Stability Criteria via Common Non-strict Lyapunov Matrix for Discrete-time Linear Switched Systems

技术摘要：基于公共非严格李雅普诺夫矩阵的离散时间线性切换系统稳定性判据

问题陈述
本文研究了由有限矩阵集 $S = \{S_1, \dots, S_K\} \subset \mathbb{R}^{d \times d}$ 控制的离散时间线性切换系统的渐近稳定性。动力学方程定义为 $x_n = S_{\sigma_n} \cdots S_{\sigma_1} x_0$，其中 $\sigma: \mathbb{N} \to \{1, \dots, K\}$ 是一个任意的切换信号。

核心关注点在于那些共享一个公共但并非严格的李雅普诺夫矩阵 $P$ 的系统。具体而言，存在一个对称正定矩阵 $P$，使得：
$$P - S_k^T P S_k \geq 0 \quad \text{对于所有 } k = 1, \dots, K.$$
该条件意味着诱导范数 $\|x\|_P = \sqrt{x^T P x}$ 在每个子系统中是非增的（即 $\|S_k\|_P \leq 1$），但并不保证严格收缩（即 $\|S_k\|_P < 1$）。作者探讨了这样一个挑战：即使单个子系统是稳定的（$\rho(S_k) < 1$），在满足这种弱李雅普诺夫条件下，切换系统也可能不是绝对稳定的（即对于所有切换信号均稳定）。

研究方法
作者结合了线性代数、谱理论和遍历理论。主要方法组成部分包括：

1. 状态空间分解： 利用针对循环切换信号的分离定理（基于文献 [13] 的工作）。对于循环信号 $\sigma$，状态空间 $\mathbb{R}^d$ 分解为一个稳定流形 $E_s(\sigma)$ 和一个中心流形 $E_c(\sigma)$。稳定性取决于 $E_c(\sigma)$ 是否为平凡的。
2. $\omega$-极限集分析： 本文分析了矩阵乘积 $\langle S_{\sigma_n} \cdots S_{\sigma_1} \rangle$ 的 $\omega$-极限集。在弱李雅普诺夫条件下，这些极限集是紧致的，并具有关于范数 $\|\cdot\|_P$ 的特定几何性质。
3. 非混沌与循环信号： 作者区分了“非混沌”信号（包含任意长的常数子序列）和“循环”信号（在移位拓扑中回到其初始状态附近）。
4. 谱有限性性质： 本文研究了广义谱半径 $\rho(S)$ 是否由有限个矩阵的乘积实现。这一性质使得绝对稳定性的判定变得可解。
5. 降维： 证明绝对稳定性的过程依赖于对范数保持子空间 $K_{\|\cdot\|_P}(S_k)$ 及其交集的维度的分析。

主要贡献与结果

1. 非混沌切换下的稳定性（定理 A）
本文证明，如果 $S$ 满足弱李雅普诺夫条件且每个子系统都是严格稳定的（$\rho(S_k) < 1$），则该系统对于任何非混沌切换信号都是稳定的。这扩展了以往需要正则（generic）信号的结论。

2. 几乎处处稳定性（定理 B）
对于 $d=2$ 或 $d=3$，如果范数保持子空间的交集是平凡的（$K_{\|\cdot\|_P}(S_1) \cap K_{\|\cdot\|_P}(S_2) = \{0\}$），则对于任何非原子遍历概率测度下的几乎所有切换信号，系统都是稳定的。这强调了不稳定性（如果存在的话）仅发生在测度为零的集合上（通常是特定的周期性信号）。

3. $d=2$ 和 $d=3$ 时的绝对稳定性判据（定理 C 和 D）
本文提供了 $d=2$ 或 $d=3$ 时绝对稳定性（对所有切换信号均稳定）的充分必要条件：

• 情况 $d=2$： $S$ 是绝对稳定的，当且仅当 $\rho(S_1) < 1$、$\rho(S_2) < 1$ 且 $\rho(S_1 S_2) < 1$。
• 情况 $d=3$： $S$ 是绝对稳定的，当且仅当对于所有属于 $\{S_1, S_2\}^\ell$ 且 $\ell \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\}$ 的乘积 $A$，均有 $\rho(A) < 1$。
  • 值得注意的是，作者观察到检查长度为 7 的词（words）是不必要的。

4. 谱有限性性质
作为绝对稳定性判据的推论，本文证明了对于 $d=2$ 和 $d=3$ 的系统，如果系统满足弱李雅普诺夫条件且广义谱半径 $\rho(S) = 1$，则 $S$ 具有谱有限性性质。这意味着谱半径由有限个矩阵的乘积实现。具体而言：

• 对于 $d=2$，$\rho(S) = \max \{ \rho(S_1), \rho(S_2), \sqrt{\rho(S_1 S_2)} \}$。
• 对于 $d=3$，$\rho(S)$ 是长度为 $n \in \{1, \dots, 6, 8\}$ 的乘积之谱半径的 $n$ 次方根的最大值。

5. 反例与局限性
作者提供了示例（如示例 6.6）表明：

• 子系统稳定性（$\rho(S_k) < 1$）若在弱李雅普诺夫条件成立但谱有限性条件失效（例如 $\rho(S_1 S_2) = 1$）时，并不意味着绝对稳定性。
• 将集合 $S$ 扩展为对称集 $S \cup S^T$ 并不会保持实现这些稳定性结论所需的谱半径性质。

意义与主张
本文声称解决了具有公共非严格李雅普诺夫矩阵的 $d=2$ 和 $d=3$ 维离散时间线性切换系统的绝对稳定性可判定性问题。其意义在于：

• 可判定性： 提供了有限且可计算的判据（通过检查有限数量的矩阵乘积）来确定绝对稳定性，而这对于任意切换系统通常是不可判定的。
• 精细化稳定性概念： 区分了由非混沌信号驱动的稳定性、几乎处处稳定性以及绝对稳定性，表明在弱李雅普诺夫条件下，不稳定性通常局限于特定的周期性切换模式。
• 谱有限性： 确立了此类系统具有谱有限性性质，将李雅普诺夫矩阵的几何条件与有限谱半径实现的代数性质联系起来。

作者最后提出了一个关于 $d \geq 4$ 的猜想：在相同的弱李雅普诺夫条件下，周期性切换稳定性是否意味着绝对稳定性，并指出目前的技巧无法直接推广到更高维度。