On mean-square boundedness of stochastic linear systems with quantized observations

技术摘要：具有量化观测的随机线性系统的均方有界性

问题阐述
本文研究了在 $\mathbb{R}^d$ 空间中演化的离散时间线性随机系统的控制问题，该系统由方程 $x_{t+1} = A x_t + B u_t + w_t$ 描述。系统受到均值为零、相互独立的噪声向量序列 $(w_t)$ 的影响，这些噪声具有有界的四阶矩。主要的挑战在于，控制器无法获得完美的系统状态测量值；相反，它接收的是由量化器 $q: \mathbb{R}^d \to Q$ 生成的量化状态测量值 $q(x_t)$，其中 $Q$ 是一个有限的向量集合（即字母表）。

目标是设计一个具有有限字母表的量化器以及相应的有界控制策略，使得闭环系统状态保持均方有界（即 $\sup_{t} \mathbb{E}[\|x_t\|^2] < \infty$）。控制输入也必须是统一有界的（$\|u_t\| \leq U_{max}$）。

作者特别关注那些矩阵 $A$ 为李雅普诺夫稳定（Lyapunov stable，即特征值的模长 $\leq 1$，且位于单位圆上的特征值具有相等的几何与代数重数）的系统。这区别于大量关于在通信约束下稳定具有不稳定特征值（位于单位圆外）系统的文献。作者指出，对于具有无界噪声且至少有一个特征值模长大于 1 的随机系统，使用有界输入进行局部稳定是不可能的；因此，研究重点是针对已经处于李雅普诺夫稳定的系统进行“最大粗糙度”的量化。

方法论
所提出的解决方案利用了一个 $\kappa$-历史相关策略，其中控制序列由量化状态的历史决定。该方法依赖于以下结构性假设和构造：

1. 系统属性： 假设对 $(A, B)$ 在 $\kappa$ 步内是可达的。在不失一般性的情况下，通过基变换，作者可以将 $A$ 处理为正交矩阵。
2. 量化器设计： 量化器被设计为“径向”的。对于位于特定半径 $r$（球体 $B_r$ 的边界）之外的状态，量化器将其映射到边界 $\partial B_r$ 上的一个点。在球体内部，量化规则对于均方有界性而言是任意的。量化器确保了状态 $z$ 与其量化版本 $q(z)$ 之间的夹角 $\phi$ 是有界的。
3. 控制策略： 控制策略在每个时刻 $t$ 根据量化状态 $q(x_{\kappa t})$ 应用一个长度为 $\kappa$ 的控制输入序列。该策略定义为：
   $$\bar{u}_{\kappa t} = -R_{\kappa}(A, B)^+ A^{\kappa} q(x_{\kappa t})$$
   其中 $R_{\kappa}(A, B)$ 是可达矩阵，$(\cdot)^+$ 表示 Moore-Penrose 伪逆。该控制律试图利用量化信息将状态推向原点。
4. 稳定性分析： 证明有界性的依据是 Proposition 3，这是一个源自 [5] 的结果，它确立了如果非负随机变量在数值较大时表现出负漂移且具有有界的四阶增量，则具有均方有界性。
   • 作者定义了一个类李雅普诺夫变量 $\xi_t = \|x_{\kappa t}\|$。
   • 他们证明了当 $\|x_{\kappa t}\| > r$ 时，范数的期望变化量为负（漂移条件），前提是半径 $r$ 和最大量化角 $\phi$ 满足涉及系统奇异值和噪声界的特定不等式。
   • 他们验证了状态增量的四阶矩是有界的，从而满足了 Proposition 3 的条件。

关键结果
论文提出了 Theorem 2，它提供了闭环系统均方有界的充分条件：

• 如果量化器满足特定的几何约束（有限字母表、在半径为 $r$ 的球体边界上的径向投影，以及状态与量化值之间的夹角 $\phi$ 有界），并且
• 如果控制界限 $U_{max}$ 相对于系统参数足够大（$U_{max} \geq r / \sigma_{\min}(R_{\kappa}(A, B))$），
• 那么通过连续应用所提出的 $\kappa$-步控制策略，可以确保 $\sup_{t} \mathbb{E}[\|x_t\|^2] < \infty$。

该定理意味着，即使在存在无界噪声的情况下，只要系统是李雅普诺夫稳定的，具有有限字母表的量化器就足以稳定状态的二阶矩。

意义与主张
作者声称这项工作填补了关于针对李雅普诺夫稳定系统使用有限字母表进行稳定化的文献空白。虽然之前的研究（引用为 [2, 4, 1, 3, 7, 8]）主要关注通信约束和具有不稳定特征值的系统，但本文针对的是对于已经稳定的系统进行“最大粗糙度”的量化。

关于贡献的主要主张包括：

• 新颖性： 作者表示，他们尚未发现有关在李雅普诺夫稳定系统背景下处理有限字母表稳定化的现有工作。
• 可行性： 该程序证明了有限字母表的量化器足以确保均方有界，而不需要通常与不稳定系统相关的通信约束。
• 恢复先前结果： 随着 $r$-球面上的分箱密度增加（即当角度 $\phi \to 0$ 时），所提出的策略恢复了作者此前工作 [6] 中建立的结果以及关于 $U_{max}$ 的下界。

仿真
论文包含了一个具有旋转矩阵 $A$ 和加性高斯噪声的 2D 系统仿真。结果对比了使用不同分箱数量（2、4 和 8 个分箱）的所提策略与 [6] 中的策略在 1000 次运行下的平均平方范数。仿真展示了量化控制策略在维持有界状态方差方面的性能。