A universal bound in the dimensional Brunn-Minkowski inequality for log-concave measures

技术摘要：对数凹测度下维数布鲁恩 - 闵可夫斯基不等式中的通用界

问题陈述
本文探讨了针对对数凹测度的维数布鲁恩 - 闵可夫斯基猜想。虽然勒贝格测度下的经典布鲁恩 - 闵可夫斯基不等式指出，凸集闵可夫斯基平均的体积满足 $|\lambda K + (1-\lambda)L|^{1/n} \geq \lambda |K|^{1/n} + (1-\lambda)|L|^{1/n}$，但猜想认为，对于任意偶对数凹概率测度 $\mu$ 和对称凸集 $K, L$，存在类似的不等式：
$$\mu(\lambda K + (1-\lambda)L)^{1/n} \geq \lambda \mu(K)^{1/n} + (1-\lambda)\mu(L)^{1/n}.$$
该猜想由 Gardner 和 Zvavitch 提出，并由 Colesanti、Livshyts 和 Marsiglietti 进一步研究，在完全一般性下仍未解决。本文旨在为指数 $p$ 确立一个通用下界，使得对于所有偶对数凹测度和对称凸集，不等式 $\mu(\lambda K + (1-\lambda)L)^p \geq \lambda \mu(K)^p + (1-\lambda)\mu(L)^p$ 成立。

方法论
作者采用了$L^2$ 方法（也称为 Kolesnikov 和 Milman 方法），该方法利用与测度 $d\mu = e^{-V}dx$ 相关的加权拉普拉斯算子 $L u = \Delta u - \langle \nabla u, \nabla V \rangle$ 的谱性质。核心策略包括：

1. 命题 4.1 (KL [39])： 一个将闵可夫斯基和测度的凸性与涉及函数 $u$ 的 Hessian 和算子 $L$ 的谱不等式联系起来的判据。具体而言，如果涉及 $\|\nabla^2 u\|^2$ 和 $Lu$ 的某个不等式成立，则所需的布鲁恩 - 闵可夫斯基型不等式随之成立。
2. 命题 4.2： 一个关键的技术引理，建立了 $\int_K \|\nabla^2 u\|^2 d\mu$ 的下界，用 $(\int_A Lu d\mu)^2$ 表示，其中 $A \subset K$ 是一个对称子集。该下界取决于受限测度的庞加莱常数 $C_{poin}(K, \mu)$ 以及势函数 $V$ 的几何性质。
3. 庞加莱常数估计： 本文推导了各向同性对数凹测度限制在对称凸集上的 $C_{poin}(K, \mu)$ 的上界。这依赖于：
   • 对数凹测度理论中的技术（Klartag, Milman）。
   • 关于测度集中性的 KLS 猜想的最新进展（Chen [33], Lee-Vempala [47], Eldan [24]）。
   • 关于大测度子集上势函数 $V$ 梯度的几何引理（引理 4.4, 4.5）。
4. 特定测度分析： 对于特定类别的测度（例如 $e^{-\|x\|_p^p}$），作者将通用的庞加莱界与矩的具体估计（引理 4.8）及缩放性质相结合，以细化指数。

主要贡献与结果

• 定理 A（通用界）： 对于 $\mathbb{R}^n$ 上的任意偶对数凹概率测度 $\mu$ 和任意一对对称凸集 $K, L$，不等式成立，其指数为：
  $$c_n = n^{-4-o(1)}.$$
  此处，$o(1)$ 表示当 $n \to \infty$ 时趋于零的正项。这代表了向猜想指数 $1/n$ 迈出的重要一步。

• 定理 1.1（乘积型测度）： 对于形式为 $d\mu(x) = e^{-\|x\|_p^p} dx$ 且 $p \in [1, 2]$ 的测度，指数改进为：
  $$A(n, p) = \frac{c(p)}{n (\log n)^{\frac{2-p}{p}}}.$$

• 定理 1.2（旋转不变测度）： 对于旋转不变测度 $d\mu(x) = e^{-|x|^p/p} dx$ 且 $p \geq 1$，指数为：
  $$C(p) n^{-2}.$$
  此外，对于 $p \in [1, 2]$ 的特定情况，指数可改进为 $C n^{-1-o(1)}$，趋近于猜想的 $1/n$ 速率。

• 定理 1.4（一致严格对数凹测度）： 本文研究了当集合测度趋近于 1（$a \to 1$）时最优指数 $p_s(\mu, a)$ 的行为。它证明了如果 $\mu$ 是一致严格对数凹测度（即 $\nabla^2 V \geq k_1 I$），则当 $a \to 1$ 时 $p_s(\mu, a) \to \infty$。这与高斯情形形成对比，在高斯情形下，由于 Ehrhard 不等式，指数发散；而在勒贝格情形下，指数保持恒定为 $1/n$。

意义与主张
本文声称通过为指数确立通用多项式界（$n^{-4-o(1)}$），推进了维数布鲁恩 - 闵可夫斯基猜想，而先前的结果要么局限于特定类别的测度（如无条件的体），要么需要更强的假设（例如球附近的旋转不变性）。

作者指出，该界对于特定类别的测度有所改进，特别是那些具有旋转不变性或乘积结构的测度。这项工作严重依赖于庞加莱不等式、Brascamp-Lieb 不等式与高维凸体几何之间的相互作用。

本文明确承认，虽然注记 1.3 提到了 Cordero-Erasquin 和 Rotem [21] 的后续结果，该结果蕴含了定理 1.2，但当前工作提供了针对一般偶对数凹测度的首个通用界，并确立了定理 A 和定理 1.1 所涵盖类别的具体界。这些结果是利用 $L^2$ 方法推导得出的，将 Kolesnikov 和 Milman 的工作推广到了具有对称性的一般对数凹测度情形。