The fractional $p$-Laplacian on hyperbolic spaces

技术摘要：双曲空间上的分数阶 $p$-Laplacian

问题陈述
本文研究了双曲空间 $\mathbb{H}^n$（其中 $n \in \mathbb{N}$，$0 < s < 1$，$p > 1$）上分数阶 $p$-Laplacian（记作 $(−\Delta_{\mathbb{H}^n})^s_p$）的定义与分析。虽然分数阶算子在欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ 以及各种其他几何设置（黎曼流形、度量测度空间等）中已被广泛研究，但由于缺乏非线性设置下的傅里叶变换，且双曲空间具有特定的几何结构，无法直接应用标准定义。具体而言，作者指出，依赖于傅里叶变换的定义对于非线性算子是不可用的，并且并非所有的分数阶拉普拉斯算子定义（例如区域型与谱型）在一般黎曼流形上都是等价的。主要挑战在于建立一个关于双曲空间 $\mathbb{H}^n$ 上非线性分数阶 $p$-Laplacian 的严谨且等价的定义集，并提供显式的归一化常数，以便研究当 $s \to 1^-$ 时向标准 $p$-Laplacian 的逐点收敛性。

方法论
作者采用了一种结合双曲几何、热核分析以及特殊函数渐近性质的多方面方法：

1. 几何框架： 研究利用了配备洛伦兹度量的双曲模型 $\mathbb{H}^n$。距离函数 $d(x, \xi)$ 和体积元 $\sinh^{n-1} r \, dr \, d\omega$ 是积分公式的核心。
2. 热半群表示： 作者将分数阶算子与 $\mathbb{H}^n$ 上由拉普拉斯算子生成的热半群 $\{e^{t\Delta_{\mathbb{H}^n}}\}_{t \geq 0}$ 联系起来。他们利用了双曲空间上热核 $h(t, \rho)$ 的显式公式，并区分了奇数维和偶数维的情况，这些情况涉及热核对距离 $\rho$ 的导数。
3. 修正贝塞尔函数： 分数阶算子的核使用第二类修正贝塞尔函数 $K_\nu$ 来表示。作者利用 $K_\nu$ 的积分表示及其渐近行为（当 $\rho \to 0^+$ 和 $\rho \to \infty$ 时）来分析奇异核。
4. Caffarelli–Silvestre 扩张： 本文研究了在 $\mathbb{H}^n \times (0, \infty)$ 上的扩张问题，将分数阶算子与 Dirichlet-to-Neumann 映射联系起来。这涉及构造泊松核 $P(\rho, y)$ 和扩张算子 $E_{s,p}$。
5. 收敛性的渐近分析： 为了证明 $(−\Delta_{\mathbb{H}^n})^s_p$ 在 $s \to 1^-$ 时向 $p$-Laplacian 的收敛性，作者对涉及归一化常数 $c_{n,s,p}$ 和核 $K_{n,s,p}$ 的积分进行了详细的渐近分析。他们使用了泰勒展开和控制收敛定理，并仔细处理了与欧几里得 $\rho^{n-1}$ 不同的体积元 $\sinh^{n-1} \rho$。

主要贡献与结果

1. 三个等价定义： 本文建立了 $\mathbb{H}^n$ 上分数阶 $p$-Laplacian 的三个等价定义，并为每种定义提供了显式的归一化常数：

   • 奇异积分定义（定义 1.1）： 一个涉及奇异核 $K_{n,s,p}(\rho)$ 的逐点积分表示。该核使用修正贝塞尔函数及关于距离的导数进行显式定义，且针对奇数维和偶数维有不同的公式。
   • 热半群定义（定理 1.3）： 该算子表示为对热半群作用于非线性函数 $\Phi_p(u(x) - u(\cdot))$ 的时间积分。常数 $C_2$ 已被显式导出。
   • 扩张问题定义（定理 1.4）： 该算子通过上半空间 $\mathbb{H}^n \times (0, \infty)$ 中退化椭圆扩张问题解的加权法向导数极限来实现。常数 $C_3$ 也已明确给出。

2. 显式归一化常数： 一个关键贡献是推导了涉及 Gamma 函数以及 2 和 $\pi$ 的幂次的精确归一化常数（$c_{n,s,p}, C_1, C_2, C_3, C_4$）。这些常数的选取专门旨在确保在 $s \to 1^-$ 时的正确极限行为。

3. 核的渐近行为（命题 1.2 与 定理 1.2）： 作者刻画了核 $K_{n,s,p}(\rho)$ 的行为。他们表明，在原点附近（$\rho \to 0^+$），该核的行为类似于欧几里得奇异核 $\rho^{-n-sp}$；而在无穷远处（$\rho \to \infty$），由于双曲几何的存在，它表现出指数衰减（$\sim \rho^{-1-sp/2} e^{-(n-1)\rho}$）。这证实了该算子对于有界 $C^2$ 函数的良定义性。

4. 逐点收敛（定理 1.5）： 主要收敛结果指出，对于 $u \in C^2_b(\mathbb{H}^n)$ 且满足 $\nabla u(x) \neq 0$ 的 $x \in \mathbb{H}^n$，
   $$\lim_{s \to 1^-} (-\Delta_{\mathbb{H}^n})^s_p u(x) = (-\Delta_{\mathbb{H}^n})_p u(x)$$
   其中 $(-\Delta_{\mathbb{H}^n})_p$ 是双曲空间上的标准 $p$-Laplacian。其证明依赖于显式常数以及核对体积元的积分的渐近分析，证明了非欧几里得体积因子并不会阻碍其向局部算子的收敛。

意义
本文声称其重要性主要在于将分数阶算子的表示公式从之前的线性情形（$p=2$）扩展到了双曲空间上的非线性情形（$p > 1$）。通过提供显式的归一化常数，作者使得研究 $s \to 1^-$ 的极限成为可能，这一性质对于连接分数阶模型与几何分析中的局部模型至关重要。研究强调，尽管由于非线性设置，基于傅里叶变换的方法失效，但双曲空间的丰富结构（特别是热核与泊松核表示）允许建立一个稳健的分数阶 $p$-Laplacian 定义。显式常数被指出对于正则性理论的应用至关重要。作者并未提出超出数学建立这些定义及其收敛性质之外的新实验应用或未来方向。