ sobre o intervalo $N_{train} \in \{500, 1000, 2000, 5000\}$, indicando melhoria sistemática com o tamanho do conjunto de dados.
• Fidelidade Geométrica:
  • Separatriz: Desvio de ponto mais próximo médio de 0,072 cm; distância de Hausdorff mediana de 0,967 cm.
  • Pontos Críticos: Ambos os pontos X recuperados dentro de $\sim 0,1\text{--}0,2$ cm (superior: 0,112 cm, inferior: 0,161 cm). O ponto O magnético foi localizado dentro de 0,031 cm.
  • Estrutura de Erro: Os erros foram espacialmente localizados próximos ao estrangulamento do ponto X e à separatrix, onde pequenos erros de fluxo amplificam geometricamente. Não foram observadas falhas topológicas (ex: ilhas espúrias).
• Consistência Física: Os campos previstos satisfizeram um diagnóstico de resíduo GS de diferença finita externa com um resíduo normalizado médio de 2,29, indistinguível da linha de base de $2,29 \pm 0,06$ obtida nos campos de verdade fundamental do FREEGS usando o mesmo diagnóstico.
• Desempenho Computacional:
  • Latência: O surrogate avalia um único equilíbrio em 2,77 ms em GPU e 25,6 ms em CPU.
  • Aceleração: Isso corresponde a acelerações de $\sim 640\times$ (GPU) e $\sim 69\times$ (CPU) em relação ao solver iterativo FREEGS configurado nos experimentos.
  • Determinismo: O FNO exibe latência quase determinística ($p95/\text{mediana} = 1,01$), contrastando com a latência de convergência variável do solver iterativo ($p95/\text{mediana} = 1,13$).

Significância e Alegações
O artigo afirma que surrogates de operador neural podem fornecer avaliações de equilíbrio de alta fidelidade, precisão geométrica e escala de milissegundos para fluxos de trabalho de confinamento magnético, desde que a topologia e a geometria da máquina sejam prescritas.

• Mudança de Paradigma: O trabalho demonstra que problemas de equilíbrio de fronteira livre restritos podem ser reestruturados como problemas de aprendizado de operador. Uma vez treinado, o operador neural substitui o esquema convencional de iteração de Picard não linear por uma única avaliação direta determinística.
• Aplicabilidade: Esta abordagem é distinta da reconstrução de diagnóstico (inferir o equilíbrio a partir de medições) ou de modelos diretos condicionados por atuadores (prever pontos X a partir de correntes de bobina). Em vez disso, serve como um surrogate para problemas de design de fronteira livre restritos, onde a geometria do ponto X alvo é prescrita ou mensurável. Isso o torna adequado para fluxos de trabalho de design baseado em simulação, otimização e controle onde equilíbrios em arbitrários pontos de operação devem ser avaliados de forma rápida e independente.
• Limitações: O autor afirma explicitamente que os resultados estão limitados a uma única geometria de máquina e uma única topologia de duplo nulo. O modelo não é um solver direto geral de nível de atuador, nem lida atualmente com transferência entre dispositivos, transferência de resolução ou evolução de transporte acoplado. As acelerações relatadas são relativas à configuração específica do FREEGS utilizada e podem variar em relação a solvers de produção otimizados, embora o contraste qualitativo entre inferência iterativa e determinística seja esperado.

Em resumo, o estudo valida que os surrogates FNO podem entregar soluções de equilíbrio consistentes com a física, de alta fidelidade e com latência previsível na escala de milissegundos, abordando um gargalo crítico para o controle em tempo real e otimização em larga escala na pesquisa de fusão.