Diameter estimate for planar $L_p$ dual Minkowski problem

技术摘要：平面 $L_p$ 对偶闵可夫斯基问题的直径估计

问题陈述
本文研究了平面 $L_p$ 对偶闵可夫斯基问题，这是凸几何中的一个核心问题，旨在确定单位圆 $S^1$ 上的给定测度 $\mu$ 是否可以作为包含原点的凸体 $K$ 的 $L_p$ 对偶曲率测度 $\tilde{C}_{p,q}(K, \cdot)$。该问题受如下 Monge–Ampère 型方程控制：
$$h_K^{1-p} (h_K^2 + |\nabla h_K|^2)^{\frac{q-n}{2}} \det(\nabla^2 h_K + h_K I) = f$$
其中 $h_K$ 是支持函数，$f$ 是给定测度的密度，且 $n=2$。

虽然在 $p > q$ 或特定的 $p \leq q$ 子情况（例如 $p=0, n=2,3$）下，直径估计（即对 $\|h_K\|_{L^\infty}$ 的界限）已为人所知，但在平面情形（$n=2$）下，当 $0 < p < 1$ 且 $q \geq 2$ 时，该问题仍然悬而未决。作者专门针对 $p < q$ 的这一情形进行研究，在这种情况下，标准的极大值原理失效，解可能会变得无界或退化。

方法论
作者采用了结合 John 椭圆（$K$ 中包含的最大体积椭圆）几何分析的反证法。其核心策略是建立凸体 $K$ 的离心率（eccentricity）的统一界限。

1. 插值估计（引理 2.1）： 作者推导出了关于 John 椭圆 $E$ 的主半径（$r_1, r_2$）的关于总测度 $\tilde{C}_{p,q}(K, S^1)$ 的全新上下界。具体而言，他们证明了对于 $p \in [0, 1]$ 且 $q \geq 2$：
   $$c_1 (r_1 r_2)^{1-p} (r_1^2 + r_2^2)^{\frac{p+q-2}{2}} \leq \tilde{C}_{p,q}(K, S^1) \leq c_2 (r_1 r_2)^{1-p} (r_1^2 + r_2^2)^{\frac{p+q-2}{2}}$$
   该估计在 John 椭圆的面积与边界长度之间进行了插值。

2. 通过离心率进行反证： 假设直径无界，作者构造了一系列凸体，其中长轴与短轴的比值（$r_1/r_2$）趋于无穷大。他们根据原点相对于拉长形体“尖端”的位置，分析了两种几何构型：

   • 情况 1： 原点远离尖端（距离 $d \geq c_0 r_1$）。
   • 情况 2： 原点靠近某个尖端（距离 $d < r_1/M$）。

   在这两种情况下，他们都证明了密度 $f$（其是有界的）的积分无法匹配由总测度估计所导出的几何项的增长率，随着离心率的增加。这导致了矛盾，从而证明了直径必须是有界的。

3. 唯一性与正性（第 4 节）： 对于特定的 $q=2$（$L_p$ 闵可夫斯基问题）情形，作者利用已建立的直径估计来证明唯一性和正性。他们围绕常数解 $h \equiv 1$ 进行线性化，并应用 Schauder 估计。他们表明，如果密度 $f$ 在 $C^\alpha$ 范数下足够接近常数，则线性化算子是可逆的（因为 $2-p$ 不是 $S^1$ 上 Laplace–Beltrami 算子的特征值），从而通过反函数定理确保了唯一性。

主要贡献与结果

• 定理 1.1（直径估计）： 对于 $p \in (0, 1), q \geq 2$，以及有界正密度 $f$ ($1/\Lambda \leq f \leq \Lambda$)，任何求解平面 $L_p$ 对偶闵可夫斯基问题的凸体 $K$ 都满足统一的直径界限 $\|h_K\|_{L^\infty} \leq C(p, q, \Lambda)$。

  • 意义： 这解决了在平面对偶设定中，$0 < p < 1$ 超临界范围内直径估计这一悬而未决的问题。在此情形下，以往的方法均告失效。

• 定理 1.2（唯一性与正性）： 对于 $p \in (0, 1)$ 且 $q=2$，若密度 $f \in C^\alpha(S^1)$ 足够接近常数函数 1（具体为 $\|f - 1\|_{C^\alpha} \leq \varepsilon_0$），则该方程存在唯一解。此外，该解是正的且属于 $C^{2,\alpha}(S^1)$。

  • 意义： 这在一般性失效（如 $p=0$ 或离散测度所示）的范围内（$0 < p < 1$），为非对称数据提供了唯一性结果。它还解决了正性问题，这在 $0 < p < 2$ 的亚临界范围内对于一般的正 $f$ 并非必然保证。

意义与范围
本文声称，关键要素在于总测度估计（引理 2.1），这为 $0 < p < 1$ 的 $L_p$ 情况提供了一种新的证明技术。作者明确指出，其结果仅适用于平面情形 ($n=2$)，在本文中并不推广到高维情形 ($n \geq 3$)。

作者对其正性结果的普适性保持谦逊，指出即使对于光滑正 $f$，通常也无法获得解的正下界，因此需要满足 $f$ “足够接近常数”的条件。他们同时也承认，对于 $f \equiv 1$ 的一般情况，在 $p < q \leq p+4$ 范围内的解的唯一性仍是一个开放问题，而他们的结果仅限于常数函数附近的摄动范畴。

这项工作构建并统一了 Chou、Wang、Chen、Li 等人的先前研究成果，特别解决了文献中关于平面设定下 $0 < p < 1$ 且 $q \geq 2$ 的空白。