The $G$-equivariant Kazdan--Warner problem

技术摘要：G-等变 Kazdan–Warner 问题

问题陈述
本文研究了经典 Kazdan–Warner 三分法的等变类比，该经典结果根据闭流形能够实现的标量曲率函数对维度为 $n \ge 3$ 的流形进行分类。虽然经典结果将流形划分为三个互斥的类别——允许正标量曲率（P）、允许标量为零但不允许正标量曲率（Z）、以及不允许非负标量曲率（N）的流形——而本研究将分析限制在 $G$-不变的数据上。具体而言，给定一个具有紧连通李群 $G$ 有效等距作用的闭连通流形 $M$（其中作用的余维数为至少一且不存在零维轨道），作者确定了哪些 $G$-不变光滑函数可以作为 $G$-不变黎曼度量的标量曲率。核心问题在于，经典的这种三分法是否能原封不动地扩展到等变情形，或者是否会出现新的现象。

研究方法
作者结合了几何分析、变分方法和等变拓扑学：

1. 线性化与满射性： 研究始于通过分析限制在 $G$-不变度量空间上的标量曲率算子 $F: g \mapsto \text{scal}_g$。通过检查 $F$ 之线性化的形式伴随算子 $A^*$，作者建立了局部满射性判据。他们证明，如果 $A^*$ 的核是平凡的，则该算子在当前标量曲率的一个邻域内是局部满射的。
2. 等变逼近（定理 1.6）： 一个关键的技术工具是 Kazdan–Warner 逼近引理的扩展。作者证明了在满足特定轨道空间 $X = M/G$ 条件的情况下，$G$-不变函数可以通过 $G$-等变微分同胚进行重排，从而逼近其他 $G$-不变函数。这依赖于将轨道空间（区间或圆）上的同伦提升到流形 $M$ 上。
3. 等变 Yamabe 问题： 常数标量曲率度量的存在性通过变分方法来解决。作者利用对称临界点原理（Palais Principle of Symmetric Criticality）以及不变函数 Sobolev 空间的紧嵌入定理（Hebey–Vaugon），在 $G$-不变类中寻找 Yamabe 泛函的极小值。
4. 余维数为一的几何特征描述： 对于余维数为一的作用，作者利用了轨道空间的结构和同构表示。他们利用不变度量的翘曲积（warped product）结构以及主轨道的同构不可约性，推导出了关于总标量曲率的积分约束。

主要贡献与结果

• 发现第四类（完全 G-正）： 主要结果（定理 1.3）表明，经典的分类并未原封不动地扩展。出现了一个独特的类别，称为完全 G-正（totally G-positive）。

  • 定义： 如果 $M$ 上的每一个 $G$-不变度量都具有严格正的总标量曲率（$\int_M \text{scal}_g d\mu_g > 0$），则称该对 $(M, G)$ 是完全 G-正的。
  • 后果： 此类对允许具有正常数标量曲率的 $G$-不变度量，但并不允许具有零或负常数标量曲率的 $G$-不变度量。此外，它们无法实现任何处处非正的 $G$-不变函数。
  • 特征描述： 引理 3.11 确立了 $(M, G)$ 是完全 G-正的充要条件是：该作用是余维数为一且具有同构不可约主轨道的。一个典型的例子是 $M = S^1 \times S^{n-1}$ 带有 $SO(n)$ 作用，其中同构表示是不可约的。

• 针对非完全 G-正对的精细分类： 对于不是完全 G-正的对，在 $G$-不变数据层面恢复了经典的分类（定理 1.3，第 ii 部分）。这些对恰好属于以下三类之一：

  • $(P_G)$： 每个光滑 $G$-不变函数都是某个 $G$-不变度量的标量曲率。
  • $(Z_G)$： 一个函数是可实现的，当且仅当它在某处恒等于零或为负。
  • $(N_G)$： 一个函数是可实现的，当且仅当它在某处为负。

• 非阿贝尔对称性： 作者指出，如果 $G$ 的李代数是非阿贝尔的，且该对不是完全 G-正的，则该对必然属于 $(P_G)$ 类。这依赖于 Lawson–Yau 的结果，即非阿贝尔对称群保证了正标量曲率 $G$-不变度量的存在。然而，论文强调，非阿贝尔作用仍可以是完全 G-正的（如 $S^1 \times S^{n-1}$ 的例子），从而将其归入这个新的第四类，而非 $(P_G)$。

• 常数曲率度量的存在性： 定理 1.4 提供了全面的存在性结果：

  • 如果 $(M, G)$ 不是完全 G-正的，则它允许一个负常数标量曲率的 $G$-不变度量。如果它允许一个非负度量，则它允许一个标量为零的度量。
  • 如果它允许一个非恒为零的非负度量，则它允许一个正常数标量曲率度量。
  • 完全 G-正对允许正常数标量曲率度量，但不允许非正的度量。

意义
本文声称，群作用的内在几何（特别是余维数和同构表示的不可约性）支配了在等变设定下标量曲率度量的存在性。 “完全 G-正”类的出现代表了对非等变理论的真实偏离，在非等变理论中，对于那些不具备正标量曲率的流形，其总标量曲率总是可以被变为负或零。这项工作综合了 Kazdan–Warner 逼近技术与 Hebey–Vaugon 等变 Yamabe 理论，为广泛的对称流形提供了可实现的标量曲率函数的完整分类。