Regularity estimates for fractional orthotropic $p$-Laplacians of mixed order

技术摘要：混合阶分数正交 $p$-拉普拉斯算子的正则性估计

问题陈述
本文研究了如下形式的非局部方程在区域 $Q = (-1, 1)^n$ 中的弱解的正则性：$Lu = f$，其中 $L$ 是一个由测度族 $(\mu(x, dy))_{x \in \mathbb{R}^n}$ 定义的非线性积分微分算子：
$$Lu(x) = \text{PV} \int_{\mathbb{R}^n} |u(y) - u(x)|^{p-2}(u(y) - u(x)) \mu(x, dy)$$
其中 $p > 1$。该算子由一组各向异性且奇异的测度进行刻画。其基准测度为 $\mu_{\text{axes}}$，该测度对应于沿每个坐标轴具有可能不同的微分阶数 $s_1, \dots, s_n \in (0, 1)$ 的一维分数 $p$-拉普拉斯算子的和。与标准的具有正交变换不变性的分数 $p$-拉普拉斯算子不同，与 $\mu_{\text{axes}}$ 相关联的算子（以及其局部极限——正交 $p$-拉普拉斯算子）缺乏旋转不变性。

作者旨在为一类与 $\mu_{\text{axes}}$ 局部可比的容许测度建立稳健的正则性估计——具体包括 Sobolev 型不等式、弱 Harnack 不等式以及局部 Hölder 估计。一个核心挑战是，这些估计中的常数必须独立于特定的 $s_1, \dots, s_n$，仅取决于下界 $s_0$ 和维度 $n$。这种“稳健性”对于通过令微分阶数趋于 1 来恢复局部算子（如正交 $p$-拉普拉斯算子）的正则性结果至关重要。

方法论
作者结合了适用于各向异性几何结构的非局部分析技术：

1. 各向异性几何： 分析并未采用标准的欧几里得球或立方体，而是利用了一族由矩形 $M_r(x)$ 定义的集合，其中 $M_r(x) = \prod_{k=1}^n (x_k - r^{s_{\max}/s_k}, x_k + r^{s_{\max}/s_k})$，且 $s_{\max} = \max\{s_1, \dots, s_n\}$。这些集合构成了一个倍增度量测度空间，从而允许使用适配于该几何结构的极大函数定理和 John–Nirenberg 不等式。
2. 函数空间： 研究是在非局部 Sobolev 空间的非局部类似物中进行的，记作 $V^{p,\mu}(\Omega|\mathbb{R}^n)$ 和 $H^{p,\mu}_{\Omega}(\mathbb{R}^n)$，这些空间包含了由测度 $\mu$ 决定的特定可积性和分数正则性。
3. 对测度的假设： 容许测度类 $\mathcal{K}(p, s_0, \Lambda)$ 由三个条件定义：
   • 测度族的积分性和对称性。
   • 相对于各向异性矩形 $E^k_r(x)$ 的特定尾部行为。
   • 相关能量泛函与由 $\mu_{\text{axes}}$ 定义的参考泛函的局部可比性。
4. 技术工具：
   • Sobolev 型不等式： 证明过程利用了适配于各向异性矩形的 Hardy–Littlewood 极大函数和锐极大函数定理。一个关键的技术引理（引理 2.4）处理了在各向异性设置下所需的离散梯度估计。
   • Moser 迭代： 弱 Harnack 不等式是使用 Moser 迭代技术导出的。这需要建立一个关于非线性项的离散梯度估计（引理 3.4），该估计是类似于 $|\nabla v|^{p-2}\nabla v \cdot \nabla(-v^{-t}\tau^p) \geq c_1 |\nabla(v^{\frac{-t+p-1}{p}}\tau)|^p - c_2|\nabla \tau|^p v^{-t+p-1}$ 的非局部、非线性类似物。
   • 标度参数方法： 作者利用特定的各向异性标度（微分同胚 $\Psi$）将一般估计简化为归一化设置，从而便于证明 Hölder 连续性。

主要贡献与结果

1. 稳健的 Sobolev 型不等式（定理 2.7）： 作者证明了对于基准测度 $\mu_{\text{axes}}$ 的 Sobolev 嵌入，其常数仅依赖于 $n, p, s_0$ 和 Sobolev 指数 $p^*$，而不依赖于单个 $s_k$。通过局部可比性，这一结果被推广到一般的容许测度类（推论 2.8）。
2. 弱 Harnack 不等式（定理 1.4）： 对于 $Lu = f$ 的非负弱超解，本文建立了弱 Harnack 不等式。该结果提供了一个较小定义域内的解的下确界，其值由解在定义域外的 $L^{p_0}$ 范数以及解的尾部决定。估计中的常数对于微分阶数是稳健的。
3. 局部 Hölder 估计（定理 1.5）： 通过结合弱 Harnack 不等式与振荡衰减，作者证明了有界弱解是局部 Hölder 连续的（$C^\alpha$）。Hölder 指数 $\alpha$ 和常数 $C$ 取决于 $n, p, s_0, q, \Lambda$，但独立于特定的 $s_1, \dots, s_n$。
4. 恢复局部结果： 该工作的一个重要方面是，由于常数的稳健性，作者可以通过令 $s_k \nearrow 1$ 来恢复局部正交 $p$-拉普拉斯算子（由方程 1.3 定义）的正则性估计。

意义与主张
本文声称其主要优势在于所推导估计的稳健性。通过确保常数仅依赖于微分阶数的下界（$s_0$）而非阶数本身，作者架起了非局部分数算子与其局部对应物之间的桥梁。这种方法允许直接从非局部算子理论中导出正交 $p$-拉普拉斯算子的正则性结果（这是一个在分析学中众所周知的算子），而无需专门针对局部情况进行单独证明。

作者指出，虽然对于此类奇异方程，Harnack 不等式并不成立，但弱 Harnack 不等式足以证明振荡衰减及随后的 Hölder 连续性。这项工作将之前关于线性情况（$p=2$）和各向同性设置的研究（特别是 [14, 15, 25] 中 Chaker, Kim 等人的工作）扩展到了完全非线性（$p>1$）且各向异性的情形。论文承认假设了解的全局有界性，并指出证明各向异性非局部方程的全局或局部有界性仍是一个开放性问题。

这些结果置于非局部算子 De Giorgi–Nash–Moser 理论的更广泛背景之下，扩展了这些基础思想，使其适用于具有各向异性和奇异核的算子，这些算子可以模拟复杂的物理现象，例如由各向异性跳跃驱动的 Lévy 过程系统。